Презентация 7. Метод Гаусса (1006523), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Начало координат называют центром эллипсоида. Шесть точек (± a, 0, 0) ,( 0, ± b, 0) , ( 0, 0, ± c ) пересечения эллипсоида с координатными осями называются еговершинами, а три отрезка координатных осей, соединяющих вершины, – осями эллипсоида.Оси эллипсоида, принадлежащие координатным осям Ox , Oy , Oz , имеют длины 2 ⋅ a , 2 ⋅ b , 2 ⋅ cсоответственно. Если a > b > c , то число a называется большой полуосью, число b – среднейполуосью, число c – малой полуосью эллипсоида. Если полуоси не удовлетворяют условиямa ≥ b ≥ c , то уравнение (11.19) не является каноническим. Однако при помощипереименования неизвестных можно всегда добиться выполнения неравенств a ≥ b ≥ c .Плоские сечения дают возможность составить полное представление о видеэллипсоида (рис.11.15,а).
Например, подставляя z = 0 в уравнение (11.19), получаем2y2xуравнение 2 + 2 = 1 линии пересечения эллипсоида с координатной плоскостью Oxy . Этоabуравнение в плоскости Oxy определяет эллипс (см. разд.10.2.2). Линии пересеченияэллипсоида с другими координатными плоскостями также являются эллипсами. Ониназываются главными сечениями (главными эллипсами) эллипсоида.36Плоскости x = ± a , y = ± b , z = ± c определяют в пространстве основнойпрямоугольный параллелепипед, внутри которого находится эллипсоид (рис.11.15,б).
Гранипараллелепипеда касаются эллипсоида в его вершинах.zzЭллипсcc–а–аyy–bxЭллипсOаbO–bx–cаЭллипсb–cбаРис.11.15Эллипсоид, у которого полуоси попарно различны ( a > b > c ), называется трехосным(или общим). Эллипсоид, у которого две полуоси равны, называется эллипсоидомвращения. Например, если a = b , то такую поверхность можно получить, вращая вокруг осиOz эллипсy2z 2 = 1 , заданный в плоскости Oyz . Если все полуоси эллипсоида равны+b2 c 2( a = b = c = R ), то он представляет собой сферу x 2 + y 2 + z 2 = R 2 радиуса R .3711.3.3.
ГИПЕРБОЛОИДЫОднополостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторойпрямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнениемx2a2+y2b2−z2c2=1.(11.20)Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторойпрямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнениемx2a2+y2b2−z2c2= −1 .(11.21)В уравнениях (11.20),(11.21) a , b , c – положительные параметры, характеризующиегиперболоиды, причем a ≥ b .Начало координат называют центром гиперболоида. Точки пересечениягиперболоида с координатными осями называются его вершинами. Это четыре точки(± a, 0, 0) , ( 0, ± b, 0) однополостного гиперболоида (11.20) и две точки ( 0, 0, ± c ) двуполостногогиперболоида (11.21). Три отрезка координатных осей, соединяющих вершиныгиперболоидов, называются осями гиперболоидов.
Оси гиперболоидов, принадлежащиекоординатным осям Ox , Oy , называются поперечными осями гиперболоидов, а ось,принадлежащая оси аппликат Oz , – продольной осью гиперболоидов. Числа a , b , c , равныеполовинам длин осей, называются полуосями гиперболоидов.38Плоские сечения дают возможность составить полное представление о видеоднополостного гиперболоида. Например, подставляя z = 0 в уравнение (11.20), получаем2y2уравнение x 2 + 2 = 1 линии пересечения однополостного гиперболоида с координатнойabплоскостью Oxy . Это уравнение в плоскости Oxy определяет эллипс (см. разд.10.2.2),который называется горловым.
Линии пересечения однополостного гиперболоида с другимикоординатными плоскостями являются гиперболами. Они называются главнымигиперболами. Например, при x = 0 получаем главную гиперболуy2z 2 = 1 , а при y = 0 –−b2 c 222главную гиперболу x 2 − z 2 = 1 .acОднополостный гиперболоид можно представить как поверхность, образованнуюэллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.11.16,а).
Сечениеоднополостного гиперболоида плоскостью, параллельной оси аппликат и имеющей однуобщую точку с горловым эллипсом (т.е. касающейся его), представляет собой две прямые,пересекающиеся в точке касания. Например, подставляя x = ± a в уравнение (11.20),получаем уравнениеy2z 2 = 0 двух пересекающихся прямых (см. рис.11.16,а).−b2 c 2ГиперболаzzГипербола–а–bxааbyЭллипсzГиперболасx–сz= cx= ayy=byxЭллипсбРис.11.16в39Плоские сечения дают возможность составить представление о виде двуполостногогиперболоида. Сечения двуполостного гиперболоида координатными плоскостями Oyz и Oxzпредставляют собой гиперболы (главные гиперболы), а плоскостями, параллельнымиплоскости Oxy , – эллипсы.
Двуполостный гиперболоид можно представить как поверхность,образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.11.16,б)Плоскости x = ± a , y = ± b , z = ± c определяют в пространстве основнойпрямоугольный параллелепипед. Две грани ( z = ± c ) параллелепипеда касаютсядвуполостного гиперболоида в его вершинах (рис.11.16,в).Гиперболоид, у которого поперечные оси различны ( a ≠ b ), называется трехосным(или общим).
Гиперболоид, у которого поперечные полуоси равны ( a = b ), называетсягиперболоидом вращения. Однополостный и двуполостный гиперболоиды вращения можнополучить, вращая вокруг оси Oz гиперболуy2y22− z2 = 12bcили сопряженную гиперболу2− z 2 = −1 соответственно (см. разд.10.2.3).2bc4011.3.4. КОНУСЫКонусом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системекоординат Oxyz каноническим уравнениемx2a2+y2b2−z2с2=0,(11.22)где a , b , c – положительные параметры, характеризующие конус, причем a ≥ b .Начало координат называется центром конуса (рис.11.17), точкаzO – вершиной конуса (11.22), а любой луч OM , принадлежащий конусу,– его образующей.Плоские сечения дают возможность составить полноеПрямаяпредставление о виде конуса.
Например, сечения конуса координатнымиплоскостями Oxz , Oyz представляют собой пары пересекающихсяyOx22прямых, удовлетворяющих в этих плоскостях уравнениям x 2 − z 2 = 0 (приaЭллипсРис.11.17y =0)иy22− z2 = 02bс(приx=0)соответственно.сСеченияконусаплоскостями, параллельными плоскости Oxy , представляют собойэллипсы. Конус можно представить как поверхность, образованную эллипсами, центрыкоторых лежат на оси аппликат, а вершины принадлежат координатным плоскостям Oxz иOyz (см. рис.11.17).При a = b все сечения конуса плоскостями z = h ( h ≠ 0 ) становятся окружностями.Такой конус называется прямым круговым конусом. Он может быть получен в результатевращения, например, прямой z = c ⋅ y (образующей) вокруг оси аппликат.b4111.3.5. ПАРАБОЛОИДЫЭллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторойпрямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнениемx2a2+y2b2= 2⋅ z .(11.23)Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторойпрямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнениемx2a2−y2b2= 2⋅ z .(11.24)В уравнениях (11.23), (11.24) a и b – положительные параметры, характеризующиепараболоиды, причем для эллиптического параболоида a ≥ b .Начало координат называют вершиной каждого из параболоидов ((11.23) или(11.24)).Плоские сечения дают возможность составить полное представлениео видеэллиптического параболоида.
Например, плоскость Oxz пересекает эллиптический2параболоид (11.23) по линии, имеющей в этой плоскости уравнение x 2 = 2 ⋅ z , котороеaравносильно уравнению x = 2 ⋅ p ⋅ z параболы с фокальным параметром p = a 2 . Сечение2параболоида плоскостью Oyz получаем, подставляя x = 0 в уравнение (11.23):y2b2= 2⋅ z .Этоуравнение равносильно уравнению y 2 = 2 ⋅ q ⋅ z параболы с фокальным параметром q = b 2 . Этисечения называются главными параболами эллиптического параболоида (11.23). Сеченияплоскостями, параллельными плоскости Oxy , представляют собой эллипсы.
Эллиптическийпараболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершиныкоторых лежат на главных параболах (рис.11.18,а).42zПараболаПараболаzyПараболаПрямыеOxПараболаЭллипсxГиперболыyOаРис.11.18бЭллиптический параболоид, у которого a = b , называется параболоидомвращения. Его можно получить, вращая вокруг оси Oz параболу y 2 = 2 ⋅ q ⋅ z , гдеq = a 2 = b2 .Плоские сечения дают возможность составить полное представлениео видегиперболического параболоида. Например, сечения гиперболического параболоидакоординатными плоскостями Oxz и Oyz представляют собойпараболы (главные параболы) x 2 = 2 ⋅ p ⋅ z и y 2 = −2 ⋅ q ⋅ z с параметрами p = a 2 или q = b 2соответственно. Поскольку оси симметрии главных парабол направлены впротивоположные стороны, гиперболический параболоид называют седловойповерхностью.
Сечение гиперболического параболоида плоскостью Oxy представляетсобой пару пересекающихся в начале координат прямых, а сечение плоскостью,параллельной плоскости Oxy , – гиперболу.Гиперболический параболоид можно представить как поверхность, образованнуюгиперболами (включая и "крест" из их асимптот), вершины которых лежат на главныхпараболах (рис.11.18,б).43.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
