ztm9 (Р.М. Игнатищев, П.Н. Громыко, С.Н. Хатетовский - Курс теоретической механики - статика, кинематика, динамика)

22. Метод матричной кинематики

22.1. Введение в раздел

Метод матричной кинематики позволяет от разбросанности в записях и поясняющих длиннот элементарной и векторной алгебр перейти к упорядоченности и компактности, к быстрому ориентированию в преобразованиях, делает удобным использование компьютерной техники, что существенно облегчает исследовательский труд.

Особенно удобно использовать матричный метод в случаях, когда в процессе исследований приходится несколько раз переходить от одних систем отсчёта к другим.

Две основные инженерные задачи, при решении которых удобно использовать матричный метод:

1. Исследование движений схватов механических рук, манипуляторов и роботов; понятие «схват» см. на рис.22.1;

2. Отыскание взаимоогибающих линий и поверхностей - профилирование кулачков, зубьев зубчатых колёс и т.п., что особенно важно для специальностей «станки и режущий инструмент»; но по причине объёмности и специфичности вопроса здесь ограничиваемся лишь сообщением информации о наличии в инженерной литературе хорошо развитого способа проектирования сопряжённых профилей, основанного на использовании метода матричной кинематики.

Дополнительные сведения по рассматриваемому вопросу можно найти в «Игнатищев Р.М. Начала матричной кинематики. Могилёв: ротапринт ММИ, 1991.- 33 с.» - «Использование матричного метода для профилирования кулачка»; «Построение поворотной матрицы при ориентировании одной системы отсчёта относительно второй с помощью углов Эйлера»; «120 вариантов индивидуальных заданий по определению положений, скоростей и ускорений схватов в пятизвенных разомкнутых цепях, составленных из вращательных и поступательных пар».

Глубокое ознакомление с робототехникой можно начинать с книги: «Борисенко Л.А., Самойленко А.В. Механика промышленных роботов и манипуляторов с электроприводом.- Мн.: Выш. школа, 1992.- 234 с.».

22.2. Постановка задачи о многоступенчатом преобразовании координат

В опасных или неудобных для человека зонах выполнения производственных операций часто используют механические руки, манипуляторы и роботы. Диктуется это необходимостью добраться рабочим инструментом до требуемой точки некоторой части пространства, причём с обеспечением любой ориентации (с обеспечением возможности добраться до обрабатываемого объекта снизу, сверху, слева, справа, спереди, сзади). Это и обуславливает необходимость использования многозвенных механизмов, подобных изображённому на рис.1, где

161

1

Разомкнутый механизм с последова-тельным соединением вращательными и поступательными парами 7-ми звеньев

– неподвижное звено; 2, 3, 4, 5, 6 и 7 – подвижные. С каждым из них связана своя система отсчёта - с индексами 1-7, взятыми в соответствии с номерами звеньев. Например, - это абсцисса точки М в 7-й системе отсчёта (7 – это схват – часть механизма, служащая для закрепления в ней переносимой детали, сварочного электрода, электродрели, пилы, краскораспылителя, шлифмашинки, перфоратора и т.п.).

П

Рисунок 22.1

рименительно к механизму по рис.1 цепочка связей между системами отсчёта имеет вид:

.

В общем случае цепочку связей между системами отсчёта можно записать:

22.1

, где

- точка, координаты которой известны относительно схвата .

Считаем известными также положения систем отсчёта относительно , относительно , ... , относительно и т.д., 3-й относительно 2-й, 2-й относительно 1-й.

Требуется установить положение точки относительно неподвижной системы отсчёта.

22.3. Спарка систем отсчёта и матрица

п реобразования в ней координат

К подразделу 22.3

Спарка систем отсчёта - это любая их пара, связанная между собою процедурой преобразования координат (иначе: это любая соседствующая пара систем отсчёта из цепочки 22.1).

П

Рисунок 22.2

усть (см.рис.22.2) - любая из спарок систем отсчёта; (орты ) называем координатопередающей,

162

(орты ) - координатопринимающей системами отсчёта.

И пусть: просто - радиус-вектор произвольной точки в системе ; - радиус-вектор, определяющий положение начала системы относительно ;

просто - радиус-вектор, определяющий положение точки относительно системы .

Т.к. , то поочерёдно перемножая на орты , получаем:

а

;

;

.

сокращённо ;

сокращённо ; .......

сокращённо ; .........

сокращённо .

2.22

называют поворотной матрицей, где 1, 2, 3 – имена осей соответственно .

Замечание: ранее использовавшееся правило в двухсимвольном индексе на второе место ставить имя системы отсчёта, относительно которой определяется положение перемещающегося объекта ( и т.д.) перенесено и в обозначения направляющих косинусов.

Поворотную матрицу считаем известной. Однако это не означает, что все её компонентов независимы друг от друга. Независимыми из них являются лишь 3. Остальные могут вычисляться по уравнениям, получающимся из легко запоминаемых условий:

(надо только выразить через ).

163

И меющийся в (а) столбец назовём - «вектор-столбец, определяющий положение начала координатопередающей системы отсчёта относительно координатопринимающей».

П рямоугольную матрицу

называют матрицей положения

координатопередающей системы отсчёта относительно координатопринимающей.

Чтобы приспособить прямоугольную матрицу положения под операцию произведения её дополняют снизу строкой . В результате получается

-

22.3

матрица преобразования координат в спарке систем отсчёта.

Четырёхкомпонентные столбцы будем называть - «адаптированные вектор-столбцы коор-динат точек» (соответственно и ).

Адаптированные = приспособленные под процедуру произведения матриц.

Чтобы структурно-терминологическое описание матрицы преобразования было полным, строку называем - «нулевая вектор-строка».

22.4. Матричная формула преобразования координат в спарке систем отсчёта

Из (а) и понятия произведения матриц видно:

22.4

-

адаптированный вектор-столбец координат точки в принимающей системе отсчёта равен произведению матрицы преобразования координат в спарке на адаптированный вектор-столбец координат этой же точки в передающей системе отсчёта.

164

Формула 22.4 простейшая. Необходимо только владеть процедурой перемножения матриц.

Для облегчения запоминания и хранения в памяти операций, применяемых при перемножении матриц, рекомендуем математическое определение дополнять кинематическим образом – правая матрица поворачивается на 90^о против хода стрелки часов, устанавливается над левой матрицей и затем одношаговыми перемещениями протягивается по неподвижной левой матрице. Особенно этот кинематический образ удобен при рассмотрении произведения матрицы на вектор-столбец:

при первом шаге повёрнутый столбец накроет 1-ю строку матрицы; перекрывшие друг друга элементы попарно перемножаются; сумма произведений и является верхним элементом искомого вектор-столбца;

при втором шаге повёрнутый столбец накроет 2-ю строку матрицы; перекрывшие друг друга элементы попарно перемножаются; сумма произведений даст второй (сверху) элемент искомого вектор-столбца; и т.д.

Итак, если воспользоваться правилами произведения матриц, то из формулы 22.4 получается результат (а), но новый подход укорачивает записи, даёт упорядоченность при их разворачивании и существенно снижает вероятность появления в процессе преобразований ошибок.

22.5. Матричная формула преобразования координат для цепочки связанных систем отсчёта

Без дополнительных рассуждений ясно, что

22.5

.

Применительно к устройству по рис.1 формула 4 принимает вид:

.

22.6. Пример многоступенчатого преобразования координат

Принимаем к рассмотрению пример по рис.22.1 и записываем матрицы преобразования для всех спарок систем отсчёта. При этом, используем сокращённые обозначения:

; ......

и т.д. - .

165

166

Пусть координатами точки М относительно схвата являются , , . Тогда:

,

,

;

Аналогично:

Последняя операция перемножения матрицы преобразования координат на адаптированный вектор-столбец приводит к результату:

; ;

,

где

;

;

.

После определения координат точки относительно неподвижной системы отсчёта несложно (см. подраздел 17.5), используя численный метод, определить абсолютные скорость и ускорение.

167

22.7. Заключение по разделу

Мала вероятность, что в ближайшие 20-30 лет инженерам придётся создавать механические руки, манипуляторы и роботы с большим чем 7 числом последовательно соединённых звеньев, ибо экономический фактор обязывает всегда стремиться иметь как можно более простые конструкции. Поэтому, на основании рассмотренного в подразделе 6, можно заключить: метод матричной кинематики даже вручную позволяет за несколько часов аналитически описать движение любой точки робототехнического механизма; причём, время получения итоговых математических выражений можно существенно сократить – если составлять их с использованием компьютерной техники (с применением редактора формул).

Это значит, что при создании на сегодняшний день недостаточно развитой техники механических рук и манипуляторов у разработчика не возникнет непреодолимых механических задач, т.е. нами показано одно из тех направлений возможной деятельности молодых инженеров-машиностроителей, в котором они смогут, проявляя инициативу, заявить о себе как о сформировавшемся и умеющем делать конкретные дела специалисте.

168