XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 10

Для функционала вида (3.1) можно поставить и „смешанную а задачу, в которой, например, левый конец графика решения точка А(а, уА) — — является фиксированным, а правый конец свободно перемещается вдоль прямой х = 5. В этом случае есть одно краевое условие., сужающсе множество допустимых функций. Допустимая вариация должна удовлетворять ЗЛ. Задача с подвижными концами условию ду(а) = О, так как все допустимые функции имеют одинаковое значение при х = а,. В равенстве (3.6) обнуляется одно слагаемое, и это равенство сводится к первому условию (3.7). Значит, среди экстремалей следует искать такие функции у(х), которые удовлетворяют краевым условиям Пример 3.1.

Найдем экстремали функционала в следующей вариационной задаче с правым подвижным концом; Данная постановка задачи означает, что среди зкстремэлей функционала нужно выделить те, которые удовлетворяют поставленному краевому условию на левом конце и естественному краевому условию на правом конце. Уравнение Эйлера рассматриваемого функционала имеет вид уп+у = 2совх. Его общее решение можно записать следующим образом: у = Сасовх+Сявшх+хвшх.

Из краевого условия на левом конце находим С1 = О. На правом конце естественное краевое условие имеет вид (2у') = О, или у'(я/4) = О. Используя его, определяем постоянную С: Сэ = — 1 — —. Таким образом, поставленным условиям удовлетворяет единственная экстремаль функционала у = (х — 1 — — в1пх. 4/ 78 3. ВАРИАПИОННЫЕ ЗАДАВИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ Пример 3.2. Найдем в вертикальной плоскости хОу кривую, скатываясь по которой без трения, тяжелая точка достигнет данной вертикальной х д х прямой за кратчайшее время. Предполагаем, гго начальное положение точки начало ко- ординат, а вертикальная прямая задается уравнением х = д Ув (рис. 3.2). Эту задачу можно трактовать как модификацию задачи о брахиетохроие (см, пример 2.7).

Отли тис состоит в том, тто правый конец искомой кривой пересекает прямую х = д в некоторой, заранее не известной точке. Экстремалями рассматриваемого функционала является семейство циклоид (см. (2.6) ): Рис. 3.2 с х = С110 — в1пО)., у = С1(1 — совО). где значение О = О параметра соответствует начальной точке х=О, у=О.

Чтобы определить См воспользуемся вторым краевым усло- вием (3.8): / С~ вшО / у уо хо С1 (1 — сов О) Отсюда находим, что у'(о) = О, т.е. правый конец искомой кривой пересекает вертикальную прямую под прямым углом. Так как, согласно правилу дифференцирования функции, заданной параметрически [П1, 79 а2. Задача с подвижными границами Ь х = — (Π— вгпО), я Ь у = — (1 — сов О).

Как и в примере 2.7,. мы пока не можем утверждать, что най- денная функция действительно доставляет рассматриваемому функционалу наименьшее значение, т.е. движение по циклоиде происходит за наименьшее время. 3.2. Задача с подвижными границами Задача с подвижными концами, рассмотренная выше, легко обобщается. Действительно., если вернуться на геометрическую точку зрения, то легко сформулировать еауиггционную задачу, в которой концы графика функции лежат не на вертикальных прямых, а на произвольных кривых или вообще не подчиняются каким-либо ограничениям, т.е.

являются свободными. Особенность подобных задач состоит в том, что область определения допустимых функций не фиксирована и меняется от функции к функции. Такие задачи мы объединим общим названием: еариационные задачи с подвижными границами. Как корректно сформулировать задачу, если функционал, ,1[у1 = 1'(х,у, у') дх, а (3.9) а параметр О может меняться лишь в пределах интервала (О, 2я), то либо О = О, либо О = я. Первое значение соответствует левому концу графика функции, поэтому для правого конца О = я. Из условия х(сг) = Ь получаем Сгя = Ь, откуда Сг = Ь/я. Таким образом, необходимым уг.,лоеиям экстуемумгл функционала удовлетворяет единственная функция, имеющая параметрическое представление 80 3.

ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДА ЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ порождаемый дважды непрерывно дифференцируемой функцией ), рассматривается на множестве функций у(я) с разными областями определения [а, 6]? Отметим следующее. Если функция у(я) непрерывно дифференцируема на отрезке [а, 6], причем в концевых точках существуют односторонние производные, то эту функцию можно продолжить на больший отрезок [ае, 6е] так, что продолженная функция у(я) будет непрерывно дифференцируемой на отрезке [ащ 6е]. Учитывая это, можно сформулировать задачу следующим образом: найти экстремум функционала Ь / [у, а, Ь] — Г (я, у, у ) сЬ а на классе функций С [ао,6я] и при значениях параметров ае < <а<6<6а.

Нам удалось сформулировать вариационную задачу так, что областью определения функционала, как и ранее, является линейное пространство. Однако это пространство не является нормированным, так как „естественная" норма пространства С' [ае, 6е] не отражает действительную степень близости функций, которая должна отражать степень близости концов графиков функций. Близость функций в данном случае можно задать при помощи расстояния. Для произвольных функций у(я) и у(я) с концевыми точками А(а, у(а)), В(6, у(6)) и А(а, у(а)), В(6, у(Ь)) положим р(у,у) = шах[[у(я) — у(я)(+ [у'(я) — у'(я)!) + (АА(+ ~ВВ~, где Т = [а,6] Л [а,6] (рис. 3.3).

Окрестностью данной функции у(х) с концевыми точками (а, у(а)), (6, у(Ь)) в данном случае является множество функций у(я) с концевыми точками (а, у(а)), (6, у(6)), удовлетворяющих неравенству р(у,у) < е, где е>0. 3.2. Задача с подвижными границами Несмотря на то что поста- У ьу)ь) вленная задача не вписывается в рамки теоремы Е2 и мы не МОЖЕМ НанряМуЮ ИСПОЛЬЗОВатЬ Н, 'ЬЬ у'(Ь)аЬ у1х) введенные ранее понятия диф- А ференциала Фреиье или дифференциала Гата, основная схема О й а Ь получения необходимых условиий Рис.

З.З экстремума функционала применима и в этом случае. Приращение функционала будет зависеть не только от вариации функции бу = у — у, но и от вариаций подвижных границ Ба = о, — а и бб = Ь вЂ” Ь. Отметим., что если бу., да, дб тройка допустимых вариаций для функционала /[у,а,б], то существует такое достаточно малое число и ) О, что при ~сг~ ( и тройка вариаций оду, оба, одаб является допустимой. Следовательно, для фиксированной тройки ду., ба, дб в окрестности точки О определена функция ~р(о) = /[у + оду, а + оба, Ь+ обб]. Если функция у(х) является тонкой экстремума функционала ,1[у,а,б], то функция Ьо(о) будет иметь экстремум при о = О.

Если при этом функция ~р(о) дифференцируема в точке О, то., согласно необходимому условию экстремума для функции одного переменного, выполняется равенство ~р~(о) = О. Применим изложенную схему к функционалу .1[у,осб] конкретного вида (3.9), предполагая, что интегранап 1 функционала дважды непрерывно дифференцируемая функция. Пусть функция у(х) с концевыми точками (а, у(а)), (Ь, у(б)) доставляет экстремум функционалу /[у,а,б]. Запишем функцию у(о), задавшись некоторыми вариациями ву, ва, вб: ь;-оьь а, ова 82 а. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИ1КНЫМИ ГРАНИЦАМИ Дифференцирование функции (р(а) — зто дифференцирование интеграла по параметру, причем в данном случае от параметра зависят и пределы интегрирования.

При сделанных предположениях относительно интегранта функционала такое дифференцирование возможно, и мы имеем (У1) Ь-(-аьЬ (Р'(а) = 1 — Х(х,у+ абу,у'+ абу') дх+ / да а-(-аьа +1 1(х,у+абу,у'+абу') бЬ вЂ” 1 1(х.,у+абу,у'+абу') бо, Ь-Ьаьь а-~-аьа где у = у(х), бу = бу(х). Значит, а(0) = ) ((ъ у; (,,ъ у ( а. а + ~ (х, у., у') бу — ) (х, у., у') ба. (3.10) х=Ь х=.а Первое слагаемое в (3.10) справа преобразуем, как и ранее (см. 3.1), с помощью интегрирования по частям: ь ((~е+(~хр(а = ((а — — У„')ю ~(,'«Г (ЗА1( Далее, полагая буь = У1Ь+ бЬ) — у(Ь), находим буь =У(Ь+бЬ) — у(Ь)+у(Ь) — у(Ь) =у Ябб+бу(Ь) =У (Ь)бЬ+бу(Ь).

Проведя аналогичные рассуждения для левого конца и выполнив в (3.11) соответствующие замены, из 13.10) получаем (') /0 гр)"' "","' а + 11 — ~„' У') бЬ вЂ” ~,' бУа — 11 — ~„' У') бо. 13.12) З.2. Задача Е пОдвижными границами Получили формулу, в которую вариации бу, ба, бу„, бб, буь входят линейно.