Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Вепторпьсе пространства в двойствеппости Пусть Е и 0 — векторные пространства и (х, у) -+ В (х, у)— билинейная форма иа с" 'гс',О. Говорят, что билинейная форма В приводит векторные пространства с и 0 в двойственность, или что с и 0 находятся е двойственности (относительно В), если выполнены следующие два условия: (Рс) Для каждоао х Ф О из Е существует у~0 такое, что В (х, у) эь О. (Рц) Для каждого у -,ь О из 0 существует х~ р такое, что В (х, у) чь О. П р и и е р ы.
1) Пусть Е - — произвольное векторное пространство н Е" — сопряженное пространство (векториое пространство всех линейных форм на Е). Каноническая билинейная форма (х, х') -ь (х, х') е) на Е К Е'" (Алг., гл. Рп й 4, п' 1) приводит Е и Е' в двойственность. Действительно, условие (Рс) выполнено по определению отношения х' ~ О, а с другой стороны, известно, что для каждого х ф О из Е существует линейная форма х'СЕ' такая, что (х, х') ьь О (Алг., гл.
11, 5 3, предложение 9), и тем самым выполнено также условие (Рс). Если Š— пространство конечной разиерности и, то единственным подпростраиством 0 в Е'", находящимся в двойственности с Е относительно сужения билинейной формы (х, х') на Е З< О, является само Е'. Действительно, так как Е канонически отождествимо с пространством Е", сопряженным к Е" (Алг., гл. 11, й 4, п' 4), то при 0 ~ Е' в Е существовал бы элемент ачаО такой, что (а, х') = О для каждого х'б 0 (Алг., гл с11, Гз 3, предложение 9), в противоречие с (Рс), 2) Если Š— бескопсчиоссериое векторное пространство н Е' — векторное надпространство в Е, то сужение билинейной формы (х,х') (всегда удовлетворяющей условию (Р,) ) иа произведение Е г( Ег может удовлетворять условию (Рс) даже когда Е'~Е'.
Важнейший пример, которому будет посвящена ббльшая часть этой главы, это тот, когда Е есть отделимое локально выпуклое пространство, а Е'— а) (х, х') — значение линейной формы х' б Е" на элементе х б Е. — Прим. перев. 196 гл. пьа! двоистввнность подпространство в Е', образованное всеми яепрерыеямми лннейными формами на Е; действнтельно, из теоремы Хана — Банаха следует, что для каждого х чь О из Е существует х'бЕ' такое, что (х, х') ~ О (гл. 11, б 5, следствие 2 теоремы 1).
Векторное пространство Е' называют типологическим сопряженным к Е; оно зависит от топологии, заданной в Е, но само не должно считаться наделенным топологней, если только последняя явно не указана. Допуская вольность речн, Е' чаще всего называют просто сопряженным к Е; а когда нужно говорить о пространстве Е', то для избежання путаннцы его называют алгебраическим сопряженным к Е.
3) Пусть Е н Р— отделимые локально выпуклые пространства, Ечз! Р— тензорное произведение векторных пространств Е и Р (Алг., гл. 1!1, б 1, п' 1) н 0 — векторное пространство всех непрерывных билннейных форм на ЕХР. Каковы бы ни были элементе= ~ ~хабруа а из ЕЗР н билинейная форма и на Е Х Р, число (л, и) = ~ ~и(хл, ул), а как известно (Алг., гл. П1, й 1, п' 2, Схолня), не зависит от выражения л в виде суммы тензорных произведений ха~ уа н ясно, что (л, и)-ь(л, и) есть билнпейная форма на (ЕЗ Р) Х О, удовлетворяющая условию (!)гг) по определению. Покажем, что она удовлетворяет также условию (()!) н, следовательно, прнводнт пространства ЕЗ р н 0 в двойственность. Действительно, каждый элемент л~О нз Ез Р может быть записан в виде х=~еагЯЬгч где аг (1(!(ьч) — ли!,г пейна независимые элементы нз Е н б (1 ( ! ( п) — лннейно независимые элененты нз Р (Алг., гл.
И1, й 1, следствне 2 предложения 7). Так как подпростраиство пространства Е, порожденное элементами аг с номерами 1)1, замкнуто (гл. 1, б 2, следствие 1 теоремы 2), то па I Е существует непрерывная линейная форма х, такая, что (ап х ) = = 1 и (ар хг) = О для ! 1 (гл. П, й 3, следствие 3 предложения 4); точно так х.е на Р существует непрерывная линейная форма угтакая, что (йп у,) =1 н (бг,у ) =О для У)1.
Тогда и(х,у)= г =(х,х,) (у,у!) есть непрерывная билннейная форма на ЕХГ, для которой (х,и) =-1, чем наше утверждение н доказано. Грусть Г и 0 — векторные пространства, приведенные в двойственность билинейной формой В, и В., для каждого я~0 — линейная форма у — +В(у, л) на Р. Ясно, что л-+В.г есть линейное отображение пространства 0 в алгебраическое сопряженное Р* к пространству Г, а условие (Рп) означает, что это отображение взаимно однозначно и, следовательно, есть изоморфизм пространства 0 на его образ в Р*; чаще всего 0 отождествляют с этим образом.
Точно так же пусть В„. для каждого у ~ Р— линейная форма х-э В(у, х) на 0; у-+В„. есть линейное отображение про- г СЛАВЫЕ ТОПОЛОГИИ 197 странства Р в алгебраическое сопряженное 0* к пространству О, а условие (!)г) означает, что это отображение есть изоморфизм пространства Р на его образ в О*. что позволяет отождествлять Р с его образом прн этом нзоморфизне. Когда эти отождествления выполнены, вместо В(у, г) мы пишем (у, г). 2. Слабьсе «топологии Опгеделение !. Лусть Р и Π— векторные пространства, приведенные в двойственность билинейной формой (х, у)-+(х,у).
Слабой топологией е(Р, 0) в Р, определяемой двойственностью между Г и О, называют слабейшую из топологий в Р, при которых непрерывны все линейные формы х-+(х, у) (у~О). Таким же образом, меняя в определении 1 ролями Р и О, вводят слабую топологию е(0, Р) в 0; впрочем, эта возможность переставлять г'' и О относится ко всем результатам и определениям этого параграфа. Для наименования свойств, относящихся к слабой топологии е(Р, 0), если это не сможет повлечь путаницы, мы будем иногда пользоваться прилагательным „слабое' н наречием „слабо'. Так, например, мы будем говорить о „слабой сходнностн', „слабо непрерывной функции" н т, д.
Обозначим тело скаляров пространств Р и 0 (равное й или С) через К. В силу условия (!л), линейное отображение х -+ ((х, у))„бо пространства Р в произведение Ко взаимно однозначно, что позволяет отождествлять Р с векторным подпространством в Ко; слабая топология о(Г, 0) отождествляется тогда с топологией, индуцируемод в Г из топологнческого произведения Ко, так что это †отделим локально выпуклая топология, определяемая множеством полунорм х — +)(х, у)~, где у пробегает О.
Для каждого а ) О и каждого конечного числа точек уь (1 < 1.< и) из 0 обозначим через (г'(уы ..., у„; и) множеГгво всех х~р таких, что ((х, уе)! <а (1 <1<я); эти множества (с произвольными и, и и у;) образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для е(Р, 0). Заметим. что Ф'(уп ..., у„; и) содержит подпространство конечной фактор- размерности в Р, определяемое уравнениями (х, у;) = О (1А !<и). Пгедложение 1. Каждая линейная форма на Р, непрермвная в топологии а (Р, О), однозначно представима в виде х — +(х, у), где у~О. 198 гл.
щ, а1 днойстввнность Действительно, непрерывность линейной формы у на Р в топологии в(Р, 0) означает, что в О существует конечное число точек у; (1 ( ! ( и) таких, что ~у(х)! ( апр 1(х, у,)~ (гл. П, 9 5, предлогк1<я жение 9). Если поэтому (х, у;) = О (! (1(и), то У(х) =О и, следовательно (Алг., гл. Н, 9 4, и'6), существует линейная комбинация у.=~~'„)чуь такая, что г(х) =(х, у) для всех х~Г. Едина=г ' ' ственность этого представления вытекает нз условия (0п).
Другими словами, если Е наделено топологией е(Р, 0), то 0 можно отождествить с пространством, сопряженным к Р (п'1, пример 2). Следствие 1. Для того чтобы семейство (а,) точек из Р было тотальным в топологии в(Г, О), необходимо и достаточно, чтобы для каждого ненулевого у~О существовал индекс ~ такой, что (а„у) ~ О. Действительно, это выражает, что никакая замкнутая гиперплоскость ие содержит всех точек а,.
Следствие 2. Для того чтобы семейство (а,) точек из Г было типологически свободным в топологии а(Р, 0), необходимо и достаточно, чтобы для каждого индекса ~ существовал элемент Ь,~-О такой, что (а„д,) Ф О, а (а„, Ь,) = О для всех я Ф ь Действительно, это выражает, что для каждого ~ существует замкнутая гнперплоскость, содержащая все а„с индексами я+с и не содержащая а,. Сладствив 3. Если О,— векторное надпространство в О, отличное от 0 и находящееся в двойственности с Р (относительно сужения (х, у) на Е )(О,), то а(Г, О,) слабее, чем в(Г, О). Действительно, если у~О не принадлежит О„то линейная форма х -+ (х, у),, в силу предложения 1, непрерывна в в(Р, О), но не непрерывна в а(Р, О,). 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
