Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Предоставляем читателю доказательство следующих предложений, обобщающих предложения 4 — 7. Пгвдложвнив !2. Равностепекно Б-гипонепрсрывное множество Н билинейных отображений Е Х Р в б равностепснно непрерывно на М Х Р для каждого Мс а, причем обьедикение.мнолссств и(М Х 9) (и Е Н) ограниченно в 0 для каждого ограниченного мяожеспта 1',) из Р. Пгкдложкннв 13. Равностепенно (Я, 'д)-гипонепрерывное множество Н билинейных отображений Е Х Р в б равномерно ГИПОНЕПРЕРЫВНЫЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 191 равностепенно непрерывно на МХН для любой лары множеств М6ю, Н ел. Пгвдложвнив 14. Если Р— бочечное пространство, гло каждое раздельно равностепенно непрерывное множество билинейных отображений произведения Е Х Р в локально выпуклое пространство 0 равностепенно ю-гилонепрерывно для любого множества ю ограниченных подмножеств пространства Е.
Пгвдложкник 15. Пусть Ег, Ет, Р— толологические векторные пространства, 0т (соотв. 0 ) — всюду плотное векторное надпространство в Ет (соотв. Е ), 6т (соотв. ют) — множество ограниченных подмножеств из 0т (соотв. 0т) и Н вЂ” множество раздельно непрерывных билинейных отображений Е, Х Ег в Р. Если множество сужений на 0г Х 0 отображений «з Н равностепенно (Жг, гют)-гипонепрерывно, то и Н равностепенно (юп гют)-гипонелрерывно.
Упражнения. 1) Пусть Е, Р, 0 — топологические векторные пространства. Показать, что если Š— бэровское, а Р— метрнзуемое, то каждое раздельно равиостепенно непрерывное множество билинейных отображений Е Х Р в 0 равностепенио непрерывно а). (См. 6 3, упражнение 16.) 2) Пусть Е, Р, 0 — топологическне векторные пространства и ю — покрытие пространства Е, образованное ограниченными множествами.
Показать, что раздельно непрерывное билинейное отображение Е Х Р в О, непрерывное на М Х Р для любого Мс ю, ю-гипонепрерывно. 3) а) Пусть Е, Р, 0 — отделимые локально выпуклые пространства и и — билинейное отображение Е Х Р в О. Для существования в Е уравновешенной окрестности нуля (7 такой, что множество отображений и 6 Е (Р, О) (х 6(7) равностепенно непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы и было непрерывно при замене тЪпологии пространства Е мажорнруемой ею топологией, для которой иножества 1(7 образуют фундаментальную снстеиу окрестностей нуля.
Показать, что если 0 нормированное, то это условие удовлетворяется для каждого непрерывного билинейного отображения Е Х Р в 0. *) Заметим, что этот результат нельзя вывести прямо из предложения 10, поскольку существуют неметризуемые бэровские пространства (й 1, упражнение 7); точно так же и предложение 10 нельзя вывести из результата упражнения 1, поскольку существуют метризуемые бочечные пространства, ие являющиеся бэровскими (гл. ту, 6 2, упражнение 10). Накоиеп, в предложении 1О нельзя опустить требование метризуемости пространства Р, ибо можно привести примеры раздельно непрерывных, но не непрерывных билинейных форм на Е Х Р, где Е метризуемо, а Р бочечио (упражнение 5).
192 пРОстРАнстВА непРБРывных линейных ОтОБРАжений гл. (п, 4 4 б) Примем за Е, Р и О произведение )с' и за и — непрерывное к билинейное отображение ((хп), (у„))-ь(х„ум). Показать, что в Е нет никакой окрестности нуля К для которой бы множество отображений и ЕЕ(Р, О) (хЕУ) было равностепенно непрерывным. 4) Пусть Š— прямая сумма Рсб', наделенная топологией, иидуци(к) рованяой из произведепил 1(х. Показать, что билинейная форма чт ( (л„), (ув) ) -ь ~„хяуя раздельно непрерывна на Е )( Е, однако ни для п=о какого множества ш ограниченных подмножеств пространства Е, содержащего хотя бы одно бескоиечиомерное ограниченное множество, зта билинейная форма не Я-гипопепрерывна.
5) Пусть Š— пространство )с ', наделешюе сильнейшей локально Рд) выпуклой топологией, и Р— произведение )с'; Š— полное ограниченно к. замкнутое бочечное пространство, Р метризуемо и полно. Пусть, далее, Ж (соотв. ь) — множество всех ограниченных подмножеств пространства Е (соотв. Р). Показать, что билинейная форма ((хя), (ув) ) -ь ~л л пуп на Е >( Р (Ж, '.ь)-гипонепрерывиа, но не непрев=е рывна. ]Сап гл. 1Т7, Е 3, упражнение 2.] б) Пусть Š— локально выпуклое пространство, Р— инфрабочечпое пространство (б 2, упражнение 12) и 1Š— множество всех ограниченных подмножеств пространства Р. Показать, что д-гипонепрерывнос билинейное отображение пространства Е т( Р в локально выпуклое пространство О (З, к)-гнпопепрерывпо для каждого множества З ограниченных подмножеств из Е. (См. й 3, упражнение 17.] 7) Пусть Е и Р— топологнческие векторные пространства, У' — билинейное отображение (х, и)-»и(х) произведения Е Х Е(Е, Р) в Р, Я вЂ” топология, согласующаяся со структурой векторного пространства в 5 (Е, Р) и мажорирующая топологию простой сходимости, Я вЂ” множество ограниченных подмножеств из Е, А — множество ограниченных подмножеств из Е(Е, Р).
Для того чтобы 7" было ю-гнпонепрерывным, необходимо и достаточно, чтобы топология й мажорировала (о-топологию в Е(Е, Р); для того чтобы 7" было А-гипонепрерынпым, необходимо и достаточно, чтобы множества, образующие А, были равностепенно непрерывны. 8) Пусть Е, Р, Π— топологические векторные пространства, Я (соотв. А) — миозкество ограниченных подмножеств пространства Е (соотв. Р) и Н вЂ” векторное пространство всех д-гипонепрерывных отображений Е З( Р в О.
а) Показать, что в 0 топология равномерной сходимости на всех множсствах вида д( тг Аг (А( л я, Аг е А) согласуется со структурой векторного пространства; зта топология называется (ю, А)-глопологией в Н. Пусть й для каждого и Р Н вЂ” непрерывное линейное отображение к-ьи . пространства Е в Е (Е, О). Показать, что и- и есть л ГИПОНЕПРЕРЫВНЫЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 193 изоморфизм пространства Н, наделенного (З, л.)-топологией, на пространство йи (Е, Еа (Р О) ). б) Пусть ь — множество нз Н такое, что для каждой пары (х, у) бЕ Х Р множество точек и(х, у) (и Р Е) ограниченно в 0 (т. е. Е ограниченно в Н в топологии простой сходимости).
Показать, что если Е, Р и 0 локально выпуклы, причем Е и Р отделимы и квазнполны, то ь ограниченно в Н для каждой (З, л.)-топологии. в) Пусть Е, Р, 0 — отделимые локально выпуклые пространства. Если Е н Р бочечиы, причем Р квазиполно, то каждое множество ь из Н, ограниченное в топологии простой сходнмостн, равностепенио а.-гипонепрсрывио. г) Если Е н Р бочечны, О квазнполио, а ~Б и а. покрывают соотяетственно Е и Р, то Н отделимо и квазиполио в (сю, н)-топологии. 9) распространить определения и результаты $4 на полилииейиые отображения.
Пусть Е, Р, 0 — топологические векторные пространства, ю (соотв. л.) — множество ограниченных подмножеств пространства Е (соотв. Р) и И вЂ” множество ограниченных подмножеств пространства йи к(Е, Р; О) (ю, Х)-гнпопепрерывных отобрал(еиий Е )( Р в О, наделенного (ю, Х)-топологией (упражнение 8). Показать, что трилннейпое отображение (х, у, и)- и (х, у) произведения Е Х Р Х ьо, а(Е, Р; О) в 0 (ю, й)-гипонепрерывно; для того чтобы оно было (ю,(()-гнпонепрерывно, необходимо н достаточно, чтобы каждое множество НР (( было равностепенно (о-гнпонепрерывно. а)О) Пусть Š— пространство всех последовательностей х = (сн)я вещественных чисел, для которых ряд с общим членом ся сходится. Положим ах(= зпр ~~~~ ~(а а=о а) Показать, что зхй — норма в Е и Е полно по этой норме.
б) Показать, что векторное пространство ьт(М), рассматриваемое как подпространство пространства Е, всюду плотно (в топологии пространства Е), причем топология в ьг (М), определяемая нормой |) х ~(т= = ~', )са~, сильнее топологии, иодуцируеной из Е. я=о в) Пусть (Ря) — возрастающая последовательность конечных подмножесто произведения.МХМ, покрывающая М~(М. Для каждого х= (сн) ЕЕ и каждого У= (т)а) Е ьг(М) пУсть гн(х, У) = ~~>' стД . (З У)ЕРи Дляс того чтобы последовательность (уи(х, у) ) для каждой пары (х, у) с Е Х ьт(М) стремилась к пределу, необходимо и достаточно чтобы эта последовательность для каждой такой пары (х, у) была ограниченна, причем предел Уя(х, у) равен тогда ~ ~ ,'я) ~ ~~в~ т)я я=о я=о 194 пРОстРАнстВА непРеРыпных линейных ОтОБРАжений Гл.
1п, $4 (Используя упражнение 8в, показать, что последовательность билинейных форм (~ч) равностепенно непрерывна, и заметить, что она сходнтся на 4.4(14));( 4.4(Х); в заключенне использовать б).) г) Пусть ру„,для каждого убей, — наименьшее количество замкнутых интервалов из М, объеднненнем которых служит срез Р„ по значению у второй координаты (проекция множества РяП(м;со))), н пусть рч=аарр „. Показать, что условне, полученное в в), равноубн сильно условию ьпр ря с., + со. (Показать, что норма билинейной я фоРмы Уч Равна зпР ( ~1Р„(й /) — Рв((+ 1, 1) ~, гДŠń— хаРактеУбн~,у=о ристнческая функция множества Рч.'1 ГЛАВА !Ч ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ В 1. Слабые топологии е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
