Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Первое утверждение есть следствие предложения 4, а второе— предложения 5. Пведложение б. Пусть Н вЂ” равностепенно непрерывное множество в Е(Е, Е). Если Е метризуемо, а в Е существует тотальное счетное множество, то равномерная структура в Н простой сходимости на Е метризуема. Если, кроме того, и в Е существует тотальное счетное множество, то Н содержит счетное всюду плотное множество (в топологии простой сходи- мости на Е). Действительно, пусть (а„) — тотальная последовательность в Е; покажем, что отображение и -+(и(а„)) есть изоморфизм Н, наделенного равномерной структурой ТС простой сходимости иа Е, х в равномерное пространство Р', чем и будет доказано, что гг метризуема (Общ.
топ., Рез., ф 7, и' 9; гл. 1Х, ф 2, упражнение 8(г')). Итак, пусть д — расстояние, определяющее равномерную структуру пространства р; если для каждых двух элементов и и о в ь (Е, Р) положить с(„(и, о) = д (и (а„), о (а„) ), то д„будут о гклонениями на Е(Е, Р); в силу предложения 5, они определяют в Н равномерную структуру гг, чем и установлена справедливость нашего утверждения. Для доказательства второй части предложения мы воспользуемся следующей леммой: Лемма 3. Для того чтобы топология метризуемого топо- логического пространства б обладала счетным базисом, необходимо и достаточно, чтобы О содержало счетное всюду плотное множество. Условие необходимо, ибо если (В„) †баз топологии пространства 6 и Ь„~ В„. то последовательность (Ь„) всюду плотна.
Обратно, предположим, что в О существует всюду плотная последовательность (а„), и пусть й — расстояние, определяющее топологию в 6, а 5 „— открытый шар с центром аы и радиусом —. Тогда 1 и ' множества 5 „образуют базис топологии в О. Действительно, для каждого открытого множества (! из О'и каждой точки х~(7 су- 1 ь шествуют целые числа т, и такие, что с((х, аы) ~ — ( —, где о— и 2' в пРОстРАнстВА непРеРывных линейных ОтОБРАжений 171 расстояние от х до СУ, а тогда шар 5 „содержится в 17 и содержит х.
Вернемся теперь ко второй части прелложения 6. Предположим, что в Е существует тотальная последовательность (с„). Если телом скаляров для Р служит Й (соотв. С), то линейные комбинации векторов с„(соотв. с„и ьс„) с рациональными коэффициентами образуют всюду плотное счетное множество в Р, так что топология в Р обладает в силу леммы 3 счетным базисом З. Непосредственно ясно, что тогда элементарные множества в Е' (Общ. топ., Рез., й 7, п'5; гл. 1, й 8, п' 1), все проекции которых на Е принадлежат 3, образуют счетный базис топологии в Е . Отсюда заключаем, что топок логия в Н обладает счетным базисом, что, в силу леммы 3, и завершает доказательство.
6. Теорема Банаха — Штейнгауза Пгедложение 7. Пусть Е и à — топологические векторные пространства. Каждое равностепенно непрерывное множество в Е(Е, Р) ограниченно во всех С-топологиях. Действительно, какова бы ни была окрестность нуля $' из Е, П вЂ” 1 и (У) есть окрестность нуля в Е и, следовательно, поглощает иЕН все ограниченные множества, что, в силу предложения 3, и завершает доказательство.
Множество из Е(Е, Р), ограниченное в топологии ограниченной сходимости (и тем более во всех Я-топологиях), не обязательно равностепепно непрерывно (гл. 1Н, й 3, упражнение 5). Однако справедливо следующее: Теогемь 2. Пусть Š— бачечн ое пространство и Š— локально выпуклое пространство.
Каждое множество Н~Е(Е, Г), ограниченное в топологии простой сходимости, равностепенно непрерывно. Действительно, пусть У вЂ” замкнутая уравновешенная выпуклая -1 окрестность нуля в Р. Множество Т= П и (У) замкнуто, уравно- иЕЕ вешепно и выпукло, предположение же, что Н ограниченно в топологии простой сходнмости, означает, что Т вЂ” поглощающее мно- 172 пРОстРАнстВА непРеРыВных линеиных ОтОВРАжении Гл. Нь а 3 жество (предложение 3), значит Т вЂ” бочка в Е. А так как Е— бочечное пространство, то Т вЂ” окрестность нуля в Е, и теорема доказана. Следствие (теорема Банаха — Штейнгауза). Пусть Š— бочечное пространство, à — отделимое локально выпуклое пространство и Ф вЂ” фильтр в Е(Е, Г), сходящийся на Е в топологии простой сходимости к некоторому отображению иа пространства Е в Г.
Если Ф содержит множество, ограниченное в топологии простой сходимости (в этом случае мы говорим. что Ф вЂ” ограниченный фильтр), или обладает счетным базисом, то ив есть непрерывное линейное отображение Е в Г и Ф сходится к иа равномерно на каждом предкомпактном множестве из Е. Если Ф содержит множество Н, ограниченное в топологии простой сходимости, то утверждение вытекает из следствия предложения 5, поскольку Н равностепенно непрерывно (теорема 2).
Далее, если Ф вЂ” элементарный фильтр, ассоциированный с некотоРой последовательностью (и„)„ь, (Общ. топ., Рез., З 2, п' 10; гл. 1, З 5, п' 10), то послеловательность (и„(х)) для каждого х~Е сходится в Г к иа(х); тогда последовательность (и„) ограниченна в топологии простой сходимости (й 2, следствие предложения 3) и мы приходим к предыдущему случаю. Предположим, наконец, что Ф обладает счетным базисом. Тогда каждый элементарный фильтр %", мажорирующий Ф, сходится на Е к иа в топологии простой сходимости, так что иа есть непрерывное линейное отображение Е в Г и Ф' сходится к ив в топологии равномерной сходимости на предкомпактных множествах из Е.
Следовательно, то же верно и для фильтра Ф, поскольку последний является пересечением всех мажорирующих его элементарных фильтров (Общ. топ., Рез., э 2, и' 1О; гл. 1„й 5, предложение 10). Заметим, что просто сходящийся фильтр из 1. (Е, Г), обладающий счетным базисом, не обязательно содержит ограниченное множество, как зто показывает пример фильтра окрестностей нуля, когда топология а Е(Е, Г) метризуена, но не может быть определена одной нормой (упражнение 3). Пример. Пусть Š— банаховское пространство (над С), образованное непрерывными комплексными функциями на и, имеющими в пРОстРАнстВА непРеРыВных линеяных ОтОБРАжения 173 период 1, н снабженное нормой [Д~[ = зпр [у(х)[.
Для каждого цеа<х<1 1 лого лба н каждой фУнкцни УЕЕ положим св(7) = [ У" (х) ез«гплих о (и-й коэффициент Фурье функцииу); каждое из отображений у - св (Д есть непрерывная линейная форма иа Е. Пусть («„) — последовательность комплексных чисел, обладающая тем свойством, что ряд с общим членом «вся(у) (лба) абсолютно сходится для каждой функции убе. при этих условиях отображение 7"-ь 1~« «всв(г) есть непрерывная линейная форма иа Е; 'иными словамн, существует мера и на [0,1[ такая, что )~~ «яся(У) = ~ У(Х)иР(х) для каждой фУикции у с Е., Действительно, отображение у -+ ~~~~ «лсл (у) для каждого а--м целого т)0 есть непрерывная линейная форма и,„на Е, и по предположению последовательность и,„((У)) для каждой функции у Е Е сходится к и(у) = ~ «всв(у); тем самым справедливость утверждения следует из теоремы Банаха — Штейнгауза, поскольку Š— бочечное пространство.
3 а м е ч а н и е. 'Результат последнего примера может быть получен также путем применения теоремы о замкнутом графике (гл. 1, Е 3, следствие 5 теоремы 1)„а именно следующим образом. Пусть о — линейное отображение пространства Е в банаховское пространство Р = Е'(Х), относящее каждой функции у б Е последовательность («яс ( У)) Ев. Покажем, что о непрерывно, откуда тем более будет следовать непрерывность отображения и.
Для этого достаточно показать, что график П отображения о замкнут в Е;< Р. Но пусть Ра— произведение Ск; Р (рассматриваемое как векторное пространство, не наделенное топологией) есть надпространство в Рь и топология, иидуцируемая в Р из Рэ, мажорируется нормированной топологией в Р. Лостаточно поэтому доказать, что 0 замкнут в пространстве Е)( Рэ или, иначе (поскольку Р«метризуемо), что о(у ) стремится к нулю в Р для каждой стремящейся к пулю последовательности (У,„) нз Е.
Но это означает, что последовательность («вся(у,„) ) и сходится к нулю для каждого п, а последнее очевидно. Теогеыл 3. Пусть 7 — метризуемое тополпгическое пространство, Š— метризуемое бочечное пространство, Р— локально выпуклое пространство и М вЂ” множество отображений 174 пРОстРАнстВА непРеРыВных линейных ОтОВРАженип Гл. Нь 3 3 произведения Е Х Т в Г, удовлетворяющее следующим условиям: 1' для каждого 1 ~ Т множество отображений х — +Т(х, 1ь) (Т~ М) есть равностепенно непрерывное множество линейных отображений Е в Е; 2' для каждого хь~Е множество отображений 1-+Т(хь, 1) (у~М) пространства Т в Е равностепенно непрерывно. При этих условиях множество М равностепенно непрерывно.
Мы воспользуемся следующеИ леммоИ: Леммь 4. Пусть Н вЂ” множество отображений метризуемого пространства А в равномерное пространство В. Для того чтобы Н было равностепенно непрерывным, достаточно, чтобы для каждой последовательноста (г„) из А, сходящейся к любому пределу а, последовательность Ц(гн) ) сходилась к З (а) равномерно относительно УЕ Н. В самом деле, при этих условиях для каждого а ~ А и каждого окружения У для равномернои структуры пространства В множество ьг точек а~А таких, что (Т(г), Т(а))~ У для каждоИ функции ~~Н, есть окрестность точки а в А. Действительно, если бы это было не так, то в СЪ' существовала бы последовательность (г„), сходящаяся к а, а тогда последовательность (Т(г„)) пе сходилась бы к Т(а) равномерно относительно ~~Н.
Для доказательства теоремы 3 достаточно теперь, в силу метризуемости произведения ЕХ Т, показать, что для каждой последовательности ((х„, 1„)) , точек этого произведения, сходящеИся к пределу (хь, 1ь), Т(х„, г„) сходится к У(хь, 1ь) равномерно относительно Т~ М. Пусть (, для каждой функции Т ~ М и каждой точки 1~ Т вЂ” частичное отображение х -+ Т(х. 1), по условию принадлежащее Е(Е, Е). Покажем, что множество линейных отображе- ниИ Т,„ — Т„,, где Т пробегает М, а и — множество целых чисел ) 1, ограниченно в топологии простой сходимости в Е(Е, Г), т. е. что для каждого х~ Е множество И„точек Т(х, Г„) — У(х, (в) (п)~1, Т~М) ограниченно в Г. Пусть 1г — уравновешенная окрестность нуля в Е; из предположения 2" теоремы следует существование номера п, такого, что ,((х, 1„) — У'(х, Гь)ЕУ дла каждой фУнкции УЕМ и всех п)~пь; с другой стороны, в силу предположения 1' и предложения 7, множество точек Т(х, 1)=Т,(х) (Т~М) огрзниченно в Г для каж- 7 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЯНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯ 175 дога г~ Т; поэтому множество точек 7(х, 1„) — 7(х, гь) (у~М) ограниченно в Г для каждого номера п < пь (З 2, следствие 5 предложения 5) и, значит, существует Л) 1 такое, что 7(х, Г„)— — У(х, 1ь) Е Ю длЯ и ( пь и всех 7'~ М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
