Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 35
Текст из файла (страница 35)
)См. упражнение 1Ц б) Для того чтобы локально выпуклое пространство Р было ограниченно замкнутым, достаточно, чтобы каждое его линейное отображение в банаховское пространство Р, переводящее всякую стремящуюся к нулю последовательность из Е в ограниченную последовательность в Р, было непрерывно. [Рассмотреть ограниченно замкнутое пространство Еа, ассоциированное с Е (упражнение 13), и погрузить отделимое пространство, ассоциированное с Еа, в произведение банаховских пространств.) 15) Пусть Š— метризуемое векторное пространстно над недискретным нормированным телом К. Показать, что каждое уравновешенное множество из Е, поглощающее все последовательности, стремящиеся к нулю, есть окрестность нуля в Е.
Вывести отсюда, что непрерывное линейное отображение пространства Е в топологическое векторное пространство над К, переводящее каждую стремящуюси к нулю последоватеяьность из Е в ограниченную последовательность в Р, непрерывно на Е. В частности, каждое локально выпуклое пространство, топология которого может быть определена счетным семейством полунорм, ограниченно замкнуто. 16) Пусть Š— отделимое топологическое векторное пространство над недискретным нормированным телом К и Р— метризуемое 158 пРОстРАнстВА непРВРыВных линеиных ОтОБРАженип Гл.!и, 6 3 векторное пространство над К Показать, что непрерывное линейное ото- -1 бражение и пространства Е в Р, такое что и(В) ограниченно в Е для любого ограниченного множества В из Р, есть изоморфизм Е в Р.
17) а) Пусть (Р), бт — семейство ограниченно замкнутых (соотв. инфрабочечных) пространств и у„для каждого 1ЕŠ— линейное отображение пространства Р, в векторное пространство Е. Показать, чтоЕ, наделенное сильнейшей локально выпуклой топологией, при которой непрерывны все У, (гл. И, й 2, п' 2), ограниченно замкнуто (соотв. инфрабочечно). В частности, каждое факторпространство ограниченно замкнутого (соотв, инфрабочечного) пространства ограниченно замкнуто (соотв.
ннфрабочечно) *); топологическая прямая сумма ограниченно замкнутых (соотв. инфрабочечных) пространств ограниченно замкнута (соотв. ннфрабочечна). Векторное пространство, наделенное сильнейшей локально выпуклой топологией, ограниченно замкнуто. б) Пусть Š— локально выпуклое пространство и Ел, для каждого уравновешенного ограниченного выпуклого множества В из Е,— векторное подпространство в Е, порожденное множеством В и наделенное топологией, для которой множества АВ (1 ~ 0) образуют фундаментальную систему окрестностей нуля (и которую можно определить одной нормой). Пусть /л — каноническое вложение Ел в Е. Показать что сильнейшая локально выпуклая топология в Е, при которой непрерывны все ул, есть ограниченно замкнутаи топология, ассоциированная с топологией пространства Е (упражнение 13).
в18) Пусть (Е,), г — бесконечное семейство локально выпуклых пространств, не сводящихся к одному злементу О. а) ПустьУ вЂ” линейное отображение произведения Е = И Е, в бана- 'ЕТ ховское пространство Р. Показать, что если образ каждого ограниченного множества из Е при отображении У есть ограниченное множество в Р, то существует конечное подмножество О в 1 такое, что сужение У на Е, (рассматриваемое как подпространство в Е) равно нулю для каждого 1( О. [В предположении, что утверждение неверно построить ограниченную последовательность (л„) в Е, образ которой при отображении У не ограничен в Р.[ б) Пусть каждое из пространств Е, ограниченно замкнуто. Показать, что если, кроме того, произведение Й ограниченно замкнуто, то произведение Е = Н Е, ограниченно замкнуто.
[Используя признак щг упражнения 146 и а), свести к доказательству того, что если отображение У пространства Е в банаховское пространство Р переводит *) Можно привести примеры подпространств ограниченно замкнутого пространства, не являющихся инфрабочечными (гл. 1Ч, б 5, упражнение 21). ОГРДНИЧеННЫП Мможкетвл 159 каждое ограниченное множество в ограниченное множество и равно нулю на каждом Е„то У равно нулю па Е; для зтого рассмотреть, для каждого х =(х,), сужение у на произведение прямых 1(х,.] в) Вывести из б), что произведение любой последовательности (Е„) ограниченно замкнутых пространств ограниченно замкнуто *).
19) Пусть 7 — несчетное множество. Рассмотрим в векторном пространстве Е= (с(г), с одной стороны, сильненшую локально выпуклую топологию й, а с другой — топологию За, определенную в упражнении 7 б 1 гл. 1. Как известно, топологии 3' и ба различны (см. гл. П, й 2, упражнение 7). Показать, что ограниченные множества в обеих топологиях — одни и те же (см. упражнения 9 и 10) и что Е, наделенное топологией 3 а, не является инфрабочечным.
[Использовать упражнение 12в, а также упражнение 5 й 1.] 20) Показать, что если топология метризуемого локально выпуклого пространства Е не может быть определена одной нормой, то в Е не существует счетной фундаментальной системы ограниченных множеств. [Используя упражнение 5, показать, что в противном случае в Е существовало бы ограниченное множество, поглощающее все ограниченные множества из Е, и в заключение воспользоваться упражнением 15.] 21) Локально выпуклое пространство Е называется относительно ограниченнылг, если в Е существует ограниченная бочка. а) ]Лая того чтобы Е было относительно ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы топология в Е мажорировалась топологией, определяемой одной нормой.
Тогда в Е существует фундаментальная система ограниченных множеств, состоящая из бочек. б) Для того чтобы пространство Е было ограниченно замкнутым и относительно ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы его топология была нижней гранью семейства нормированных топологий в Е. [См. упражнение 176.] Для того чтобы в Е существовала, кроме того, счетная фундаментальная система ограниченных множеств, необходимо н достаточно, чтобы топология пространства Е была нижней гранью счетного семейства нормированных топологий. 22) Пусть К вЂ” компактное выпуклое множество и  — замкнутое ограниченное выпуклое множество в отделимом топологическон векторном пространстве Е. Показать, что выпуклая оболочка С объединения К [] В замкнута.
[Рассмотреть точку прикосновения л множества С, не принадлежащую К, и свести рассмотрение к случаю л = 0; принять во внимание, что существуют окрестность нуля (l и число аа(1 такие, что из 0 ( Л ~( 1, х б К, у б В, Лх+ (1 — Л) у б (г следует Лл а затем для каждой окрестностк нуля Ф'рассмотреть множество троек (Л, х, у) таких, что Лх+(1 — Л) у й Ф; 0~( Л~(1, х 5 К, у 5 В.] ч) Неизвестно, является лн произведение )сг ограниченно замкнутым для произвольного несчетного множества Е 160 пРОстРАнстВА непРеРНВных линейных ОтОБРАжений Гл. Не Ф 3 23) Пусть е„в банахозском пространстве Т.г(г)) — последователь- НОСТЬ (Ь„,„),„е ч, ГДЕ Ьыя —— О ПРН т ~ и И а„„= 1.
ОПРЕДЕЛИТЬ НЕПРЕ- рывное отображение (г(г() в й, переводящее ограниченную последовательность элементов е„в неограниченное множество в и. (Использовать теорему урисона (гг).) $ 3. Пространства непрерывных линейных отображений г. Пространства Лв (Е, Р) Пусть Š— произвольное множество, Я вЂ” некоторое множество его подмножеств и à — коммутативная топологическая группа в аддитнвной записи.
Множество ре всех отображений Е в р обладает структурой коммутативной группы — произведением структур групп его составляющих. Покажем, что топология равномерной сходимости на множествах из Я (Обш. топ., Рез., 6 13, п'1; гл. Х, 6 1, п'2), которую мы будем называть Ь-топологиед е Рв, согласуется с этой структурой группы в Гв. Действительно, пусть Тэ(М, У) для каждого множества М ~ Ь и каждой окрестности нуля в Р— множество всех и~Ее таких, что и(М)г=(г, Из определений непосредственно следует, что для каждого и ~Ее пересечения всевозможных конечных наборов множеств вида из+Те(М, )г) образуют фундаментальную систему окрестностей иэ в С-топологии.
Кроме того, ясно, что если Ф' — симметричная окрестность нуля в р такая, что Ф'+В'~(г, то Тэ(М, (г) симметрично и Тэ(М, %')+ +Тэ(М, (Р')~Тэ(М, 'г'), чем наше утверждение и доказано. (Обш. топ., Рез., 6 10, п'2; гл. П!, 6 1, п'2). 3 а м е ч а и н я. 1) Заметим, что равномерная структура в Рв, индуцироэанная Я-топологией, рассматриваемой как топология группы (Общ. Топ., рез., й 10, и'11; гл. П1, $3, и'1), совпадает со структурой равномерной сходимостн на множествах нз го. 2) Если Ь' замкнуто в р, то множество Тэ(М, У) замкнуто в топологии пРостой сходнмости.
Лействнтельно, если ига Р есть точка прикосновения множества Тэ(М, У) в топологии простой сходимосги, то иэ(х) для каждого х РМ есть точка прикосновения объединения множеств и (М), где и пробегает Тэ(М, Ъ ); следовательно, иэ(х), по определению множества Тэ(М, У), есть точка прикосновения для У, откупа иг(М) с= )г, т. е.
ирй Тэ(М, У). Если à — топологическое векторное пространство, то Ре обладает структурой векторного пространства — произведением структур векторных пространств его составляющих. 1 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 161 Пгедложение 1. Пусть Š— множество, Я вЂ” некоторое множество его подмножеств, à — топологическое векторное пространство и Н вЂ” векторное подпространство в Рл.
Для того чтобы Я-топология согласовалась со структурой векторного пространства в Н, необходимо и достаточно, чтобы и(М) для любой функции и~Н и любого множества М~Я было ограниченным в Е. Если, кроме того, Г локально выпукло, то Н, наделенное Ь-топологией, локально выпукло. В введенных выше обозначениях, Я-топология в Н обладает фундаментальной системой окрестностей нуля, образованной пересечениями конечных наборов множеств вида НПТв(М, 'Р), где М пробегает Я, а Ъ' — множество всех уравновешенных окрестностей нуля в Е. Так как Ть(М, Лг') =ЛТь(М, Р'), то эта система окрестностей инвариантна относительно гомотетий и состоит из уравновешенных множеств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
