Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 37
Текст из файла (страница 37)
е. когда А — поглощающее множество. Пусть тогда р — его калибровочная функция (гл. П, й 5. и'3). Так как для каждого ненулевого х~ Е существуют окрестность нуля У, не содержащая х, н число а) 0 такое, что аА~У (ибо А ограниченно), то р(х) ~ О, иными словами, р — норма на Е. 166 пРОстРАнстВА непРеРыВных линеиных ОтОБРАжении Гл. Нг 3 3 Обозначим через Е, нормированное пространство, получающееся путем наделения Е нормой р. Множества ),А (),) О) образуют в Еь фундаментальную систему окрестностей нуля. Так как А ограниченно в Е, то топология Ув пространства Еь мажорирует топологию У пространства Е. Далее, Ев — банаховское пространство. Действительно, окрестности нуля АА для топологии Яь полны в топологии Т; следовательно, нормированное пространство Еь полно (гл.
1, й 1, следствие предложения 8). Так как теперь Т замкнуто в Е, то оно замкнуто и в Еь и, следовательно, является бочкой в Е,. Но Еь— бочечное пространство (й 1, предложение 1). Следовательно, Т есть крестность нуля в Ев и, значит, поглощает А. Следствие 1. Пусть Е и Š— отделимые локально выпуклые пространства. Если Е квазиполно, то каждое множество из Е(Е, Г), ограниченное в топологии простой сходимости, ограниченно во всякой Ь-топологии.
Действительно, ьь есть в этом случае множество всех замккутых ограниченных уравновешенных выпуклых подмножеств пространства Е, и так как замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка каждого ограниченного множества из Е также ограниченна в Е Я 2, предложение 2), то 5-топология есть пе что иное, как топология ограниченной сходимости, т. е. сильнейшая из всех Я-топологий. Если Е квазиполно, то мы будем говорить поэтому просто об ограниченных множествах в й(Е, Е), не отмечая — в какой чо-топологии (подразумевая, если ие оговорено противное, й-топологии, порождаемые множествами Я множеств, содержащими все конечные подмножества пространства Е).
Следствие 2. Пусть Е и Š— банаховские пространства и Н вЂ” множество непрерывных линейных отображений Е в Е. Если апр ~)и(х)(~ (-)-ОО для каждого х~ Е, то также мЕ гг апр )) и !) ч' + СО. ьЕн 5. Равностепенно непрерывные множества в Е(Е, Р) Пусть Е и Š— топологические векторные пространства. Для того чтобы Н~Е(Е, Е) было равностепспно непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы оно было равностепенно непрерывным в точке О (гл. 1, В 1, предложение 7); это означает, что для каждой б пгостглнствл ыепяевывных линепных отоввлжпнип 167 окрестности пуля )г нз Е существует окрестность нуля У в Е такая, что и(У)~У для всех и~Н, или, иначе, что множество П г и(1г) есть окрестность нуля в Е. Как мы знаем (гл.
1, ф 1, вен и' 5), тогда И, сверх того. равномерно равпостепенно непрерывно. Заметим еще, что если Е и Г локально выпуклы, то уравновешенная выпуклая оболочка равностспенно непрерывного множества Н из Ь (Е, Г) равностепенно непрерывна; действительно, если для любой уравновешенной выпуклой окрестности нуля (г из р существует окрестность нуля У в Е такая, что и (У)<= 1г для всех и ~Н, то и для любой линейной комбинации о = ~~~,Льив элементов из И такой, что Ъ ',Ль/ (1, имеем о((У)~У.
Пгвдложение 4. Пусть Е и Š— топологические векторные пространства, причем Г отделимо. Замыкание Й каждого равностепенно непрерывного множества Н~Е(Е, Е) в произведении ге (пространстве всех отображений Е в р, наделенном топологией простой сходимости) содержится в Е(Е, Е) и равностепенно непрерывна. Что Й равностепенно непрерывно — известно (Общ. топ., Рез., в 13, и' 12; гл. Х, ф 3, предложение 7); остается лишь показать, что предел линейных отображений в топологии простой сходимости линеек.
Но отображение и -+ и (х) произведения Е в Е непрерывно; поэтому, поскольку г" отделимо, для любой пары точек х, у из Е и любой пары скаляров ),, р множество тех и~с Г ', которые удо- Е влетворяют соотношению и (Лх +- 1су) — ),и (х] — ри (у) = О, замкнуто в Е; следовательно, множество всех линейных отобра- Е, женив Е в Е замкнуто в Е' как пересечение указанных множеств. Е когда х и у пробегают Е, а Л и р — тело скаляров. Следствие. Для того чтобы равностепенно непрерывное множество Н~Е(Е, Е) было относительно компактным в А(Е, Р), наделенном топологиеи простой сходимости, необходимо и достаточно, чтобы для каждого х~ Е множество Н(х) значений и(х), где и пробегает Н, было относительно компактно в Е.
168 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЯНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ ГЛ. П1, 1 д Действительно, это условие необходимо и достаточно для того, чтобы Н было относительно компактным в произведении Е (Обш. е топ., Рез., ф 8, и" 7; гл. 1, В 10, следствие теоремы 3), откуда и вытекает утверждение, поскольку Й~Е(Е, Е). Пгедложенне 5. Пусть Е и Š— отделимые топологические векторные пространства. Следующие равномерные структуры совладают на каждом равностепенно непрерывном множестве Нс=Е(Е, Е): 1) равномерная структура простой сходимости на тотальном множестве из Е; 2) равномерная структура простой сходимости на Е; 3) равномерная структура равномерной сходимости на пред- компактных множествах из Е.
Заметим прежде всего, что если и — линейное отображение Е в Е и )/ — уравновешенная окрестность нуля в Е, то из и(х;)~(с /н (Х; ~ Е, 1 (1 ( П) СЛЕдуЕт, Чта и ~ ~~'„, )чХ1 ~ / )ч / !/+ / 1 ~ )l+... + 1=1 + ( ),„~ )/ для любого набора скаляров (А;) (1 (1 ( и). Отсюда сразу вытекает, что для каждого множества А из Е равномерная структура (в Н) простой сходимости на А совпадает с равномерной структурой простой сходимости на векторном подпространстве, порожденном множеством А. Поэтому в утверждении предложения 5 слово „тотальном" можно заменить на „всюду плотном". Совпадение первых двух равномерных структур есть тогда следствие общего свойства равностепенно непрерывных множеств.
(Общ. топ., Рез., ф 13, и' 15; гл. Х, $ 3, предложение 3 ('э)). Совпадение же второй н третьей равномерных структур вытекает из следующей леммы: Лемма 2. Пусть Е и Š— отделимые равномерные пространства и Н вЂ” равномерно равностепенно непрерывное множество отображений Е в Г. Тогда в Н равномерная структура простой сходимости на Е совпадает с равномерной структурой равномерной сходимости на предкомпактных множествах из Е. Действительно, пусть (/ — окружение для равномерной структуры в Е и А — предкомпактное множество из Е.
По предположению, существует симметричное окружение (/ для равномерной структуры в Е такое, что из (х, у)~У следует (и(х), и(у))~(/ для всех и~ Н. Так как А предкомпактно, то существует конечное число л пРОстРАнстВА непРеРыВных линеиных ОтОБРАжений !б9 точек хт!- А таких, что окрестности У(х!) образуют покрытие множества А) еслн тогда и и и принадлежат Н и таковы, что 3 (и (х;), О(х!))~'г' для каждого 1, то (и(х), О(х))~1г для всех к~ А, и лемма доказана. Примеры. '1) Пусть Р— мера Лебега на )с и Š— пространство ИР(Р) (1(р(+со) (Интегрнр., гл. 1Н, 9 3). Пусть Р~„для каждой числовой функции у с интегрируемой р-й степенью на )с и каждого вещественного И,— функция х.+у(х — И), очевидно, также обладающая интегрируемой р-й степенью. Ясно, что у .+Д» есть линейное отображение пространства Е на себя ь); кроме того, так какдгр (Д» — я»)= = ИГР(У вЂ” я) **), то множество Н всех зтих линейных отображений (где И пробегает 1() раекостепенно непрерывно.
Но для каждой непрерывной функции у с компактным носителем на Й функции у» при И, стремящемся к нулю, сходятся к У равномерно, а значит, и в среднем порядка р. Так как множество Д';()с) всех непрерывных функций с компактным носителем на К всюду плотно в Е, то из предложения 5 следует, что г» прн И, стремящемся к нулю, скодиглся в среднем порядка р к г для каждой функции У с Е.
2) Пусть Š— пространство всех непрерывных числовых функций на )с, наделенное топологией компактной сходимости, и (Р„) — последовательность мер с компактным носителем на (1, т. е. непрерывных линейных отображений Е в )с (Интегрир., гл. !!1, б 3, предложение 11). Предположим, что )!Ри1! ( 1 для всех и и что носители всех мер Ри содержатся в фиксированном компактном множестве в )с.
Если тогда !!а Рв (г) = 0 длЯ каждой фУнкции Уч е, то последовательность интея-ье; тралов ~ слгвдря (г) стремится к нулю равномерно (по х) на каждом компактном множестве в Рс. Лействительно, последовательность (Рв) равностепенно непрерывна, а когда х пробегает компактное множество в рс, функции г-» естк образуют компактное множество в Е (Общ. топ., Рез., б 13, п" 8; гл. Х, б 2, предложение 9(за) )., Следствие. Пусть Н вЂ” рааностеленно непрерывное множество в Ь(Е, Е).
Если фильтр Ф в Н сходится на Е в тоиологии простой сходимости к некоторому отображению и„ *) Лопуская вольность речи, мы отождествляем функцию, обладающую интегрируемой р-й степенью, с ее классом зквивалентности (по модулю множества всех пренебрегаемых функций), или, что то же, отождествляем две такие функции, если они совпадают почти всюду. ;т~р вв) ИГР(г) =( ~ !Д! йр), — ПРим. пеРев. 170 пРостРАнствА непРеРывных линепных ОтОБРАжении Гл.!!!, 6 3 пРостРанства Е в Р, то иь — непРеРывное линейное отобРажение Е в Р и Ф сходится к иь равномерно на каждом предкомпактном множестве из Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
