Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Следовательно, Н ~Л(7, т. е. 7ч' ограниченно. Так как Е бочечпо, то множество линейных отображений 7; — /г равпостепенно непрерывно (теорема 2); но в силу предположения 1', множество отображений уг (У~М) тоже равпостепенно непрерывно; следовательно, и множестно отображениИ уг (и) 1, (~М) равно- степенно непрерывно. Это означает, что для каждоИ окрестности нуля 17 из Е существует окрестность П точки х, в Е такая, что 7(х, г„) — 7(хв, г„)~ъ' для всех х~У, всех целых п)~1 и всех функциИ (~ М, Но если и достаточно велико, то х„~ У и значит 7'(х„, 1„) — г'(х„, 1„)~У. С другой стороны, из предположения 2' следует, что для достаточно больших и такгке У(хь, 1п) — /(хь, 1ь) ~ 17 при всех 7 ~ М.
Поэтому существует номер т такой, что у(х„, 1„)— — 7(хт гв)~У+)7 длЯ всех п)~т и всех фУнкции 7~м, чем и доказано, что последовательность (7(х„. Г„)) стремится к 7'(хс, Гь) равномерно относительно (~М. 7. Полные множества в Еи(Е, Е) Теогемь 4. Пусть Е и Š— топологические векторные пространства и ю — покрытие пространства Е, образованное ограниченными множествами. Если Е отделимо и квазиполно Щ 2.
и'5), то каждое равностепенно непрерывное множество Н~Е (Е, Е), замкнутое в Ь-топологии, есть полное равномерное надпространство равномерного пространства Еи(Е, Е). Действительно, пусть Ф вЂ” фильтр Коши в Н (в равномерной структуре, индуцировапной из Еэ(Е, Е)). Множество Н(х) точек и(х) (и~Н) ограниченно в Е для каждого х~Е (предложение 7), поэтому его замыкание Й(хЪ, также ограниченное в Е, есть полное равномерное надпространство пространства Г.
Так как образ Ф (х) фильтра Ф при отображении и -+ и(х) есть базис фильтра Коши в Н (х) (поскольку ~О покрывает Е), то мы видим, что Ф (х) сходится к некоторой точке ия(х) ~ Е. Другими словами, Ф просто сходится к некоторому отображению иь пространства Е в Е. Так как Н равностепенно непрерывно, то ис есть непрерывное линейное отображение Е в Е (следствие предложения 5). Будучи фильтром 176 пРОстРАнстВА непРеРыВных линеиных ОтОБРАжении Гл. !и. л 3 Коши в Еи(Е, Е), Ф сходится к иь в Я-топологии (Общ. топ., Рез., 3 13, и' 3; гл. Х, й 1, предложение 4 (")), н теорема доказана. Заме ч ание. Пусть М вЂ” полное равномерное надпространство в Еа(Е, р).
Каково бы ни было семейство ограниченных множеств Ж'~~Б в Е, Ж-топология в Е(Е, Г) мажорирует ~Б-топологию; с другой стороны, существует фундаментальная система окрестностей нуля для Ж'-топологии, замкнутых в топологии простой сходимости (п' 1, замечание 2) и, значит, тем более в Ъ-топологии. Отсюда следует (гл. 1, б 1, предложение 8), что М остается полным и в равномерной структуре, индуцнрованной из Е ,(Е, р). Следствие 1. Пусть Е и à — топологические векторные пространства и Н вЂ” равностепенно непрерывное множество из Е(Е, Е).
Если Г отделимо и квазиполно и фильтр Ф в Нароста сходится во всех точках некоторого тотального множества 5~Е к отображению иь последнего в Е, то иа однозначно продолжается до непрерывного линейного отображения ив пространства Е в Е и Ф сходится к ис равномерно на каждом предкомпактном множестве из Е.
Действительно, в силу предложения 6, Ф есть фильтр Коши для равномерной структуры простоИ сходимости иа Е; поэтому, в силу теоремы 4 и предложения 4, ои просто сходится иа Е к некоторому отображению ив~ Й (где Н вЂ” замыкание Н в Е(Е, Е) в топологии простой сходимости); последнее утверждение вытекает нз предложения 6. 3 а м е ч а н и е. Пусть (и„) — последовательность непрерывных линейных отображений банаховского пространства Е в банаховское пространство р; может случиться, что (и„(х)) имеет предел в каждой точке некоторого векторного надпространства 5, всюду плотного в Е, и, однако, последовательность (и„) не ограниченна. Пусть, например, Š— пространство всех непрерывных числовых функций У(х) на )с, удовлетворяющих условию !пп у(х) = О, снабженное нормой )1уй = апр 1У(х) й и 5 — его надпространство, образованное всеми непре- лЕВ рывными числовыми функциями на )с с компактным носителем.
Последовательность непрерывных линейных отображений у-ьпу(п) пространства Е в (с стремится к нулю для всех уб5, но не ограниченна в Е(Е, )с). Тот же пример показывает, вто в пространстве Е(5, 1() последовательность (оп) может быть сходящейся в топологии простой сходимости и, однако, не ограниченной в топологии ограниченной сходимости. пРОстРАнстВА непРеРыВных линеиных ОтОБРАжении 177 Следствие 2. Пусть Е и Р— локально выпуклые пространства и Ь вЂ” покрытие пространства Е. образованное ограниченными множествами. Если Е бочечно, а Р отделимо и квази- полно, то пространство Е=(Е, Р) отделимо и квазиполно.
Действительно, замкнутое ограниченное множество в Е (Е, Р) ограниченно в топологии простой сходимости (поскольку Я покрывает Е), а потому равиостепенно непрерывно (теорема 2) и, следовательно, в силу теоремы 4, есть полное равномерное надпространство в Еи (Е, Р). 3 а м е ч а и и е.
В обозначениях предыдущего замечания, последовательность непрерывных линейных отображений у-». ~'у(д) является а=! последовательностью Коши а Е (5, К) в топологии простой сходнмости, но не имеет в втой топологии предела в й(5, 11). Следствие 3. Пусть Е и Р— банаховскпе пространства. Е(Е, Р), наделенное топологией ограниченной сходимости, есть банаховское пространство (ср.
Общ. топ., гл. Х, ф 2, предложение 4). Действительно, как мы знаем, Е(Е, Р) в этой топологии нормировапно (п' 1); с другой стороны, так как Е бочечно (ф 1, следствие предложения 1), а Р квззиполно, то Е(Е, Р) квазнполно; следовательно, Е(Е, Р) полно (ф 2, и' 5). У п р а ж н е н и я. 1) Пусть Š— отделниое топологическое пространство и Р— топологическое векторное пространство.
Показать, что в пространстве С (Е Р) всех непрерывных отображений Е в Р топология компактной сходимости согласуется со структурой векторного пространства. 2) Пусть Е и Р— отделимые локально выпуклые пространства. Множество Ь ограниченных подмножеств пространства Е называется насыигенным, если оно удовлетворяет следующим устовням: 1' каждое подмножество множества М й »ю принадлежит ш; 2' объединение каждого конечного числа множеств из »ю принадлежит ® 3' образы множеств из »ш при всевозможных гомотетиях принадлежат 9; 4' замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка каждого множества из й принадлежит »ю. а) Пусть Я вЂ” произвольное множество ограниченных подмножеств пространства Е, Ьт — множество объединений всевозможных конечных наборов множеств из »Б, ют — множество замкнутых уравновешенных выпуклых оболочек всех множеств из Яо юз — множество образов множеств из Яз при всевозчожпых гомотетиях, наконец 178 НРООТРлнствл непРеРынных линенных ОтОБРАжении Гл.
Ие л 3 1Б — множество всех подмножеств множеств из (Бз. Показать, что © есть наименьшее насыщенное множество ограниченных подмножесте пространства Е, содержащее ю, и что й-топология в 5 (Е, Р) совпадает с СБ-топологией. б) Пусть щ — насыщенное множество ограниченных подмножеств пространстз Е и Ж' — содержащее щ множество ограниченных подмножеств из Е, отличное от 1Б. Показать, что 1Б'-топология в Е(Е,Р) сильнее 1Б-топологии. (Использовать теорему Хана — Банаха.) 3) Пусть Е и Р— отделимые локально выпуклые пространства и ш — множество ограниченных подмножеств пространства Е.
а) Показать, что если Р не сводится к одному элементу О, то для отделимости пространства Ен (Е, Р) необходимо (и достаточно), чтобы объединение всех множеств нз ГБ было тотально в Е. (Использовать теорему Хана — Банаха.) б) Начиная отсюда, будем предполагать, что Ж покрыаает Е. Показать, что существует изоморфизм пространства Р на замкнутое подпространство пространства Е (Е, Р). Вывести отсюда, что если Еж (Е, Р) квазиполно, то Р необходимо квазиполно. в) Предположим, кроче того, что <Б — насыщенное множество (упражнение 2). Для того чтобы Ен(Е, Р) было метризуемым, необходимо и достаточно, чтобы Р было метризуечо и существовала последовательность (М„) множеств из йэ такая, что каждое множество из ю содержится в одном нз М„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
