Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Для того чтобы ю-топология в 5 (Е, Р) могла определяться одной нормой, необходимо и достаточно, чтобы топологию в Р можно было бы определить одной нормой и существовало множество МЕЖ такое, что каждое множество из Я содержится в образе множества М при некоторой гомотетии. 4) Пусть Š— топологическое Векторное пространство над й (соота. С). Показать, что для каждого множества Ж ограниченных подмножеств из й (соотв. С), не сводящегося к (О), пространство Еж (й, Е) (соотв. Е (С, Е)) канонически изоморфио Е. Вывести отсюда, что для каждого целого и) О и каждого покрытия щ пространства й" (соотв.
С"), образованного ограниченными множествами, пространство Ам (й", Е) (соотв. Еж (С", Е)) изоморфно Е". 5) а) Пусть Ет, Ет, Р— топологические векторные пространства, Р— непрерынное линейное отображение Ет в Ез и Ет (соотв. Зт)— множество ограниченных подмножеств пространства Ет (соота, Е,) такое, что Р(ЯТ) с: йут. Показать, что и -ь и ь Р есть непрерывное линейное отображение Е (Е, Р) в 5 (Ет, Р). б) Пусть Е и Р— топологические векторные пространства, М— векторное подпространство в Е, Р— каноническое отображение Е на Е(М и Š†множест ограниченных подмножеств пространства Е. Показать, что отображение и -ьи ч Р есть изоморфизм пространства Е (Е/М, Р), наделенного Р (8)-топологией, на подпространство про- ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЯНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯ 179 странства Е (Е, Р), образованное всеми непрерывными линейными отображениями Е в Р, аннулирующимися на М.
6) Пусть (Р ), А — семейство локально выпуклых пространств, Š— векторное пространство (ньд тем же телом скаляров, что и все Е„) и Ь„для каждого «БА — линейное отображение Е, в Е. Наделим Е сильнейшей локально выпуклой топологией, в которой непрерывны все й„(гл. П, Е 2, и' 2). Пусть 8„для каждого «РА — множество ограниченных подмножеств пространства Е, и дю — объединение множеств й«(е„) ограниченных подмножеств пространства Е. Показать что каково бы ни было локально выпуклое пространство Р, Ж-топологиа в Е (Е, Р) есть слабейшая топология, в которой непрерывны линейные отображения и-ьи «й«пространства Е(Е, Р) в Ее (Е„, Р). В частности, если Š— топологическая прямая сумма (гл. П, 5 2, и' 3) семейства (Е„), (где каждое Е„рассматривается как подпространство пространства Е), то произведение И Еж (Е, Р) канонически изо- РА морфно пространству Е (Е, Р), где дю — объединение множеств дВ„ в ф (Е).
7) Пусть (Е),Ет — семейство отделимых локально выпуклых пространств, не сводящихся к одному элементу О, Š— произведение й'й Е, и Р— нормированное пространство. Показать, что существует канонический изоморфизм пространства Е (Е, Р), наделенного топологией ограниченной сходимости (соотв. простой сходичости, равномерной сходимости на предкомпактных множествах), на топологическую прямую сумму пространств Е (Е„ Р), наделенных каждое топологией ограниченной сходимости (соотв. простой сходимости, равномерной сходимости на предкомпактных множествах). (Принять во внимание, что для каждого непрерывного линейного отображения и пространства Е в Р су-д ществует конечное множество Н~у такое, что и (0) содержит произведение пространств Е, с индексами ~( Н.) 8) Пусть Е, Р,, Рт — топологические векторные пространства, ф— непРеРывное линейное отобРажение Рд в Рд и д — множество огРаииченных подмножеств пространства Е. Показать, что и-ьф «и есть непрерывное линейное отображение Е (Р, Рд) в Ем(Е.
Рт). 9) Пусть Š— топологическое векторное пространство, чд — множество его ограниченных подмножеств, (П,), г — семейство топологических векторных пространств, Р— векторное пространство (над тем же телом скаляров, что и пространства Е и П,) и я, для каждого ~ Р У— линейное отображение Р в П,.
Наделим Р слабейшей топологией, в которой непрерывны все я«Показать, что ДБ-топология в Е (Е,Р) есть слабейшая из топологий, в которых непрерывны линейные отображения и -«я, «и пространства Е(Е, Р) в пространства ЕВ (Е, О,). 180 пРОстРАнстВА непРеРИВных линенных ОтОБРАженин Гл. 1и. 1 3 В частности, при Е = Н П, произведение Ц ьп (Е О ) чг ~ЕТ отождествнио с х. (Е, Е).
10) Множество А в отделимом топологическон векторном пространстве называется полуполнам, если каждая последовательность Коши в А сходится в некоторой точке нз А. а) Поназатсь что в отделимом локально выпуклом пространстве каждое полуцолное ограниченное уравновешенное выпуклое множество поглощается всякой бочкой. б) Показать, что если Š— полуполпос отделимое локально выпуклое пространство, то каково бы ни было локально выпуклое пространство Е, каждое множество из Е(Е, Е), ограниченное в топологии простой сходимостн, ограниченно во всякой Ь-топологии.
в) Показать, что каждое инфрабочечное пространство 6 2, упражнение 12). в котором всякое ограниченное замкнутое уравновешенное выпуклое множество полуполно, — бочечно. *11) Локально выпуклое пространство Е называется ультра ограниченно замкнутым, если кажлое выпуклое множество в Е, поглощающее все полуполные (упражнение 10) ограниченные уравновешенные выпуклые множества, есть окрестность нули в Е. а) Показать, что каждое ультра ограниченно замкнутое пространство одновременно ограниченно замкнуто и бачечноа).
б) Пусть Š— локально выпуклое пространство, в котором замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка множества точек всякой последовательности, стремшцейся к пулю, полуполна. Показать, что если Е ограниченно замкнуто, то опо ультра ограниченно замкнуто; [Использовать упражнение 11 й 2,] В частности, каждое ограниченно замкнутое квазиполное пространство ультра ограниченно замкнуто; еще специальпей: каждое пространство фреше ультра ограниченно замкнуто. в) Пусть (Е ) — фильтрующееся семейство векторных подпространств векторного пространства Е, покрывающее Е, далее, в кажлом Е, залаяв локально выпуклая топология й„н у — сильнейшая локально выпуклая топология в Е, при которой непрерывны канонические ало;кевин всех Е„ в Е. Предположим, что чтопология, ипдуцируемая в Е, топологией у, совпадает с Т, для каждого индекса ю Показать, что если все пространства Е„ ультра ограниченно замкнуты, то Е, наделенное топологией й, ультра ограниченно замкнуто.
г) Показать, что произведение конечного числа ультра ограниченно замкнутых пространств ультра ограниченно замкнуто. Вывести отсюда, что топологическая прямая сумма любого семейства ультра ограниченно замкнутых пространств ультра ограниченно замкнута. а) Иеизвестно, существуют ли ограниченно замкнутые бочечные пространства, которые не были бы ультра ограниченно замкнутыми. ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯ 181 д) Показать, что произведение Е= Д Е„бесконечной последов=е ватсльиости ультра ограниченно замкнутых пространств ультра ограниченно замкнуто.
[Пусть А — выпуклое множество в Е, поглощающее все полуполные ограниченные уравновешенные выпуклые множества из Е. Показать, что если бы А не было окреспшстью нуля в Е, то СА содержало бы последовательность (лв) такую, что первые и — 1 координаты каждого х„равны нулю, но хв + О. Заметить далее, что замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка множества точек такой последовательности совпадает с множеством всех точек вида ~)вхв й в=о где~~ [1„[~( 1, и что зта оболочка полуполна.) в:=е е) Пусть Š— ультра ограниченно замкнутое пространство. Показать, что существуют семейство (Р,) банаховских пространств и для каждого ~ — линейное отображение У, пространства Р, в Е такие, что Е есть объединение всех 7',(Р,) и топология в Е есть сильнейшая локально выпуклая топология, при которой непрерывны все 7,. [Рассуждать как в упражнении 17б б 2.1 12) Пусть Š— полуводное (упражнение 10) отделимое локально выпуклое пространство и Е,— ограниченно замкнутое пространство, ассоциированное с Е 6 2, упражнение 13).
Показать, что существуют семейство (Р,) банаховских пространств и для каждого ~ — линейное отображение У', пространства Р, в Ее такие, что Еа есть объединение всех 7,(Р,) и топология в Е, есть сильнейшая локально выпуклая топология, при которой непрерывны всс 7,. [Использовать упражнение 17б 5 2.) В частности, Еа есть бочечное пространство. а13) а) Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство, Р— пространство Фреше, (Р„) — последовательность пространств Фреше, и — непрерывное линейное отображение Р в Е и и„, для каждого и, — непрерывное линейное отображение Р„ в Е, причем и (Р) содержится в объединении всех и„(Р„).
Показать, что тогда существует номер и такой, что и(Р) с-ив(Р„). [Длв каждого и рассмотреть замкнутое подпространство Нв в Р;ч', Р„, образованное точками (х, у ) для которых и(х) =и„(у); принять во внимание, что его проекцией -т на Р служит множество и(и„(Р„)), и использовать упражнение 3 б 3 гл. Ц б) Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство, (Рв)— последовательность пространств Фрсше, и„, для каждого и,— непрерывное отображение Р„в Е и А — полное уравновешенное выпуклое ограниченное множество из Е, содержащееся в объединении подпространств и„(Р„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
