Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 42
Текст из файла (страница 42)
является равиостепеиио непрерывным множеством в Е (Е, О). Но в силу предложения 1, этот образ ограничен в Е(Е, 0) в топологии простой сходимости, а так как Е бочечио, то каждое множество из Е(Г', 0), ограниченное в топологии простой сходимости, равно- степенно непрерывно (ф 3, теорема 2). 3. Продолжение гиионенрерывного билинейного отображения Предложеиие 7. Пусть Е, Е, Π— топологические векторные пространства, причем 0 отделимо, далее, Ев (соотв. Ее)— всюду плотное векторное подпростракство в Е (соотв. Г) и и — раздельно непрерывное билинейное отображение ЕХ Е в О.
1' Если и равно нулю на ЕяХ Ее, то и=О. ГИПОНЕПРЕРЫВНЫЕ БИЛИНЕННЫЕ ОТОбРАЖЕНИЯ 187 2' Пусть сОР— множество ограниченных подмножеств из Ее; если сужение и на Еь Х Ре Ь~-гипонеирерывно, то и Ьь-гипонепрерывно на Е Х Р. 1' По предположению, для каждого х ~ Еь непрерывное линейное отображение у †и(х, у) равно нулю на Рь, а значит, и на Р; тогда для каждого у ~ Р непрерывное линейное отображение х — ь и(х, у) равно нулю на Еь, а значит, и на Е, т. е. и= О.
2' По предположению, для каждой замкнутой окрестности нуля Ж' в 0 и каждого множества М~Яь существует окрестность нуля У в Р„такая, что и(М Х У)г:%'. Но У есть окрестность нуля в Р; для каждого к~М из и((х) Х У)с=В' следует и((х) Х У)ь=Ж', поскольку у-+ и(х, у) непрерывно н %' замкнуто; следовательно, и (М Х У) ~ В". а это и показывает. что и юь-гипонепрерывно на Е Х Р.
ПРедложение 8. Пусть Е, Р, 0 — топологические векторные пространства, причем 0 отделимо и квазиполно, далее, Еь (соотв. Р,) — всюду плотное векторное надпространство в Е (соотв. Р) и Жь (соотв. дь) — множество ограниченных подмножеств из Еь (соотв.
Рь), такое что каждая точка пространства Е (соотв. Р) принадлежит замыканию некоторого множества из Яе (соотв. Хь). Тогда каждое (Сь, Хд)-гипонепрерыеное билинейное отображение и произведения Еь Х Рь в 0 однозначно продолжается до раздельно непрерывного билинейного отображения и произведении ЕХ Р в О, причем и (Яр, 2)-гипонепрерыено. Единственность и гипонепрерывность отображения и вытекают из предложения 7; остается установить существование и. Для каждого у'~ Р„непрерывное линейное отображение х' — + и(х', у') надпространства Е в 0 однозначно продолжается до непрерывного линейного отображения х-+ и,(х, у') пространства Е в 0 (8 2. предложение 8).
Непосредственно ясно, что для каждого х ~ Е отображение у' -ь и,(х, у') надпространства Рр в О линейно; покажем, что опо непрерывно. По предположению, существует М ~- Жь такое, что х~ М. Для каждой замкнутой окрестности нуля 1Р' из О, по предположению, существует окрестность нуля У в Ре такая, что и(М Х У)с= В'. отсюда, по -непрерывности, и,(М Х У)г:%' и, 188 пРОстРАнстВА непРеРыВных линейных ОтОБРАжений гл.!»» а 4 в частности, и,(х, у')~)р' для каждого у'~'к', чем и установлена справедливость нашего утверждения.
Теперь, линейное отображение у' — ь и,(х, у') однозначно продолжается до непрерывного линейного отображения у — + и (х, у) пространства гт в б (9 2, предложение 8). Ясно, что отображение х-+и(х, у) для каждого у~р линейно; покажем, что оно непрерывно, чем доказательство предложения и будет завершено. По предположению, существует И~Ха такое, что у~И. Для каждой замкнутой окрестности нуля Ф' из б по предположению существует окрестность нуля У в Ев такая, что и(У )( И)~»е', отсюда по непрерывности последовательно заключаем, что и, (У )( И)<: )г" и, затем, и(У)( Й)с=В'» тем самым отображение х-+ и(х, у) непрерывно, поскольку (à — окрестность нуля в Е.
ч. Гиионепрерывносгиь отображении (и, о)-+по и ПРедложение 9. Пусть )ч, 5, Т вЂ” отдели иые топологические векторные пространства и все три пространства г'. (»ч, 5), с'. (5, Т), 1. ф, Т) наделены топологией простой (соотв. компактной, ограниченной» сходимости. Тогда билинейное отображение (и, о) -+ и о и (Я, Х)-гипонепрерывно, где 7 — множество всех равностепенно непрерывных подмножеств из Ь(5, Т), а ю — множество всех конечных (соотв. компактных, ограниченных) подмножеств из г'. ()ч, 5). )(окажем сначала. что (и, о) -+ о о и л-гипонепрерывио. Пусть Н вЂ” равностепенно непрерывное множество в с.(5, Т), (й' †окрестность нуля в Т и М вЂ” конечное (соотв.
компактное, ограниченное) множество из )с. Нужно лишь убедиться в том, что в 5 существует окрестность нуля Ъ' такая, что из и (М)г= У и о ~ Н следует о(и(М))~ В'. Но для этого достаточно, чтобы о(~/)<: В' для каждого оС Н. а существование такой окрестности У вытекает нз равно- степенной непрерывности множества Н. Чтобы убедиться в С-гипонепрерывности отображения(о, и)-ьо о и, мы установим, что для каждой окрестности нуля %' из Т, каждого конечного (соотв. компактного, ограниченного) множества"М~)с и каждого конечного (соотв. компактного, ограниченного) множества г. из»-(»с, 5) существует конечное (соотв.
компактное, ограниченное) множество И в 5 такое, что из о(И)~)Р' и и~с'. слелует о(и(М))~1ч'. б ГИПОНЕПРЕРЫВНЫЕ БИЛИНЕПНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 189 Очевидно, достаточно показать, что можно взять >» = Ц и(М), РЕБ т. е. что это множество )ь> конечно (соотв. компактно, ограниченно) вместе с Е и М. Это непосредственно ясно, если Е и М конечны или М ограниченно в Й, а Š— в Ь (Й, 5) (в топологии ограниченной сходимости; см. 9 3, и' 4). Таким образом остается установить, что если М компактно в Й и Е компактно в топологии компактной сходимости в Е()с, 5), то 1>1 компактно в 5.
Пусть и. — сужение и>- Ь на М; отображение и -+ и „ пространства Е в пространство ~ (Л4, 5) всех непрерывных отображений М в 5, наделенное топологией равномерной схолимости, непрерывно; значит, образ Е при этом отображении компактен, и наше утверждение вытекает тогда из непрерывности отображения (тв, х) — + тю (х) произведения Р (М, 5) )( М в 5 (Обш. топ., Рез., 9 13, и' 7; гл.
Х, 9 2, предложение 6). В двух нижеприводимых следствиях, как и в предло>кении 9, предполагается, что все три пространства Е(>с, 5), Е (5, Т), Е()т, Т) наделены топологией простой сходимости, илн все три — топологией компактной сходимости, или все три †топологи ограниченной сходимости. Следствие 1. Для каждого равностепенно непрерывного множества И из Е(5, Т) отображение (и, о)-+ О ь и произведения Е(Й, 5) )( Н б Е(Й, Т) непрерывно. Это сразу следует из предложений 9 и 4.
Следствие 2, Пусть Т локально выпукло и 5 боченка. Если последовательность (и„) в Е()7, 5) сходится к и, а последовательность (О„) в Ь (5, Т) — к о, то последовательность (О„о и„) в Е(й, Т) сходится к оь и. Лействительно, последовательность (Р„), будучи ограниченной в топологии простой сх одимости в Е(5, Т), равностепенно непрерывна, поскольку 5 бочечно (9 3, теорема 2), а тогда утверждение вытекает из следствия 1. б. Равностепенно гипонепрерывные множества билинейных огпображений Пусть Е, Р, б — топологические векторные пространства.
Множество 11 билинейных отображений Е Х р в б называется раздельно иО пвоотвднотнл ынпннрыныых пмынпыых отовнджныын гл. ыи ч 4 раеностепенно непрерывным, если множество линейных отображений и (ибН) равностепенно непрерывно для каждого хЕЕ и множество линейных отображений и „(у й Н) равностепенно непрерывно для каждого у с Р.
Раздельно равностепенно непрерывное множество Н не обязательно равностепенно непрерывно; однако справедливо слеаующее предложение; Пгвдложанив 10. Пусть Š— метризуемое бочечное пространство, Р— метризуемое векторное пространство и П вЂ” локально выпуклое пространство. Каждое раздельно равностепенно непрерывное множество билинейных отображений Е Х Р в П равностепснно непрерывно. Это — следствие теоремы 3 ф 3, где Р принято за Т, П за Р и Н за М. Пгсдломвнив 11. Пусть Е, Р, б — топологические векторные пространства, Я вЂ” множество ограниченных подмножеств пространства Е и Н вЂ” множество раздельно непрерывных билинейных Отабражений Е Х Р в О.
Следующие условия равносильны; а) Для каждой окрестности нуля %' из 0 и каждого множества МчЯ существует окрестность нуля )г в Р такая, что и(М Х )г) с:%' для всех иЕН. б) Яля каждо~о множества МЕ1Е образ НХ М при отображении (и, х)-ьи является равностепекмо непрерывным множеством в Е (Р, П). в) Множество отображений у -ь и „(и Е Н) пространства Р в Лв(Е, б) равностепекно непрерывно. Доказательство непосредбтвенно вытекает из определений. Множество Н раздельно непрерывных билинейных отображений ЕХ Р в П, удовлетворяющее одному из равносильных условий а), б), в) предложения !1, называется равностепенно Б-гипонепрерывным. Таким же образом определяются понятия равностепенно л:гипонепрерывкого множества по множеству ж ограниченных подмножеств пространства Р и равностепенно (ю, 'ж)-гипонепрерывного множества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
