Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Поляры Опзвдвлвнив 2. Пусть Р и 0 — векторные пространства над Д, находящиеся в двойственности, и й4 — произвольное мно- в СЛАВЫЕ ТОПОЛОГИИ 199 жество из Р. Его полярой в О называется множество всех у~О таких, что (х, у) < 1 для каждого х~ М. Рассмотрим теперь векторные пространства Р и О над С, находящиеся в двойственности, и пусть Рь и Ое — их базисные векторные пространства над К. Положим В (х, у) = 'М ((х, у)); ясно, что  †билинейн форма, приводящая в двойственность Рь н Ов, причем (х, у) = В (х, у) — 1В (гх, у) (гл.
11, 9 6, и' 1). Это подсказывает введение для комплексных векторных пространств следующего определения: Опгеделенне 3. Пусть Р и Π— векторные пространства над С, находящиеся в двойственности, и М вЂ” произвольное множество из Р. Его полярой в О называется множество всех у~О таких, что 91((х, у)) (! для каждого х~М. Там, где можно не опасаться путаницы, мы обозначаем поляру множества М из Р в пространстве О через М'. Разумеется, таким же образом определяется и поляра в Р множества из О. Всюду в дальнейшем свойства поляр исследуются одновременно для вещественных н комплексных векторных пространств. Ясно, что (ЛМ)'=Л ~М' для любого скаляра Л ~ О и множества М~Р; далее, Мг=гч' влечет №с=М', если И поглощает М, то М' поглощает №; поляра объединения ЦМ„любого семейства (М,) множеств из Р есть пересечение их поляр М .
Если М вЂ” уравновешенное множество из Р, то М' — уравновешенное множество в О; в этом случае М' есть множество всех у~О таких, что ((х, у)( (! для каждого х~М. Действительно, последнее равносильно выполнению неравенства !)1(("х, у)) (! для каждого х~М и каждого ч с !",~ =!. Пгедложенне 2. Поляра М' каждого множества М из Р содержит О и является выпуклым множество.м, замкнутым в топологии а(О, Р).
Справедливость утверждения сразу следует из определений, если принять во внимание непрерывность линейных форм у -+ (х, у) в топологии с(О, Р). 200 двопствинность гл. пс а г 3 а м е ч а и н я. 1) Пусть пространства Р н 0 — вещественные н М вЂ” конус (с вершнаой О) э р; если у ~ М', то (Лх, у) = Л (х. у) ~(1 для каждого л ) О, откуда (х, у) < О для всех х с м.
это показывает, что М' есть слабо замкнутыа выпуклый конус, который можно определить как множество всех у с 0 таких, что (х, у) (О для каждого хчМ. 2) Каждан окрестность нуля для е(0, Р) содержит окрестность )е, определенную конечным числом неравенств ~ (хь у) 1~(1 (1~(гь;п) (и'2), где хе — кэкие-то элементы нз Р.
Лг есть поляра уравновешенной выпуклой оболочки множертва А этих элементов хь Пгедложании 3. Поляра М" поляры М' каждого множества М из Р есть замкнутая (в е(Р, О)) выпуклая оболочка множеств М и (О); при этом (М")'= М'. Пусть И вЂ” выпуклая оболочка множеств М и (01; ясно, что И'= М; так что можно ограничиться тем случаем, когда И = М. Предложение 2 показывает, что М"лМ; с другой стороны, если а~Г не принадлежит М, то существует замкнутая вещественная гиперплоскость Н, строго отделяющая а и М (гл. 11, ф 3, предложение 4); не содержа начала, Н имеет уравнение вида Я((х, у)) = 1, где я~О (предложение 1), а, следовательно, Я((х, у)) к.
1 для всех х~М и Я((а, у)) ) 1; это означает, что у~М' и а(М", откуда и вытекает, что М"=М Далее, так как М~М", то (М")'~М'с ~(М')"=(М")', чем доказано и второе утверждение предложения. Мы видим, таким образом, что М' не изменится, если заменить М замкнутой выпуклой оболочкой его обьединения с множеством (О]. Следствия. Поляра пересечения М =1 1М„любого семей- а ства (М„) замкнутых (в е(Р, 0) ) выпуклых множеств из Р, содержащих О, есть замкнутая (в е(Р, О)) выпуклая оболочка обаединения их поляр М„. Действительно, пусть И вЂ” зта замкнутая выпуклая оболочка; имеем И'=ЙМ."=ЙМ,=М, % а откуда И=И =М'.
2О! в сллвые топологии 4. Ортогональные надпространства Пусть М вЂ” векторное подпространство в с"; каждое у~ М' должно удовлетворять неравенству Я (ь(х, у)) ( 1 для всех значений кизляра ). и всех х ~М, что возможно лишь если (х, у) = О. Говорят, что множества А из с" и В из 0 ортогокалькы, если (х, у) =О для каждой пары векторов х ~ А, у~ В. Предыдущее замечание показывает, что поляра М' векторного подпространства М есть векторное надпространство в О, образованное всеми элементами у, ортогональными к М; его называют также ортогональным дополнением к М (или, допуская вольность речи, просто подпространством, ортогональным к М).
Из предложений 2 и 3 вытекает Пгвдложение 4. Для каждого векторного подпростракства М пространства г" подпространство М' пространства О замкнуто в а(О, р), М" есть замыкание М в ° (р, 0) и (М")' = М'. б. Подпространства и йеанторпространства пространства, наделенного слабой топологией Пусть с и 0 — векторные пространства в двойственности н М вЂ” векторное подпространство в с. Рассмотрим его ортогональное дополнение М' в О. Если точки у, и у, из О сравнимы по модулю М', то (х, у,) = (х, у,) для всех х ~М.
Для каждого класса у по модулю М' (т. е. каждого элемента факторпространства О!М') ь обозначим через (х, у) постоянное значение, принимаемое билинейной формой (х, у), когда у пробегает у; ясно. что (х, у)-+(х, у) есть билинейная форма на М Х (О/М').
Пгедложение 5. Форма (х, у) приводит векторные пространства М и О/М' в двойственность. Это сразу следует из условия (Щ и определения пространства М'. Пгедложвние 6. Топология е(М, О!М') е М совпадает с топологией, индуцируемой в М слабой топологией а(р, О). Действительно, пусть у; (1 (1 ( и) — элементы из 0 и у; (1 (1(п) — их классы по модулю М; Ясно, что множество 202 гл.
щ, а! двонстввнность )р'(уЕ, ..., у„; а) тех х~М, для которых ) (х, у!) ( (а (1(Е(п), есть след на М окрестности гс'(уЕ, ..., у„; а), и предложение доказано. Пгвдложепнв 7. Пусть И вЂ” векторное подпространство в О. Для того чтобы топология в (РЕ№, И) в Р/И' совпадала с фактортопологаей слабой топологии в(Р, 0) по №, необходимо и достаточно, чтобы И было замкнуто в 0 в в!апологии ч(0, Р). Предположим сначала, что И замкнуто в в (О, Р).
Пусть !Е— каноническое отображение Р на РЕ№ и Т вЂ” фактортопология топологии в(Р, 0) по И'. Ясно, что У мажорирует топологию о(РеИ',И). С другой стороны, пусть (г = 1Р'(у!, ..., у„; а) — окрестность нуля в Г для топологии в(Г, 0) и Е, — векторное подпространство в О, порожденное подпространством И и элементамн уе (1 ( Е ( и); в Е существует векторное подпространство Р конечной размерности т ( и, дополнительное к И; пусть (г;), л †е базис. Сужения линейных форм х -+,'х, гг) (1 (/ ( т) на И' линейно независимы; действительно, в противном случае существовало бы г = ~, рЕг;, ! 1 где не все р равны нулю, такое, что (х, г) =0 для всех х~№; но это означало бы.
что г~И"= И (поскольку И замкнуто в топологии в(0, Р)), в противоречие с определением пространства Р. Отсюда следует, что для. каждого х~Р существует в~№ такое, что 0=(х+в, ге) (1 ( Е (т); но Уз=ЕЕ+.г ).;Ел!к где ЕЕ~И Р-.! (1 (! (и); поэтому (х, ее) =ех+з, у!) (1 е (и). Полагая В'(Е!, ..., Е„; а) =с/, заключаем отсюда, что в(сЕ)~с~(Ъ'). Но так как У насыщено по отношению х' — х~И', то !в((Е) есть окрестность нуля для топологии в(РЕ№, И), и тем самым доказано, что в(РЕ№, И) мажорирует топологию 8Е.
Если теперь И не замкнуто в в(0, Р) и И вЂ” его замыкание в этой топологии. то (И)'=И' (предложение 4) и, значит, по предыдущему, фактортопологней топологии в(Р, О) по № служит в(Г)И', Й); но так как И ч'=Й, то в(Р!№, И) н а(Г/№, И) различны (следствие 3 предложения 1). Замечание. Если М вЂ” надпространство в Г, имеющее конечную размерность т, то поскольку О/М' находится в двойственности с М, 203 СЛАБЫЕ ТОПОЛОГИИ М' имеет в О факторразмерность т (н'1, пример).
Если М вЂ” замкнутое пространство в Р, имеющее конечную факторразмерность и, то Р/М = Р/М" находится в двойственности с М«и потому М«п-мерно (я'1, пример 1). б. Произведения слабых топологий Пгедложение 8. Пусть (Г,, О,) — семейство пар вектор' 'Ег кых пространств в двойслгвенности, Р =и Г,— произведение ~ЕГ пространств Г, и Π— прямая сумма пространств О, (г~г).
Для каждого х=(х,)~Г и каждого у=(у,)~0 положим (х, у)= = ~~~(х„у,) (где в сумме лишь конечное число слагаемых Ф 0). 'ег Билинейная Форма (х, у)-+(х, у) приводит Г и О в двойственность, и топология а (Г, О) есть произведение топологий а (Г„О,). Действительно, для каждого х=(х,) ~ 0 из Г имеется хотя бы один индекс ~ такой, что х, Ф О, а для пего у, ~ О, такое, что (х„у) те О; достаточно тогда взять у.=у„чтобы (х, у) = (х„у) ФО. Так же убедимся в выполнении условия (Вп). С другой стороны. для того чтобы линейная форма х-+ (х, у) была при каждом у~0 непрерывна в некоторой топологии йГ пространства Р, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы в Я' было непрерывно каждое из отображений х †« (рг, х, у,) (с произвольным у,~ О,), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
