Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Говорят, что отделимая локально выпуклая иопология а в Р согласуеися с двойственностью между Р и О, если О (рассматриваемое как надпространство пространства Р') является сопряженным к отделимому локально выпуклому пространству, получаемому путем наделения Р топологией У. Пгедложение 4. !Уусть Р и Π— векторные пространства в двойственности. Для всех отделимых локально выпуклых топологий в Р, согласующихся с втой двойственностью между Р и С, замкнутые выпуклые множества в Р— одни и ие же. Очевидно, можно ограничиться тем случаем, когда Р и Π— вепьественные векторные пространства.
Так как для всех топологий, 216 гл. 1ч, в г ДВОЙСТВЕННОСТЬ согласующихся с двойственностью между Р и О, непрерывные линейные формы на Р— одни и те же, то то же верно и для замкнутых выпуклых множеств в Р, поскольку такое множество может быть задано семейством неравенств у,(х) (а„где у,— непрерывные линейные формы на Р (гл. П, й 3, следствие 1 предложения 4). Следствие 1. Выпуклое множество Ас=Р имеет одно и то же замыкание во всех отделимых локально выпуклых топологиях в Р, согласующихся с двойствекностью между Р и О.
Действительно, замыкание множества А в любой локально выпуклой топологии в Р выпукло (гл. !!. й 1, предложение 14) и, следовательно, есть пересечение всех замкнутых выпуклых множеств, содержащих А. В частности: Слвдствив 2. Выпуклое множество А в ольделимом локально выпуклом пространстве Е имеет одно а то же замыкание как в исходной топологии простракства Е, так и в ослабленной топологии а(Е, Е').
Если А содержит О, то это замыкание совпадает с А Последнее утверждение вытекает из предложения 3 2 1. 3 а меч а ни е. Следствие 2 применимо, в частности, к векторным подвространствам; тем самым критерии того, что семейство точек из Е тотально или топологически свободно в ослабленной топологии (й 1, следствия 1 и 2 предложения 1), являются также критериями того, что это семейство тотально или топологически свободно и в исходной топологии. Слвдствив 3. Бочки в отделимом локально выпуклом простракстве Š— зто поляры слабо ограниченных уравновешенных множеств из Е'.
В силу следствия 2, безразлично, сказать ли„ что множество М из Е есть бочка в исходной топологии или в ослабленной. Но для того, чтобы М было выпуклым, уравновешенным и замкнутым в топологии е(Е, Е'), необходимо и достаточно, чтобы М = М , поскольку М' †уравновешенн (2 1. и' 3); а для того чтобы М поглощало каждое конечное множество й! из Е, необходимо и достаточно, чтобы М' поглощалось множеством №; но так как множества № 3 СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 217 образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для топологии в(Е', Е) (й 1, и' 3). то это означает, что гИ' слабо ограниченно.
Если Р и 0 — векторные пространства в двойственности, то Р можно рассматривать как сопряженное к О, наделенному отделимой локально выпуклой топологией о(0, Р) (й 1, предложение 1). Поэтому в Р можно рассматривать топологию равномерной сходимости на элементах любого множества Я ограниченных (в топологии в (О, Р) ) подмножеств из 6, т. е. Я-топологию (гл.
Ш, й 3, и' 1). Предположим, что Я вместе с каждым своим множеством содержит и образы его при всевозможных гомотетиях (с ненулевым коэффициентом), а также вместе с каждым конечным числом своих множеств — и замкнутую (в топологии о(0, Р)) уравновешенную выпуклую оболочку их объединения. Тогда определение окрестностей нуля для С-топологии (там же) показывает, что поляры (в Р) множеств из Я образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для этой топологии. Тяогамл 2 (Мэкки). Пусть Р и Π— векторные «ространства в двойственности.
Для того чтобы отделимая локально выпуклая топология Р' в Р согласовалась с двойственностью между Р и О, необходимо и достаточно, чтобы й было Ь-топологией для некоторого покрываюивего О множества О уравновешекных выпуклых множеств, компактных в слабой топологии с(0, Р) Докажем сначала необходимость условия теоремы. Предположим, что 0 — сопряженное к Р, наделенному отделимой локально выпуклой топологией У, Пусть 6 — инзариантная относительно гомотетий фундаментальная система замкнутых (в б) уравновешенных выпуклых окрестностей нуля пространства Р; для каждого Ъ'~ 2) имеем )г = Ъ'" (следствие 2 предложения 4); следовательно, Э вЂ” фундаментальная система окрестностей нуля для Я-топологии, определяемой множеством Я поляр Ь" всевозможных множеств из Е; при этом множества У' компактны в топологии а(0, Р) (предложения 1 и 2); кроме того, Ж покрывает О, ибо для любого у~О из непрерывности формы х-+(х, у) на Р вытекает существование окрестности %'~2) такой, что 1(х, у) ( ( 1 для всех х ~ 1г', т.
е. у~ В' . 1(окажем теЪерь достаточность условия теоремы. Пусть, таким образом, ю — покрытие пространства О, образованное уравновешенными 218 гл. ш, а я двоистввнность выпуклыми множествами, компактными в топологии с(0, Р); не изменяя этой Я-топологии, всегда можно предполагать, что образы множеств нз Я при всевозможных гомотетнях, равно как и уравновешенные выпуклые оболочки любых конечных наборов множеств из Я, также принаалежат Я (гл. П1, й 3. и' 1); при этом каждая такая оболочка компактна в топологии с(0, Р) (гл. П, й 4.
предложение 1). Так как множества из Ж ограниченны в топологии с(0. Р) (гл. П!, э 2, предложение 3), то Я-топология У согласуется со структурой векторного пространства в Р (гл. 1И, й 3, и' 1); кроме того, эта топология локально выпукла и поляры К' в Р множеств К~ Я образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для й! наконец, й отделима, поскольку Я покрывает О (гл. 1П.
й 3, предложение 2). Пусть теперь Р' †пространст, сопряженное к Р, наделенному топологией У. Так как каждое конечное множество из 0 содержится в некотором множестве из Я, то й мажорирует топологию с(Р, О) н, следовательно, 0 можно рассматривать как векторное надпространство в Р' Я 1. предложение 1). Докажем, что О = Р'.
Действительно, пусть х'!- Р'! из непрерывности х' вытекает сушествование множества К~ Я такого, что ~(х, х')~ ( 1 для каждого х~ К', что означает. что х' принадлежит поляре К, множества К' в Р'. Но Кь есть замыкание К в Р' в топологии а(Р", Р) (й 1, предложение 3); так как с(Р', Р) индуцирует в О топологию в (О, Р). то К компактно и потому замкнуто в Р' в топологии в(Р', Р), а, следовательно, К= К,.
Тем самым х' ~ О, и теорема доказана. Слвдствие, для того чтобы отделимая локально выпуклая топология М' в Р согласовалась с двойственностью между Р и О, необходимо и достаточно, чтобы вТ мажорировала топологию о(Р, О) и мажорировалась топологией т(Р, 0) равномерной сходимости на всех уравновешенных выпуклых множествах из О, компактных в топологии с(6, Р).
Сформулированное условие, очевидно, необходимо в силу теоремы 2. Оно достаточно, ибо если У мажорирует топологию в(Р, 0) и мажорируется топологией т(Р, 0), то пространство Р', сопряженное к Р при топологии вГ, содержит пространство Рь, сопряженное ь к Р при топологии в(Р, 0). и содержится в пространстве Ры со- в СОПРЯЖВННОВ ПРОСТРАНСТВО 219 пряженном к Р при топологии т(Р, 6), так что справедливость ь у утверждения вытекает из того, что Рь =Рг=О. т(Р, 6) называется топологией Макки (соответствующей двойственности между Р и 6). Предложение 1 показывает, что топология Макки т(Р, 6) характеризуется следующим свойством: для того чтобы выпуклое множество в О было равностепенно непрерывным при наделении Р топологией т (Р, 6), необходимо и достаточно. чтобы оно было относительно компактно в слабой топологии а(6, Р) (см.
упражнение 3). В частности, в силу теоремы 1 имеемс Пгвдложвиив 5. Если отделимое локально выпуклое пространство Е бочечно, то топология Макки т1,Е, Е') совпадает с исходной топологией в Е. 4, Множества, ограниченные в ослабленной топологии Теогемл 3 (Макки). Пусть Р и Π— векторные пространства в двойственности. !(ля всех отделимых локально выпуклых топологий в Р, согласуюи!ихся с двойственностью между Р и О, ограниченные множества — одни и те же. Действительно, множество Х всех слабо компактных уравновешенных выпуклых множеств из О образовано множествами, полными в топологии в(6, Р); поэтому каждое множество М из Р. ограниченное в слабой топологии в(Р, 6), ограниченно и в 7-топологии (гл. !П, $ 3, теорема !), т.
е. в топологии Макки т(Р. 6); в силу следствия теоремы 2, отсюда и вытекает справедливость утверждения теоремы. Следствие. Каждое множество в отделимом локально выпуклом пространстве Е, ограниченное в ослабленной топологии в(Е, Е'), ограниченно и в исходной топологии. Основываясь на этом, можно поэтому говорить просто об ограниченных множествах в Е, не уточняя — в какой топологии. Если Е квазиполно в ослабленной топологии, то оно квазиполно и в исходной: это вытекает из предыдущего и предложения 8 $ 1 гл.
1, поскольку каждая замкнутая выпуклая окрестность нуля для исходной 220 двопстввнность гл, ш,вг топологии замкнута в ослабленной топологии (следствие 2 предложения 4). Пгвдложвнив 6. Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство. Если Е метризуемо, то топологии Манки т(Е, Е') совпадаем с исходной топологией в Е. Действительно, пусть Т вЂ уравновешенн выпуклая окрестность нуля для топологии т(Е, Е').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
