Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 51
Текст из файла (страница 51)
1, 4 2, теорема 1), мы получим (ллп пространств фреше) другое доказательство теоремы 4. 7. Сопряженное к надпространству; сопряженное н гракпгорпространспгау Пгедложепие 8. Пусть М вЂ” векторное надпространство отделимого локально выпуклого пространства Е и М' — ортогональное к М ппдпространстеа пространства Е'. Ослабленнан топология, ассоциирозанная с топологией, индуцируемой е М искод- в СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 225 ной топологией Я пространства Е, совпадает с топологией е(М, Е'/М'), индуиируемой в М ослабленной топологией е(Е, Е'). Действительно, иа теоремы Хана — Банака (гл. 11, 9 5, теорема 1 и 9 6, теорема 1) вытекает, что каждая линейная форма на М, непрерывная в топологии, которую индуцирует Я', есть сужение на М линейной формы на Е, непрерывной в топологии Я', откуда н следует справедливость утверждения (9 1, предложение 6).
Пгедложение 9. Пусть М вЂ” замкнутое векторное надпространство отделимого локально выпуклого пространства Е. Ослабленная топология, ассоциированная с фактортопологией исходной топологии Я' пространства Е по М совпадает с фактортопологией е(Е1М, М') ослабленной топологии е(Е, Е') по М. Действительно, и -+ и о Р. где р †каноническ отображение Е на Е/М, есть (алгебраический) изоморфизм пространства, сопряженного к Е/М (наделенному фактортопологией топологии Я' по М), иа надпространство М' в Е', ортогональное к М. Затем применяем предложение 7 $ 1. 8.
Сопряженное к произведению Пведложение 10. Пространство Е', сопряженное к произведению Е = Ц Е, семейства (Е,), локально выпуклых про~юг ' 'Ег странств, канонически отождествимо с (алгебраической) прямой Р суммой семейства (Е,),сг поскольку каждая непрерывная линейная форма на Е однозначно представляется в виде х -+ ~~, '(рг,х, х,), ез / где х, ~ Е, и х, чь 0 лишь для конечного числа индексов. При этом ослабленная топология е (Е. Е') есть произведение ослабленных Р топологий в(Е„Е,).
Когда 7 конечно. первая часть предложения очевидна; действн. тельно, тогда Е можно отождествить с прямой суммой пространств Е, и каждое х ~ Е представить в виде х = ~~„', рг,х, так что каждая не~62 прерывная линейная форма и на Е представится в виде и = '>', и,о рг„ ~ег где и, — сужение и на Е„ .очевидно, непрерывное. Пусть теперь 1 произвольно и и — непрерывная линейная форма на Е. Тогда в Е существует окрестность нуля Р, являющаяся элементарным множе- гл. и,зз 226 двонственность етвом (Обш. топ., Рез., й 7, п' 5) и такая, что )и(х)) < 1 для всех х~ )г. Но )г = вв Ь',. где У, Ф Е, лишь для индексов н принадле~г жащих некоторому конечному множеству Н~Е Положим М=ЯЕ„ 'чн гч' = И Е, и будем рассматривать Е как прямую сумму подпрогое страпств М и гч'.
Пусть х~гт7. Так как Лх~Ис=Ъ' и, значит, /Ли(х) / ( 1 для любого скаляра Л, то и (х) = О. Следовательно, и(х]= и(ргпх), и мы приходим к первому случаю. Последнее утверждение есть следствие предложения 8 й 1. Следствия. Пусть (Г,)н л — семейство локально выпуклых пространств, Š— векторное пространство иЛ для каждого г ЕУ— линейное отображение Е е Г,. Если наделить Е слабейшей из топологий, при которых непрерывны еее у, *), то калсдая непрерывная линейная форма на Е будет представляться в виде х-+ ~~'„и,(У,(х)), где и,— непрерывная линейная форма на Г„при~Ее чем и, Ф О лишь для конечного числа индексов ь действительно, пусть 7 = (у,),сг. Как мы знаем, топология, которой наделено Е, есть прообраз топологии надпространства у(Е) произведения Г = ПГ, относительно отображениями (гл.
1, й 1, пред- -1 ложение 15). Так как каждая окрестность нуля в Е имеет вид у (Ъ'), где $' — окрестность нуля в у(Е), то каждая непрерывная линейная форма па Е представляется в виде и 07, где и — непрерывная линейная форма на г'(Е). Но в силу теоремы Хана в Банаха (гл. П. й 5, теорема 1 и й 6, теорема 1), и есть сужение на 7 (Е) некоторой непрерывной линейной формы на Г.
и утверждение следствия доказано. У, Сопряженное и пространству непрерывных линейных отображений Пеедложения 11. Пусть Е и à — отделимые локально выпуклые пространства. Если наделить пространстео Ь(Е, Г) топологией простой сходимости (гл. П!. й 3, п'1), то каждая ч) Зтз топология не обязательно отделима; мы явно указываем иа зто обстоятельство з согласии с условием, принятым в начале параграфа. 9 СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 22? линейная форма на )-(Е, Е) будет представляться в виде и-+ ~~р~ (и(хь), у;), где хь (соотв. у;) — злементы из Е (соотв. Е'). ь 1 Действительно, топология простой сходимости в Е (Е, Е) есть слабейшая нз топологий, при которых линейные отображения и -+ и (х) пространства Ь(Е, Е) в Е непрерывны для всех х ~ Е.
Поэтому справедливость предложения непосредственно вытекает из следствия предложения 10. Следствие. Существует однозначно определенный (алгебраический) изоморфизм тензорного произведения Е3 Е' на сопряженное к пространству Е(Е, Е), наделенному топологией простой сходимости, ставящее в соответствие каждому тензорному произведению хну' линейную форму и — + (а (х), у'). Действительно.
пусть ужв для каждой пазы (х, у')~Е)(Р'— непрерывная линейная форма и — +(и(х), у') на О=Е(Е, Г). Очевидно, (х, у') -+ Ут в есть билинейное отображение Е )( Е' в 6' Следовательно (Алг., гл. !!1, й 1, и' 2, Схолия), существует однозначно определенное линейное отображение О тензорного произведения ЕКЕ' в 0' такое, что р(хзу')=У„и . Предложение 1! показывает, что ~у сюръективно; покажем, что у инъективно. Действительно, пусть (аг)гк;к» вЂ” свободная система точек из Е и (Ьг)~ ага„, — свободная система точек из Е'! все сводится к докачт Р вательству того, что если ~г Л;у(и(а;), Ьу) = О для каждого линейного отображения и~0, то необходимо Лгг — — О для всех пар (О г).
г Пусть (Ь1)ь - г кьь — свободная система точек из Е такая, что (Ьч Ь») = (Алг., гл. П, й 4, теорема 2). Покажем, что для каждой пары (Д у) существует непрерывное линейное отображение и пространства Е в Е такое, что и(а;) = Ьу и и(а„) = О для всех й Ф ю'; / соотношение,)~~ Л»„(и(а»), Ь») = О даст тогда ЛН= О, чем утвержде»,» ние следствия и будет доказано. г(о в силу теоремы Хана — Банаха.
на Е существует непрерывная линейная форма х' такая, что (ао х') = ! и (а„, х') = О для всех Ь чь О и достаточно принять и(х) = (х, х') Ь . Сопряженное к пространству Е(Е, Е), наделенному топологией ',простой сходимости, обычно отождествляют с тензорным произведением ЕЖЕ'. Таким образом, множества, определяемые конечнымы двонствинность гл. »у, аз системами неравенств ](и(а;), Ьз) [(1 (а;~Е, 1»у~Р'), образуют для слабой топологии а(Е(Е, Р), Е»3Р») в Ь(Е, Р) фундаментальную систему окрестностей нуля. Эта топология в Е (Е, Р) вообще слабее топологии простой сходимости, но замыкания выпуклых множеств в Е(Е, Р) †од и те же в обеих топологиях (предложение 4). У п р а ж н е н и я. 1. Пусть Е и Р— отделимые локально выпуклые пространства и ю — множество подмножеств простракства Е.
Лля того чтобы»ю-топология в 5(Р, Р) согласовалась со структурой векторного пространства, необходимо (и достаточно; см. гл. Ш, б 3, предложение 1), чтобы каждое множество 'из З было ограниченно в Е. [Использовать теорему 3.] «2) а) Пусть Š†отделим локально выпуклое пространство и П', для каждого ультрафильтра П из Е, †филь, базис которого образу»от выпуклые оболочки множеств иэ П.
Показать, что для того, чтобы точка пространства Е была пределом ультрафилыра П в ослабленной топологии, необходимо и достаточно, чтобы она была точкой прикосновения для П' в исходной топологии. [Использовать предложение 4, а также упражнение 9 $1.] б) Пусть Š— векторное пространство, А — выпуклое множество » в Е, Зт, Зт — отделимые локально выпуклые топологии в Е и и,, » и — соответствующие ослабленные топологии. Показать, что если топология, которую йт индуцирует в А, мажорирует топологию, индуцируемую в А топологией и, то и топология, которую и индуцирует » в А, мажорирует топологию, индуцируемую в А топологией йз. [Использовать а) и упражнение 9 из Общ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
