Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 53
Текст из файла (страница 53)
П, 6 2, и' 5) последовательности метризуемых локально выпуклых пространств. Показать, что если (лп) — последовательность точек из Е, каждая подпоследовательность которой обладает предельной точкой в Е в ослабленной топологии а(Е, Е'), то (ля) содержит подпоследовательность, сходящуюся в втой топологии к некоторой точке пространства Е. [Используя предложение 6 5 2 гл. П1, свести к случаю метризуемого Е и далее — к случаю, когда Š— пространство счетного типа; в заключение использовать а) и б).[ г) Пусть Š— банаховское пространство Я(М) (не являющееся пространством счетного типа; гл. 1, й 2, упражнение 8), и пусть е„ для казкдого целого п>0 — непрерывная линейная форма на Е, относящая каждой последовательности х =(са) ПЕ ее и-й член $„. Пока/ зать, что последовательность (е„) тотальна в сопряженном пространстве Е', наделенном топологией а(Е', Е); кроме того, каждая ее подпоследовательность обладает предельной точкой в Ет в топологии е(Г, Е), но никакая подпоследовательность последовательности [ея) не сходится в этой топологии.
*14) а) Пусть К в компактное пространство, Н вЂ” любое множество в пространстве (у(К, )ч) всех непрерывных числовых функций на К и Д вЂ” точка прикосновения множества Н в (У(К )1) в топологии й простой сходимостн. Показать, что Де есть точка прикосновения для некоторого счетного подмножества Нэ кз Н в топологии й„. [Показать, что для каждой пары целых чисел и, и существует конечное подмножество Н(т, и) множества Н, обладающее следующим свойством: для каждых ш точек г» из К (1 (» ( т) существует 1 убН(т, и) такое, что [Ле(Г») — У(Г») [~ — (1(»~~т); для этого использовать непрерывность функций из сг(К, !1) и коипактность пространства К~.[ 233 СОПРНЖЯННОН ПРОСТРАНСТВО б) Пусть Š— иетризуемое локально выпуклое пространство и Н вЂ” произвольное множество в Е.
Показать, что если ха — точка прикосновения множества Н а ослабленной топологии е(Е, Е"), то ха есть точка прккосновения некоторого его счетного подмножества На в топологии т(Е, Е') "). [Использовать а), приняв во внимание, что Ет есть объединение счетного числа иножеств, компактных в топологии е(Е', Е).] в) Пусть Š— метризуемое локально выпуклое пространство или строгкй индуктивный предел последовательности иетризуемых локально выпуклых пространств.
Показать, что если Н есть множество из Е, относительно компактное в топологии т(Е, Е'), и хе — его точка прикосиовенкя в этой топологии, то Н содержит последовательность точек (х„), сходящуюся к ха в топологии е (Е, Е'). [С помощью предлозкенкв б й 2 гл. П! свести к случаю метризуемого Е. Использовать б) длв сведения к случаю счетного Н, что позволит считать Е метризуеиым пространством счетного типа; затеи применить следствие предложения 3 и упражнение 13 в.] *15) а) Пусть К вЂ” компактное пространство и Н вЂ” подмножество пространства )Ь~, образованное из непрерывных функций на К.
Предположим, что каждая последовательность функций из Н обладает и топологии простой сходимости иа К точкой прикосновения, являющейся непрерывной функцией на К. Показать, что замыкание Й множества Н в 1(~г компактно и образовано из непрерывных функций на К. [Показать, что если бы и б Й не было непрерывно, то существовали бы точка а Р К, число ь Р О, последовательность (х„) точек кз К и последовательность (Д,„) функций из Н, удовлетворяющие следующим усло- Ь вили: 1'[и(х„) — и(а) [)~ Ь длв каждого и; 2']У;„(хч) — у„,(а) ! <— Ь Ь для всех т < а; 3) ]и(х„) — У (х„)]< — и ]и(а) — У~(а)] < — для всех т.р и+1 [определить последовательности (У,„) и (х„) по индукции]. Получить отсюда противоречие, рассматривая предельную точку 7' последовательности (у,„), являющуюся непрерывной функцией по условию, и предельную точку последовательности (х„) в К.] б) Пусть Š— квазиполное отделимое локально выпуклое пространство и Н вЂ” множество в Е, каждая последовательность точек которого обладает в Е предельной точкой в топологии а(Е, Е'!.
Показать, что Н относительно компактно в Е в этой топологии (,теорелга Эбердейна"). [Рассматривал Е вместо Е, свести к случаю полного Е. Погрузить Е в Г* и использовать а) и теорему 4.] в) Пусть 1 в несчетное множество и Š— пространство )х(, наде- (П ленное топологией, определенной в упражнении 7 й 1 гл. ! (см. упражнение 11). Показать, что в Е' сущаствуют множества Н, не относительно компактные в е(Е', Е) и такие, что каждая последовательность *) Это (неопубликованное) предложение сообщил нам !.
Кар!апзйу. двонстаанность ГЛ. 1Ч,ЬЗ точек из Н содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из Н в топологии а(Е', Е). ч16) а) Пусть К вЂ” компактное пространство и Н вЂ” выпуклое множества в пространстве (с~, образованное из непрерывных функцкй на К. Предположкм, что каждан убывающая последовательность непустых замкнутых выпуклых подмножеств множества Н имеет непустое пересечение. Показать, что замыкание Й множества Н в м~ компактно и образовано из непрерывных функций на К. [Рассуждать как в упражнении 1ба, заменяя У общей точкой убывающей последовательности выпуклых множеств А„„где Аяг — замкнутая в Н выпуклая оболочка множества функции Ул с Ь ~ т.[ б) Пусть Š— квазиполное отделимое локально выпуклое пространство и Н вЂ” мнонгество в Е такое, что каждая убывающая последовательность его непустых замкнутых выпуклых подмножеств обладает непустым пересечением.
Показать, что Н относительно компактно в Е в топологии е(Е, Е'). [Свести к случаю полного Е; считать Е погруженным в Е'* и использовать а) и теорему 4.[ 17) Пусть Š— квазиполное отделимое локально выпуклое пространство. Показать, что в сопряженном пространстве Р топология компактной сходимости есть сильнейшая из топологий, совместимых с двойственностью между Е' и Е и индуцнрующих в каждом равно- степенно непрерывном множестве из Е' ту же топологкю, что и слабая топология з(Е', Е). [См.
5 1, упражнение 12.[ 18) а) Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство, А — уравновешенное выпуклое множество в Е и и — линейная форма -1 на Е. Показать, что если АД и(0) замкнуто в А, то сужение и на А непрерывно. [Показать, что в противном случае 0 был бы точкой прикосновения для пересечения множества А с некоторой гиперплоскостью -! 1 л (а); вывести отсюда, что для Ь г А такого, что и (Ь) = — а, — Ь 2 — 1 было бы точкой прикосновения множества АД и(0).) б) Пусть Š— полное отделимое вещественное локальяо выпуклое пространство.
Показать, что если пересечение гнперплоскости Н' сопряженного пространства Е' с каждым слабо замкнутым равностепенно непрерывным множеством М'~ Г слабо замкнуто, то Н' слабо замкнута. [Использовать а) и теорему 4.[ "19) а) Пусть Š— бесконечномерное пространство Фреше. Показать, что в Е существуют замкнутые векторные подпространства М и Н такие, что МДЮ = (О) и М+ М не замкнуто. [Свести к случаю пространства Е счетного типа. Пусть (х„~ — последовательность линейно независимых непрерывных линейных форм на Е, образующих всюду плотное множество в топологии а(Е', Е) (следствие предложения 3), г и Ея — подпространство в Е, ортогональное к множеству тех ло для котоРых 1~<2п; пУсть хя и Уя — два линейно независимых вектоРа г снльпля топологня в сопгяжннноы пгоствлпствн 235 в дополнении к С„эг относительно ьь; показать, что х„н у„можно 1 выбрать так, чтобы й(0, х„) ) 1, а(0, у„))~1 н й(х„, у„) ~ —, где и ' а — расстояние, определяющее топологию в Е.
Показать тогда, что замкнутые векторные подпространства М н Лг, порождаемые соответственно векторамн х„и у„, обладают требуемым свойством; нспользовать следствие 4 теоремы 1 й 3 гл. Ц б) Леть пример бесконечномерного отделимого локально выпуклого пространства Е такого, что сопряженное пространство Е' содержит счетное множество, всюду плотное в топологнн е(Е', Е), н сумма любых двух замкнутых векторных надпространств пространства Е замкнута. [См.
5 1, упражнение 13.] 20) Пусть Š— пространство Фреше счетного типа. Показать, что длл замкнутости выпуклого множества А' ~ Е' в топологии а(Е', Е) г г ь достаточно, чтобы для любой последовательности (х„) точек из А, обладающей в Е' пределом в топологии а(Е', Е), этот предел а' принадлежал А'. [Использовать теорему 5.] 5 3. Сильная топология в сопряженном к отделимому локально выпуклому пространству е. Определение сильной топологии Пусть Š— вещественное (соотв. комплексное) отделимое локально выпуклое пространство и Е' — сопряженное пространство. Так как Е' = Е(Е, 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
