Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 57
Текст из файла (страница 57)
ПУсть, далее, Š— базис фильтра в в) «( Х, образованного множествами «'(ро' (шя) ) и 5 — ультрафильтр, мажорирующий фильтр с базисом л). а) Показать, что двойная последовательность ((х ч, х')) имеет предел и(х') по фильтру 5 для каждого х =[х )ЕЕ; при этом [и(х') ~ <1 длв каждого х Е1'„, где )га — окРестность нУлЯ в Е, определяемая неравенством г„(х) < 1. б) Пусть (Р— слабо замкнутая уравновешенная выпуклая сильная окрестность нуля в Е' и «и ) О, для каждого и, таково, что «„У„~Б .
Пусть, далее, ш, для каждого р)0, — целое,для которого 2 <«ятя, р.ь 1 и к = (д ) — двойная последовательность, в которой х = О, если ЗЧ«' ппдьзгдя топодогмд и попнйжпгтыоы ппоотвднотвк 249 йСт, и х = 2, если ~у~ш . Показать, что х'йУ', но и(х')= 2. р' яч р' Вывести отсюда, что и не сильно непрерывна на Е', хотя и ограниченна на всех ограниченных множествах из Е', и, следовательно (упражнение 22в), что Š— не правильное. в) Получить иа б) пример замкнутого подпространства М пространства Фреше Р, для которого бы сильная топология й(Р'!Мь, М) отличалась от фактортопологии сильной топологии р(Р', Р) по М'. [Погрузить Е в произведение счетного семейства баиаховских пространств.) з24) Пусть Š— метризуемое локально выпуклое пространство и Е' — его сильное сопряженное. Предположим, что Е' содержит всюду г плотную последовательность (х„).
а) Покааать, что Е' бочечно или, иными словами, что Š— правильное. [Пусть (г' — бочка в Е' (и, значит, поглощает все ограниченные множества в Е', поскольку последнее полно), (К„) — фундаментальиая последовательность ограниченных множеств из Е' и (у„) — всюду плотная последовательность в СУ'. Показать, что сущеl ствуют последовательность (Ъ'„) замкнутых уравновешенных выпуклых окрестностей нуля в Е' и последовательность (Хи) чисел ) О такие, что )вК„ ~ У, у„ 4 'и" для каждого и и 1,К,с= И для каждой пары и г индексов й /.
Используя упражнение 2!б, показать, что ~"=ц )ги есть окрестность нуля, содержащаяся в У'.[ и б) Показать, что Š— пространство счетного типа. [Пусть з — систена, образованная из точки хю конечного числа рациональных чисел Ха ) О (! ( А ( т) и т номеров яа (1 ( й ~ т) таких, что г ха ф 2 ~~, '!ьКл = 2Н, и х„е Е таково, что гиперплоскость, определ=! ляемая уравнением (х„, у') = 1, строго отделяет слабо компактные г l множества к„+ Н и Н. Показать, что если х б Е таково, что (лю х') = О для каждой системы а, то необходимо х'= О воспользоваться для этой цели тем, что Е' ограниченно замкнуто, так что для любой последовательности (!м) чисел ) О множество У всех коиечl г ных сумм ,'~~ !жх, где и — любые целые числа и хм е Кю для т-г всех т, есть окрестность нуля в Е' (упражнение 22в).) 25) Показать, что произведение и топологнческая прямая сумма любого семейства монтелевских пространств являются монтелевскими пространствами.
[См. й 2, упражнение Об,) То же верно и для строгого индуктивного предела возрастающей последовательности моите- левских пространств *). *) Напротив, факторпространство моителевского пространства Е по замкнутому векторному подпространству не обязательно является моителевским пространством, даже если Š— пространство Фреше (б 5, упражнение 21). 50 гл.!ч,эз двонстнпннооть ч26) Пусть Š— пространство Фреше счетного типа.
Показать, что если в сопряженном пространстве Е' каждая слабо сходящаяся последовательность сильно сходится, то Š— моптелевское пространство. [Локазать, что каждое ограниченное множество в Е' относительно сильно компактно, используя для этого предложение 3 б 2 и упражнение 2 из Общ. топ., гл. !1, 5 4 (ээ); в заключение использовать приведенное выше упражнение 11в.] э27) Пусть (с „) — двойная последовательность чисел ) 0 и Š— векторное пространство всех таких последовательностей х (хя) вещественных чисел, что Рьт(х)=~ч~~см„]хя[ч.,+со длЯ каждого целого и. Наделим Е топологией, определяемой семейством полупорм рм и превращающей Е в пространство Фреше; сопряженное пространство Е' будет отождествимо тогда с пространством всех последователыюстей л' = (х„) таких, что эвр с,„~~ ~ х„~(+ сс.
хотя бы я для одного и, а каноническая билинейная форма (х,х') — с ~э~,хэх„ (й 1, упражнение 1в). Предположим, что вет никакой подпоследовательиости номеров (пэ), для которой существовали бы последовательности (ам), (Ьл) вещественных чисел )~0 такие, что сэьвл<амб», каковы бы пи были т и й. !1оказатгь что при этих условиях каждая слабо сходящаяся последовательность в Е' сильно сходится и, следовательно (упражнение 20), Š— моителевское пространство.
[Вести доказательство от противного; выполнив, если ну'кно, преобразование вида (хя) -ь(аяхя), свести к случаю, когда в Е' существует последовательность (х (гп)„йм, слабо сходлщапса к нУлю и такаЯ, что ~ хя(г)]<1 для каждой пары (р, и), а в Š— ограниченное множество М, определяемое неравенствами рьч(х) < б,э (те)гГ), такое, что звр ~ (х, к ("1) !)~2З)0 для каждого целого р. установить, что при лем ' этих предположениях сугцествуют строго возрастающая последовательность (гя) целых чисел и последовательность (х(а1) точек из м такие, что ! х]ч) ( ~ э Й-г ь! я для казсдого номера л. Рассу'кдая от противного, показать тогда, что для каждого д существует хотя бы один номер эд такой, что 2юьт гч"~за~(гаэт и см,э ~(эм —.
для всех целых ш, в противоречие ч о с предположениеи.] э28) а) Пусть (Еь)я>, — последовательность нормированных пространств, причем Ег не есть пространство счетного типа. Пусть Š— векторное подпространство в Е=ИЕн такое, что ргэ Е= Еа я 251 СИЛЬНАЯ И СЛАБАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ для каждого й. Показать, что существуют число Б)0 и ограниченная последовательность (хы) >1 в Р такие, что в Ег выполняется неравенство !! рг, х; — ргт хг',!) а для каждой пары различных индексов г, )5 (Принять во внимание, что в каждом несчетном подмножестве А из Р содержится несчетное подмножество В такое, что рта В ограниченна в ЕА для всех Д) б) Вывести из а), что каждое метризуемое монтелевское пространство есть пространство счетного типа. (Использовать предложение 7 Э 5 гл, П, а также упражнение 125 из Общ.
топ., гл, 1, й 8 (аа).) в) Вывестн из б), что в сильном сопряженном к мстризуемому монтелевскому пространству существуег счетное всюду плотное множество. [См. Э 2, предложение 3.) 29) Пусть Š— отделимое комплексное локально выпуклое прострщютво и Еа — его базисное веществсщюе локально выпуклое пространство. Показать, что каноническое линейное отображение у-ай!г" у т т пространства Е на Еь есть гомсоморфизм для %-топологий и Е и Еа при любом множестве й ограниченных подмножеств пространства Е. Получить отсюда опрелеление канонического линейного отображения Ф Ф второго сопряженного с иа второе сопряженное са, которое было бы гомеоморфизмом как для слабых топологий з(Е, Е ) и з(Еа, Е„), так н для сильных топологий й(Е', Е') н В(Еа, Ег); доказать, что это отображение преобразует Е (рассматриваемое как часть Е") в Еа (рассматриваемое как часть Еа). В 4.
Сильная и слабая непрерывность л. Сопряженное к слабо непрерагвному линейному отобравкению Пгедложвиия 1. Пусть (Р, 6) и (Р,, 6,) — две пары векторных пространств в двойственности. Для гпого чтобы линейное отображение и пространства Р в Р, было непрерывныгг при слабых топологиях о(Р, 6) и о(РР 6,), необходимо и достаточно, чтобы существовало отображение и пространства 6, в О, для которого бы (и(у), г,) = (у, о(г,)), (! ) каковы бы ни были у~ Р и г, ~ От. Действительно, если это условие выполнено, то линейная форма у †ь (и (у), г,) непрерывна (в топологии о(Р, 6)) для каждого е, ~ О,; из определения слабых топологий следует тогда, что и непрерывно при топологиях е(Р,'О) и з (Ро 6,) (гл. 1, 4 1, следствие 1 предложения 15). Обратно, предположим, что и при эгих топологиях гл.
ш, а а 252 двоиственность непрерывно; для каждого х, ~ О, линейная форма у -+ (и(у), г,) непрерывна в е(Р, 0), значит (и 1, предложение 1) сушествует однозначно определенная точка о(г,) Е 0 такая, что (и(у), г,) = = (у, о(г,)) для всех у~Р. Мы видели, что отображение о единственно. Если рассматривать 0 и О, как подпространства алгебраических сопряженных Р* и Р к пространствам Р и Рп то соотношение (1) показывает, что о есть сужение на О, определенного в Алгебре отображения, сопряженного к и (Алг., гл.
11, 9 4, и' 9). Допуская вольность речи, мы называем о сопряженным к а (относительно двойственностей между Р и О, с одной стороны, и Р, и О, — с другой) и обозначаем 'и. Следствие. Если и — линейное отображение Р в Р, непрерывное при топологиях в(Р, О) и о(Ро О,), то его сопряженное ги есть линейное отображение О, в О, непрерывное при топологиях в(Он Р1) и а(0, Р), причем '('и) =и.
Достаточно в предложении ! поменять ролями Р н Р,, с одной стороны, и 0 и О,— с другой. Пгедложание 2. Пусть а — линейное отображение Р в Р,, непрерывное при топологиях в(Р, 0) и а(Р,, О,), А — множество — 1 из Р,  — множество из Р,. Тогда (и(А))'=ги(А'); из и(А)с=В следует ги(В)с=А', если при этом А и В выпуклы, замкнуты (в топологиях а(Р, 0) и е(Ро 0,) соответственно) и содержат начало, то отношения и(А)г=.В и 'а(В )с=А' равносильны.
Действительно, г,~(и(А))' равносильно выполнению неравенства Я(и(у), г,) (1 для всех у~А, а ги(гд)~А' — выполнению неравенства Ж(у, 'и(г,)) ~(1 для всех у~А, так что в силу (1) подув г — 1 чаем (и(А))'= 'и (А). Если теперь и (А)г=.В, то В'г=(и (А) )'= си (А'), откуда ~и(В')сА'. Наконеп, 'и(В)с=А', с учетом следствия предложения 1, влечет и и(А")~В", чем в силу предложения 3 9 1 доказано и последнее утверждение. Следствие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
