Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 56
Текст из файла (страница 56)
й 2, упражнение 1бб]. б) Локазать равносильность следующих свойств: э) Р, наделенное топологией т(Р, 6), рефлексивно; р) 6, наделенное топологией т(6, Р), рефлексивно; 1) Р и 6, наделенные соответственно топологиями т(Р, 6) и т(6, Р), бочечны. й) Лля того чтобы квазиполиое отделимое локально иыпуклое пространство было полурефлексивным, необходимо )т достаточно, чтобы было полурефлексивно каждое его замкнутое векторное подпространство, содержащее всюду плотное счетное множество. [См.
б 2, упражнение 1бб.] эр) Пусть Š— не полурефлексивное квазиполное отделимое локально выпуклое пространство; Н вЂ” замкнутая гиперплоскость в Е, содержащая начало; (С„) — убывающая последовательность непустых замкнутых выпуклых ограниченных множеств в Н, имеющая пустое пересечение (упражнение 7а); х — точка, не принадлежащая Н; и А — замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка объединения мно- 11 жести (1 — — ] х+ Сп (п)0). п,] а) Показать, что А не обладает опорной гиперплоскостью, параллельной Н. [Принять во внимание, что для каждого у бх+ Н существует целое п такое, что у ( х+ Сэ„[ б) Пусть я б Н таково, что л ( Сь Показать, что выпуклая оболочка объединеиив двух замкнутых ограниченных выпуклых множеств А и В = х+л+Сэ не замкнута.
[Лля этого показать, что х+х есть точка прикосновения этой оболочки, но ие принадлежит ей.] э10) Пусть Š— отделимое инфрабочечное пространство. а) Показать, что если сильное сопряженное Е' к Е ограниченно замкнуто, то пополнение Е пространства Е, рассматриваемое как векторное подпространство в Е" (упраж(гение Зг), содержится во втором сопряженном Е". [См. упражнение 3.] б) Е называется правильным, если каждое множество в Е", ограниченное в топологии а (Е", Е'), содержится в замыкании (в этой топологии) некоторого ограниченного множества из Е. Показать, что для того, чтобы Е было правильным, необходимо и достаточно, чтобы его сильное сопряженное Е' было бочечным.
омзтьтгдк топозтогмк в оог1пнжкмиож зтвоотпдмотвк 245 в1!) Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство, обаадающее полурефлексивным сильным сопряженным Е'. а) Показать, что з (Е', Е") и а (Е', Е) индуцируют в каждом сильно ограниченном множестве из Е' одну и ту же топологию.
б) Вывести из а), что Е в топологии т(Е, Е') инфрабочечно [см. упражнение 6[ и пополнение Е пространства Е в этой топологии, рассматриваемое как часть Е" (упражнение Зг), содержит Е" [использовать упражнение За). В частности, если Е в топологии с(Е, Е') квазиполио, то оно в этой топологии рефлексивно. в) Показать, что если сильное сопряженное Е' к Е рефлексивно, то Е = Е", сильные топологии 3(Е', Е) и 5(Е', Е) (упражнение 7) совпадают и Е рефлексивно. [Использовать б), упражнение Зг и упражнение 106.) "12) а) Пусть М вЂ” замкнутое векторное подпростраиство отделимого локально выпуклого пространства Е.
Показать, что для равно- степенной непрерывности множества в факторпростраистве Е'/Мь, рассматриваемом как сопряженное к М, необходимо и достаточно, чтобы оно было образом равностепенио непрерывного множества из Е' при каноническом отображении Е' на Е'/М". [См. Общ. топ., гл.
Ш, 6 3, упражнение 15 (тз).[ б) Показать, что если Е полурефлексивно, то и М полурефлексивно, причем сильная топология 5(Е'/М; М) (упражнение 7) есть фактортопология сильной топологии 5 (Е', Е) по М'. [Использовать следствие 2 прелложения 4 6 2.[ *) в) Показать, что если в Е замкнутая выпуклая оболочка каждого компактного множества компактна, то топология компактной сходи- мости в фачторпространстве Е'/М' (рассматриваемом как сопряженное к М) есть фактортопология топологии компактной сходимости в Е' по М'. г) Показать, что если М инфрабочечио и Е'/М; наделенное топологией 5(Е/М; М), ограниченно замкнуто, то 5(Е~/Ма, М) есть фактортопологня топологии 5 (Е', Е) по М'.
[Использовать а).[ 13) Пусть ((Р„0)),бг — семейство пар векторных пространств в двойственности, Р— произведение ЦР, векторных пространств Р, и П вЂ” прямая сумма векторных пространств С;, Р и 6 приволятся в двойственность билинейной формой ((х,), (У,)) = ~~~~ (Х„У,). а) Показать, что сильная топология 5(Р, О) (упражнение 7) есть произведение сильных топологий р(Р„С,). [См. гл. Н1, 6 2, упражнение 10.] б) Пусть В, для каждого ~6/ — уравновешенное ограниченное множество в Р, и В=ЦВ,.
Показать, что В' (в б) есть выпукаая *) Существуют моителевские пространства, некоторые замкнутые векторные полпространства которых нерефлексивны (6 5, упражнение 21). 246 гл. щ,йз двогзствпнность оболочка объединения множеств В, с= Пи Вывести отсюда, чтотопология 5(РВ Р) есть прямая сумма топологии 8(П„Р,). 14) Пусть (Е,),йг — семейство отделимых локально выпуклых пространств, Š— произведение пространств Е„ Р— их топологическая прямая сумма.
Показать, что для того, чтобы Е'или Р было полурефлексивным (соотв. рефлексивным), необходимо и достаточно, чтобы каждое Е, было полурефлексивно (соотв. рефлексивно). [Использовать упражнение 13, а также упражнение 96 4 2.] *15) Показать, что произведение любого семейства инфрабочечиых пространств иифрабочечно, [Свести к случаю отделимых нифрабочечных пространств; использовать тогда упражнения б и 1Зб, а также упражнение 10 б 2 гл.
ПЦ !б) Показать, что топологическая прямая сумма семейства полных отделимых локально выпуклых пространств полна. [Использовать упражнение Зг.] 17) Пусть Š†отделим локально выпуклое пространство, являющееся строгим индуктивным пределом возрастающей последовательности (Е„) своих замкнутых векторных подпростраиств (гл. !1, й 2, и'5). а) Показать, что если сильное сопряженное каждого нз пространств Е„ полно, то и сильное сопряженное пространство Е полно. [См. упражнение 3.] б) Зля того чтобы Е было полурефлексивным (соотв, рефлексивным), необходимо и достато пщ чтобы каждое Е„было полурефлексивно (соотв, рефлексивно).
а18) Пусть (Е„), л — семейство отделимых локально выпуклых пространств, фильтрующееся по отношению:з и такое, что если ЕЗ~Е„то топологии пространства Ей мажорируст топологию, индуцнруемую в ЕЗ из Е,. Пусть, далее, Š— пересечение всех пространств Е„, наделенное топологией, валяющейся верхней гранью топологий, индуцируемых в Е из всех Е,. Показать, что если каждое Е„полурефлекснвно, то Е полурефлексивно. [Рассмотреть ультрафильтр в ограниченном множестве из Е.] 19) Пусть Š— пространство Фреше.
Показать, что в сопряженном пространстве Е' каждый фильтр (у со счетным базисом, являющийся в слабой топологии фильтром Коши, ограничен. [Рассуждать от противного, используя то обстоятельство, что в Е' существует счетная фундаментальная система ограниченных множеств.] 20) а) Пусть Š— пространство Фреше. Показать, что сопряженное пространство Е', наделенное топологией компактной сходимости или какой-нибудь более сильной й-топологией, полно. [См. гл. Ш, й 3, замечание после теоремы 4.] Показать, что если Е не рефлексивно, то Е' не иифрабочечно ни для какой ю-топологии, мажорирующей топологию компактной сходимости и мажорируемой топологией т(Е', Е).
СИЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ В СОПРЯЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 24/ б) Пусть (Е„),бд — семейство пространств Фреше, Š— векторное пространство и й„для каждого чбА — линейное отображение )ч, в Е. Предположим, что Е, наделенное сильнейшей локально выпуклой топологией, при которой непрерывны все й„(гл. П, В 2, п'2), отделимо. Показатгч что сопряженное Е' к Е, наделенное топологией компактной сходимости нли любой более сильной (Б-топологией, полно.[См. упражнение 3.] Я21) Пусть Š— метризусмое локально выпуклое пространство и Е' — его сильное сопряженное.
а) Показать, что если Е' метризуемо, то топология в Е может быть определена очной нормой. [Использовать упражнения 2, 5 и 15 4 2 гл. 1П.! б) Пусть [У„) — убывающая последовательность сильно замкнутых уравновешенных выпуклых окрестностей нуля в Е'. Показать, что если пересечение У' этих окрестностей есть бочка в сильной топологии, то У' — окрестность нуля в этой топологии. [Пусть (К„) — фундаментальная последовательность слабо замкнутых уравновешенных выпуклых сильно ограниченных множеств из Е'. Показать, что суи!ествуют последовательность (Л„) чисел ) О и последовательность (Ю'„) слабо замкнутых уравновешенных выпуклых сильных окрестностей нуля в Е' такие, что Л„К„'с-2 " зУ' для каждого и, ЛзК/~(у/. для каждой / / пары индексов 1, у и )р'„с-У„для всех и.
Провести индукцию по и, используя лемму ! Гз 3 гл. 1П и упражнение 15 из Общ. топ., гл. 1П, й 3(м).] в) Показать, что если (А ) — последовательность раяностепеиио ч/ непрерывных мно;кеств во втором сопряженном Е", объединение которых А" ограниченно в топологии а(Е", Е'), то А" равностепепно непрерывно. [Использовать б).] г) Вывести из в), что в Е" каждая последовательность Коши по топологии ч(Е", Е') сходится, и заключить отсюда, что Е" — полное метризуемое пространство в сильной топологии 5(Е", Е') "). в22) Пусть Š— четризуемое локально выпуклое пространство. а) Пусть !Ач) — возрастающая последовательность уравновешенных выпуклых сильно ограниченных множеств в сопряженном пространстве Е' такая, что каждое сильно ограниченное множество из Е' / поглощается хотя бы одним А„, и пусть У вЂ” объединение мно/ жеста А/с Показать, что сильное замыкание множества У' в Е' совпадает с множеством всех х/РЕ' таких, что Лх'5У', когда О <',Лс 1 (т.
с. с замыканием У' в сильнейшей локально выпуклой топологии в Е'). [Принять во внимание, что если д/ ( ЛУ', где Л ) 1, то для а а /ч каждого и сУществУет линейпаа фоРма х„5Е такаЯ, что х„бАя ч) Неизвестно, ие будет ли вообще второе сопряженное Е" к отделимому локально выпуклому пространству Е полным в сильной тояологии Р(Е", Е'), даже если предположить Е бочечным. 248 гл. 1ч, а з ДВОНСТВВННОСТЬ «« и (х, ли) = Ц использовать тогда упражнение 21я для доказательства существования .л«й Уг«в Е" такого, что (х', л«') = )ь] б) Показать, что каждое уравновешенное выпуклое множество Ъ" в Е', поглощающее все сильно ограниченные множества из Е', содержит бочку (относительно сильной топологии), поглощающую все сильно ограниченные множества из Е'.
[Пусть (К„) — фундаментальная последовательность слабо замкнутых уравновешенных выпуклых 1 сильно ограниченных множеств из Е' и йи)0 таково, что )„К„~ — 1"1 l « применить а) к последователькости (А„), где А„— выпуклая оболочка Р объединения тех )ЧК1, для которых 1<и.~ в) Вывести из б), что для того, чтобы Е', наделенное сильной топологией, было ограниченно замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы Е было правильным (упражнение 106). г) Пусть Р— отделимое локально выпуклое пространство. Если М вЂ” правильное метризуемое замкнутое векторное подпространство в Р, то й(Р'/М«, М) есть фактортопология топологии р(Р", Р) по М'. [Использовать в) и упражнение 12г.]' *23) пусть а("1 для камсдого целого и )Π†двойн последовательность (а("~), где а(я) = д, если р < и, и а(я) = 1, если р ) и загр яч „яч и пусть Š— векторное пространство таких двойных последовательностей х=(х ) вещественных чисел, что гя(х) = ««а" [х ~ кожз (и) яч Р ч печно для каждого целого и ) О.
Е, наделенное топологией, определяемой полунормами гть есть пространство Фреше [б 1, упражнение 1в]; пространство Е', сопряженное к Е, может быть отождествлено с про- 1 странстном таких двойных последовательностей х =[х ] вещественных чисел, что хотя бы для одного номера и и всех пар (р, 4), выполняются при надлежащем выборе фиксированного коэффициента й неравенства ~ х [< йа(а), причем (х, х') = ч1чх х, . [й 1, упраж- У Я пение 1в.] Пусть У(ра1 (ш ) ) для каждого целого ре)0 и каждой последовательности (ш ) целых чисел )0 — множество всех пар (р, д) целых Р чисел )О, УдовлетвоРЯющих УсловиЯм Р)Ра и 4 >~т .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
