Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 52
Текст из файла (страница 52)
топ., гл. 1, й 5 (и).] ч3) Пусть Р— прямая сумма мр»1 и 0 — пространство й'(М). Р и б приводятся в двойственность билинейной формой (л, у) = ~~ 1в»)», я-е где х = (1») б Р и у = (т)я) б П а) Показать, что в Р каждое выпуклое множество К, компактное в топологии ч(Р, О), конечномерио. [В противном предположении пусть (п«) — строго возрастающав последовательность целых чисел ) О н (а«) — последовательность точек из К такая, что у точки а« составляющие с индексами )п«равны нулю, но составляющая с индексом п«отлична от нуля.
Показать, что существует последовательность (1«) чисел ) О такая, что ~ч»»«ч,+со и у точки г',г«а«про«-в «-о странства йр(М) ограниченных последователькостей вещественных чисел все составляющие с индексами и; отличны от нуля. Вывести р отсюда, что последовательность частичных сумм з„= ~~~~ г«а«не может «-о иметь слабой предельной точки в Р.] СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 229 б) Показать, что в Р существуют бесконечномериые слабо компактные множества. [Принять ао внимание, что 0 — сопряженное к Р при топологии, индуцированной в Р из нормироваикого пространства йр(г[); см.
б 1, упражнение 1а.] в) Вывести из а) и б), что с (О, Р) = а(0, Р), но т (О, Р) отлично от топологии равномерной сходимости на слабо компактных множествах из Р. *4) а) Пусть Š— квазиполное ограниченно замкнутое (гл. !П, б 2, упражнение 12) отделимое локально выпуклое пространство. Лля того чтобы топологии т(Е', Е) и а(Е', Е) в сопряженном пространстве Е' совпадали, необходимо и достаточно, чтобы топология пространства Е была сильнейшей локально выпуклой топологией.[Используя предложение 4 б 2 гл. П1, показать, что каждое ограниченное множество в Е конечномерно.] б) Пусть Š— бесконечномерное метризуемое локально выпуклое пространство.
Для того чтобы топология т(Е, Е') в Е совпадала с а(Е, Е'), необходимо и достаточно, чтобы Е было изоморфно всюду плотному подпространству пространства ми (соотв. С"). [Принять во внимание, что в Е' существует счетная фундаментальная система равностепенно непрерывных множеств, каждое из которых йонечномерно, и, следовательно, Е' обладает счетным базисом.] 5) Пусть Р н 0 — векторные пространства в двойственности н М вЂ” замкнутое векторное подпространство и Р (в топологиях, согласующихся с двойственностью между Р и О).
а) Показать, что фактортопология т (Р, О) по М совпадает с т (Р/М, М'). [Использовать следствие предложения 3 8 Ц б) Показать, что т (М, О/М') мажорирует топологию, индуцируемую в М топологией т (Р, О); для того чтобы зти топологии совпадали, необходимо и достаточно, чтобы каждое уравновешенное выпуклое множество в О/М', компактное в слабой топологии а(6/М', М), было образом уравновешенного выпуклого множества из О, компактного в топологии а(6, Р), при каноническом отображении 0 иа О/М'. [См.
гл. Ч, й 2, упражнение 12.] в) Пусть Аг — векторное подпространство в Р, плотное в топологиях, согласующихся с двойственностью между Р и О. Показать, что если 3' — одна из этих топологий и топология, индуцируемая ею в А/, совпадает с с (/тг, 6), то й совпадает с т(Р, О). [См. упражнение бг.] 6) Пусть ((Р„ 0,)),~г — семейство пар векторных пространств в двойственности.
Произведение Р = ИР, векторных пространств Р $ и прямая сумма 6 векторных пространств О, приводятся в двойственность билинейной формой ((х,), (у,)) =~~~',(ля у,), и а(Р, О) есть произведение топологий а(Р„О,) (5 1, предложение 8). '230 гл. Псза Лвоиствпнность а) Показать, что т (6, Р) есть прямая сумма топологий т (6„Р) *).
Вывести отсюда, что топология т(Р, 6) есть произвеление топологий т(Р„6,). [Использовать теорему 3, а также упражнение 10 8 2 гл. ПЦ б) Вывести из а), что сопряженное к топологической прямой сумме семейства (Е,),(г отделимых локально выпуклых пространств изоиорфно (алгебраически) произведению семейства (Е,) сопряженных к пространстваи Е,. в) Пусть Š— векторное пространство и Е' — его алгебраическое сопряженное.
Вывести из а), что т(Е, Е') есть сильнейшая локально выпуклая топология в Е, а т(Е', Е) совпадает с а (Е", Е). г) Пусть Š— бесконечномерпое векторное пространство, Е' — его алгебраическое сопряэкенное и Е'" — алгебраическое сопряженное к Е'. Показать, что Е плотно в Е" во всех топологиях, согласующихся с двойственностью между Еы и Е*, но топология, которую ч(Е , Е") индуцирует в Е, отлична от т(Е, Е'). [Использовать в).] '7) Пусть (Е,)„(л — семейство отлелимых локально выпуклых про.странств, Š— векторное пространство и 7"„, для каждого аСА,— линейное отображение Е, в Е. Рассмотрим н Е сильнейшую из локально выпуклых топологий й, при которых непрерывны все у„(гл.
и, й 2, и' 2); предположим, что она отделима, и обозначим через Е' сопряженное к пространству Е, наделенному этой топологией й. Показать, что если топология каждого Е, (збА) совпадает с с[Е„Е„] то й совпадает с т (Е, Е'!. [Использовать предложение 7 й 4.], 8) Пусть Р и 6 — вещественные векторные пространства в двойствснности. а) Пусть А — слабо компактное выпуклое множество в Р, не содержащее начала, и С вЂ кон с вершиной О, порожденный этим множеством.
Показать, что конус С' обладает в топологии т(6, Р) внутренней точкой. б) Обратно, пусть С вЂ” выпуклый конус в Р с вершиной О, обладающий в топологии т(Р, 6) внутренней точкой. Показать, что в 6 существует слабо замкнутая гиперплоскость Н, не содержащая начала и такая, что Н[! С' слабо компактно. "9) а) Пусть Š†отделим локально выпуклое пространство. Доказать равносильность следующих утверждений; а) Е бочечно; 8) каждое слабо ограниченное множество в Е' равностепенно непрерывно; 7) каждое слабо ограниченное множество в Е' относительно слабо компактно, а топология в Е совпадает с т(Е, Е'). б) Показать, что произведение любого семейства бочечных пространств бочечно. [Свести к случаю отделимых бочечных пространств и использовать а), предложение 7, теореиу 3, приведенное выше упражнение б и упражнение 10 8 2 гл.
ПЦ *) Напротив, а(6, Р) не есть вообще прямая сумма топологий э(6ч Р,) как показывает случай, когда Р, 6, = (1 и 7 бесконечно, [См. 5 3, упраж. пение !б и й 1, упражнение 11в.] СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 2З! в) Получить из б) пример бочечиого пространства Р, обладающего замкнутым подпространством Е, не являющимся бочечным и, следовательно, не имеющим дополнения в Р. [Использовать предложение 7 й 5 гл. П и упражнение 5 й 1 гл. ПЦ 10) Пусть Р и б — векторные пространства в двойственности. Заграждением пространства 0 в алгебраическом сопряженном Ра к Р назовеч множество всех линейных форм х' на Р, ограниченных на каждом множестве из Р, ограниченном в топологии ч(Р, П); зто— векторное подпространство О в Р', сопряженное к пространству Р, наделенному топологией ограниченно замкнутого пространства, ассоциированной с любой из топологий в Р, согласующихся с двойственностью между Р и П (гл.
!П, й 2, упражнение 13). Если д= П, то й назовси алграждеяным в Р". а) Пусть М вЂ” замкнутое векторное подпространство в Р (а топологии а(Р, б)). Показать, что если 0 в загражденное в Р", то сопряженное к факторпространству Р/М, наделенному топологией е(!7М, М'),— загражденное в алгебраическом сопряженном к Р[М. б) Для того чтобы отделимое локально выпуклое пространство Е было ограниченно замкнутыи, необходимо и достаточно, чтобы его топология совпадала с т(Е, Е'), а Е' было заграждеиным в Е*. *11) а) Пусть (Е )н т †семейст отделимых локально выпуклых пространств н Р— прямая сумин пространств Е„ наделенная топологией, определенной в упражнении 7 О 1 гл. !. Показать, что пространства, сопряженное к Р, канонически изоморфно подпространству прот изведения я Е, сопряженных пространств Е„образованному семействаии (х,), в которых х, ~ 0 не более чем для счетного множества индексов.
[Пусть Ъ; — произвольная окрестность нуля в Е,. Показать, что если х, + 0 для несчетного бесконечного множества индексов, то существует число а ) 0 такое, что в несчетном бесконечном множестве окрестностей К содержатся злеиенты х„для которых (хя х,) ~а, и заключить отсюда, что (х,) не может принадлежать Р'.[ б) Показать, что если г несчетно, то Р' — не загражденное в Р' (упражнение 10).
12) Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство. а) Для того чтобы в сопряженном пространстве Е' существовало поглощающее слабо ограниченное множество, необходимо и достаточно, чтобы топология пространства Е иажорировалась нормированной топологией. [См. й 1, упражнение 10.[ б) Длв того чтобы в Е' существовало тотальное в слабой топологии равностепенно непрерывное множество, необходимо и достаточно, чтобы топология пространства Е мажорнровала нормированную топологию. в) Для того чтобы в Е' существовало поглощающее равностепенно непрерывное множество, необходимо и достаточно, чтобы топологии в Е могла быть определена одной нормой.
двонств щ1ность гл.я Фз *13) а) Пусть в пространстве Г, сопряженном к отделимому локально выпуклому пространству Е, существует счетное множество. всюду плотное в топологии э(Е', Е). Показать, что тогда топология пространства Е мажорнрует метризуемую локально выпуклую топологию. б) Пусть Р и й — векторные пространства в двойственности, причем в О существует счетное множество, всюду плотное в топо- логик э(0, Р), и пусть (х„) — последовательность точек из Р, каждая подпоследовательиость которой обладает предельной точкой в Р в топологии а(Р, б). Показать, что тогда некоторая подпоследовательность последовательности (лв) сходится к точке пространства Р в топологии э(Р, О) (,теорема Шмульяна') [Пусть (Ья) — слабо плотная последовательность в П; выбРать кз (ли) подпоследовательпость (Уя) так, чтобы (у„, Ья) сходилось к пределу для каждого индекса р, и показать, что последовательность (у„) имеет лишь одну предельную точку в слабой топологии э(Р, Й)[ в) Пусть Š— метризуемое локально выпуклое пространство или строгий индуктивный предел (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
