Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Точно так же и пространство всех гармонических функций на открытом множестве из (с», наделенное топологией компактной сходимости, есть монтелевское пространство Фреше., Пгвдложинии 6. В каждом ограниченном подмножестве В монтелевского пространства Е исходная и ослабленная топологии индуцируют одну и ту же топологию. в сильная топология в сопвпждпном пгоствлнствв 241 Очевидно, можно ограничиться тем случаем, когда В замкнуто (в исходной топологии). Так как топология, индуцируемая в В ослабленной топологией, отделима н мажорируется топологией. индуцируемой исходной топологией, а в последней В компактно, то эти две топологии совпадают (Общ.
топ., Рез., Э 8, п'5; гл. 1, й 10, и' 4). Следствие. В монтелевском пространстве Е каждый фильтр со счетным базисом, сходящийся в ослабленной топологии к точке хз, сходится к хь и в исходной топологии. Достаточно доказать справедливость этого утверждения для элементарного фильтра, ассоциированного с последовательностью (х„)„>, (Обит. топ., Рез., Э 2, и'1О", гл. 1, Э б, и'1О). Но если послеловательность (х„) сходится к хо в топологии е(Е, Е'), то оиа ограниченна в этой топологии, а, с.тедовательно, также в исходной топологии пространства Е (й 2, теорема 3).
Но в таком случае топология, индуцируемая исходной топологией в множестве, образованном точками хь и х„ (п )~ 1), совпадает с топологией, которую индуцирует в(Е, Е ), откуда и вытекает справедливость утверждения. Из определения 5 и теоремы 2 сразу видно, что монтелевское пространство рефлексивно. Кроме того: Пгвдложепие 7. Сильное сопряженное к монтелевскому пространству есть монтелевское пространство. В самом деле. пусть Š— монтелевское пространство и Е' — его сильное сопряженное.
Так как Е рефлексивно, то Е' бочечно (предложение 4). Покажем, что каждое ограниченное замкнутое выпуклое множество В' в Е' сильно компактно. Так как Е бочечно, то В' равностепепно непрерывно (предложение 2); поэтому топология. индуцируемая в В' слабой топологией а(Е', Е), совпадает с топологией, иидуцируемой топологией компактной сходимости (гл. !!1, й 3, предложение б). Но каждое ограниченное замкнутое множество в Е компактно, так что в Е' топология компактной сходимости совпадает с сильной. Так как В' слабо компактно ($ 2.
предложения 2 и 4), то заключаем, что оно сильно компактно, и предложение доказано. гд. я,аз 242 ДВОИСТВЕНКОСТЬ У и р а ж н е н и я. ь1) Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство. а) Для того чтобы в сопряженном пространстве Е' сильная топология совпадала со слабой, необходимо и достаточно, чтобы топология ограниченно заикнутого пространства, ассоциированного с Е (гл.
П1, 5 2, упражнение 13), была сильнейшей локально выпуклой топологией в Е. б) Для того чтобы сильная топология в Е' совпадала с т(Е', Е), необходимо и достаточно, чтобы Е было полурефлексивио. в) Предположим, что Š— инфрабочечиое пространство. Для того чтобы сильная топология в Е' совпадала с топологией компактной сходимости, необходимо и достаточно, чтобы Е было монтелевским.
[С». гл. Ш, 5 3, упражнение !0.] 2) Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство и Е' — его сопряженное, наделенное Ж-топологией, где Ж вЂ” покрытие пространства Е, образованное ограниченными множествами. Показать, что для того, чтобы билинейная форма (х, л')-ь(х, х') была непрерывна на Е Х Е', необходимо и достаточно, чтобы топологию в Е можно было определить одной нормой, а рассматриваемая Ж-топология была сильной топологией в Е'. [См.
гл. 111, 5 2, упражнение 2.] а3) а) Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство, С в замкнутое уравнонешенное выпуклое множество в Е и и — линейиал форма иа Е. Показать, что есди сужение и на С непрерывно в исходной топологии, то оно непрерывно и в топологии а(Е, Е'). [Использовать упражнение 18а б 2.] Показать на примере, что сужение и на векторное подпространство М, порожденное множеством С, не обязательно иеврерывпо.
[За Е взять )с(х), налелеивое нормой ]]л]1 = зпР]св], а за С вЂ” надлежащим обРазом выбРанное выпУклое я множество, поромсдающее Е.] б) Пусть ю — покрытие пространства Е, образованное замкнутыми уравновешенными ограниченными выпуклыми множествами. Показать, что пополнением пространства Е', наделенного З-топологией, служит векторное пространство Р всех линейных форм на Е, сужения которых иа каждое множество нз Ж непрерывны(„шеорема Грошендика"). [Чтобы показать, что для каждой линейной формы ил Р, каждого»иожества А б Ж и каждого ь ) 0 существует линейная форма и б Е' такая, что ] и (х) — и (х) 1( а для всех х с А, заметить, что сужение и на А в силу а) слабо непрерывно и что А слабо предкомпактио, Свести, таким образом, доказательство к следующей задаче: пусть заданы множество В с(Б, конечпомерное подпространство М простран- $ ства Е и линейная форма иа на М такая, что [иа(х) ]( — для всех 4 л ч В П м; пРодолжить иа до непРеРывной линейной фоРмы о с е' такой, что ]п(л)]( — для всех хб В.Для решения ее кспользовать предло- 4 сильная топология в сопряженном пвоствлнстве 243 жение 4 4 3 гл.
П,примененное к пространству Е",наделенному топо. логией а(Е", Е').] в) Вынести из б), что сильное сопряженное к отделимому ограниченно замкнутому пространству (и, в частности, к метризуемому локально выпуклому пространству) полно. [См. гл, П1, Е 3, упражнение 18.1 г) Показать, что пополнение Е отделимого локально выпуклого пространства Е может быть отожлествлепо с пространством всех линейных форм на Е', сужение которых на каждое равностепенно непрерывное множество из Е' слабо непрерывно. Получить отсюда новое доказательство теоремы 4 б 2. 4) Пусть 7 в несчетное множество и Š— прнмая сумма )с(", наделенная топологией, определенной в упражнении 7 в 1 гл.
!. Показать, что сильное сопряженное Е' к Е не полно и что в Е' существуют сильно ограниченные множества, не являющиеся относительно слабо компактными. [См. й 2, упражнение 11.] 3) Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство, 5~ — мно. жество всех равностспснно непрерывных выпуклых подмножеств сопряженного пространства Е', Зз — множество всех относительно слабо компактных выпуклых множеств из Е', юз — множество всех сильно ограниченных выпуклых множеств из Е' и З, — множество всех слабо ограниченных выпуклых множеств из Е'. Показать, что Фт ~ Фзс: сЗчсМм [См.
5 2, теоремы 2 и 3.] Дать пример пространства Е, для которого зти четыре множества подмножеств попарно рззличньь [Припять за Е произведение трех пространств, для которых соотнетствепно л)т+ 5т (см. б 2, упражнение 4б), Зз + Зэ (упражнение 4) и Зз ~ Зз (см. гл. П!, б 3, замечание после следствия 1 теоремы 4).] еб) а) Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство. Доказать разносил~ность следующих свойств: а) Е инфрабочечно (гл. П1, Е 2, упражнение 12); 8) каждое сильно ограниченное множество в Е' равиостепеипо непрерывно; т) каждое сильно ограниченное множество в Е' относительно слабо компактно, а исходная топологии пространства Е совпадает с т(Е, Е'); ь) топология, индуцируемая в Е сильной топологией второго сопряженного Е", совпадает с исходной топологией в Е. Замыкания в топологии ч(Е", Е') множеств, образующих фундаментальную систему окрестностей нуля для исходной топологии в Е, образуют тогда фундаментальную систему окрестностей нуля для сильной топологии в Е".
б) Показать, что если Е инфрабочечио, а его сопряженным Е' слу;кит алгебраическое сопряженное Е*, то исходной топологией в Е является сильнейюая локально выпуклая топологиа. [Использовать а) и упражнение 1!б Е 1.] в7) Пусть Р и Π— векторные пространства в двойственности. Для всех топологий у в Р, согласующихся с двойственностью между Р и О, сильная топология в О, рассматриваемом как сопряженное к Г, 244 гд. гч, э з двонстввнность одна и та же 5 2, теорема 3) и тем самым зависит лишь от двойственности между Р и 6; будем обозначать ее р(6, Р). а) Локазать равиосильнвсть следующих свойств: а) Р, наделенное топологией У, согласующейся с двойственностью между Р н 6, полу- рефлексивно; р) 6, наделенное топологией т (6, Р), бочечно; 1) Р, наделенное топологией т(Р, 6), квазиполно н каждая ограниченная последовательность точек из Р обладает предельной точкой в топологии э(Р, 6) [см. й 2, упражнение 15б]; э) Р, наделенное топологией т(Р, 6), квазиполио и каждая' убывающая последовательность не- пустых ограниченных замкнутых выпуклых множеств в Р обладает непустым пересечением [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
