Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 59
Текст из файла (страница 59)
а) Для того чтобы линейное отображение и пространства Р в Рт было непрерывным при топологиях а(Р, О) и а(РЬ 6т), необходимо и достаточно, чтобы его алгебраическое сопряженное гп (Алг., гл. П й 4, и' 9) было отображением Рта в Р" таким, что ги(0т)с= 0. б) Пусть Х и Хт — насыщенные множества подмножеств из 0 и 0ь ограниченных в топологиях ы(6, Р) и а(0т, Рт) соответственно (гл. П1, б 3, упражнение 2).
1(ля того чтобы линейное отображение и пространства Р в Рп непрерывное прн топологиях а(Р, О) и а (Рт, 6т), было непрерывным при Х-топологии в Р и Хт-топологии в Рт, необходимо и достаточно, чтобы ти (Хт) с: Х. 3) Пусть Е и Р— отделимые локально выпуклые пространства. а) Лля того чтобы линейное отображение и пространства Е в Р было гомоморфизмом Е иа и(Е) при исходных топологиях в Е и Р, необходимо и достаточно, чтобы и было гомоморфизмом при топологиях а(Е, Е') и ч(Р, Р') и каждое равиостепенно непрерывное множество из Е', содержащееся в ти(Р'), было образом равностепенио непрерывного множества из Рг при сопряженном отображении ги.
[Для установления достаточности условия свести к случаю, когда и инъективио (см. упражнение 4).[ б) Показать, что если топология, индуцируемая в каждом векторном подпространстве АГ пространства Р' топологией т (Р, Р'), совпадает с т(дг, Р'/Аг'), то каждый гомоморфизм Е в Р при топологиях а(Е, Е') и ч(Р, Р') есть также гомоморфизм при топологиях т(Е, Е') и т(Р, Р'). [См. э 2, упражнение ба.[ Случай, когда Р метрнзуемо.
4) Пусть Š— отделимое вещественное локально выпуклое пространство, такое, что в его сопряженном Ег содержится бесконечно- ДВОЙСТВЕННОСТЬ Гл,>ч,$4 мерное выпуклое множество В', компактное в слабой топологии а(Е', Е) (условие, осуществляющееся, например, когда Š— бескоиечиомерное векторное пространство, наделенное топологией а(Е, Ее)). Показать, что существует линейная форма иЕЕ'4, не ограниченная на В', вывести отсюда, что В'ие компактно в топологии а(Е', Р), тле Р— подпространство Е+Вп пространства Е'*. Заключить отсюда, чтотождествеиное отображение Е в Р есть изоморфизм при топологиях а(Е, Е') и а(Р, Е'), но не при топологиях т (Е, Е') и т (Р, Е'). 5) а) Пусть Е и Р— пространства Фреше. Доказать равносильность следующих пяти свойств линейного отображения и пространства Е в Р. а) и есть гомоморфнзм Е на и(Е) при исхолных топологиях в Еи Р, 3) и есть гомоморфизм Е на и(Е) при топологиях а(Е, Е') и а (Р, Р>); Т) п(Е) замкнуто в Р; З) ти есть гомоморфизм Р' иа гл (Рг) при слабых топологиях а (Р>, Р) и а (Е>, Е); а) гп(Р') замкнуто в Е' в топологии а (Е', Е).
[Использовать прелложение 4, упражнение Зб, а также теорему ЯЗгл. Ц б) Дать пример изоморфизма и пространства Фреше Е в пространство Фреше Р, для которого ти не было бы гомоморфизмом Р' на ти(Н) при сильных топологиях в Р' и Е'. [См. 3 3, упражнение 23в.) чб) Пусть Е и Р— пространства Фреше и и — непрерывное линейное отобра>кение Е в Р. Показать, что если ти есть изоморфизм Р" па ти (Р') при сильных топологиях в Р' и Е', то и есть гомоморфизм Е па Р. [Использовать предыду>нее упражнение 5 и теорему 5 $ 2; см.й 5, упражнение !1.) 7) Пусть Е и Р— локально выпуклые пространства, и — непрерывное линейное отображение Е в Р и А — всюду плотное векторное подпростраиство в Е.
Показать, что если сужение и на А есть гомоморфизм А на и (А), то и есть гомоиорфизм Е на и (Е). [Использовать упражнение За.[ Если, кроне того, и(А) =Р, то и(>г) есть внутренность и()гПА) для каждой уравновешенной выпуклой открытой окрестности нуля )г из Е. 8) Пусть Е и Р— отделичые локально выпуклые пространства. Для каждого подмножества Н пространства Е (Е, Р) всех непрерывных линейных отображений Е в Р обозначяч через тН множество отображений Р> в Е', сопряженных к всевозможиыи отображениям ил Н. Для каждого множества М (соотв.
№) из Е (соотв. Р') обозначим через Н(М) (соотв. >Н(№)) объединение всех множеств и(М) (соотв. ти (№)), где и пробегает Н. а) Для того чтобы Н было равиостепеино непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы >Н(№) ~ Е' было равностепенио непрерывно для каждого равностепенно непрерывного множества № из Р'. сильнАя и слАБАя няпвегывность 259 б) Пусть ю — множество ограниченных полмножеств пространства Е.
Показать, что для того чтобы Н было ограниченным в й-топологии в Ь(Е, Р), необходимо и достаточно, чтобы гН(у') было ограниченно в ю-топологии в Е' для каждого у' б Р'. (Использовать теорему 3 9 2.! в) Пусть ю — множество огранмченных подмножеств пространства Е, л,— насыщенное множество (гл. П1, 9 3, упражнение 2) ограниченных подмножеств пространства Р, и Е' наделено ю-топологией, а Р' — Х-топологией. Для того чтобы гН было равностепенно непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы Н (В) для любого множества В б й содержалось в некотором множестве из ь. В частности, для того чтобы тН было равностепенно непрерывным при сильных топологиях в Р' и Е', необходимо и достаточно, чтобы Н было ограниченно в Е (Е, Р) в топологии ограниченной сходимости. г) Вывести из б) и в), что если 'Н ограниченно в топологии простой сходнмости в А (Р', Е'), где Р' и Е' наделены сильными топологиями, то оио равностепенно непрерывно при тех же топологиях.
9) В обозначениях упражнения 8: а) Показать, что если Е бочечно, то слслующне свойства равносильны: а) Н ограниченно в Е (Е, Р) в топологии простой сходнмости; 8) Н равностепеино непрерывно; 7) гН ограниченно в топологии простой сходимости в Е (Р', Е') при наделении Е' слабой топологией ч(Е', Е); 6) гН равностепенно непрерывно, когда Е' и Р' наделены сильными топологиями. б) Показать, что если Е инфрабочечно, то свойства р) и а) из а) равносильны друг другу, а также следующим двум другим: з) Н ограниченно в Е (Е, Р) в топологии ограниченной сходи- мости; у) 'Н ограниченно в топологии простой сходимости в А (Р', Е') при наделении Е' сильной топологией. в) Показать, что если Е квазиполно, то свойства а), 7) и а) из а) равносильны.
*10) Пусть 0 — векторное подпространство произведения йи, отличное от рси, содержащее )прямую сумму 1!( ) и наделенное локально выпуклой топологией, превращающей 0 в метризуемое монте- левское (следовательно, полное; см. 9 3, упражнение 21г) пространство (по поводу способа построения таких пространств см. $ 3, упражнение 27). Пусть 0' — сопряженное к О, отождествленное с подпространством произведения Вл посрелством билинейной канонической формы ( л, х') =~~ляхи, где х=(х„)б0, х'=(л„) б0'. и Пусть Н вЂ” пространство всех двойных последовательностей Г= (Гмв), в которых гж„чьО лишь для конечного числа индексов и и (гыв)ы(н б 0' 260 ГЛ. 1Ч, $4 двоиствпнность для каждого и; Н можно рассматривать как прямую сумму б'г~>, и мы наделим Н прямой суммой топологий его слагаемых, превращающей его в монтелевское пространство (б 3, упражнение 25); пространство Н', сопряженное к Н, отожлествнмо с пространством всех двойных пот следовательностей Г' = (Г,яя) таких, что последовательность (Гмя)„,~к для каждого и принадлежит 0 (пространством, изоморфным произведению П ).
Пусть К вЂ” пространство, получающееся из Н посредством к .симметрии" (Г„,я)-ь((ям) в (ск"к, и К' — его сопряженное, получающееся из и' посредствоч симметрии (г „)- (1„~). Пусть Р— пространство всех тройных последовательностей (згаяя), в которых гмя чьО лишь для конечного числа индексов р н (з„,„р)( я>~н„к принадлежит Н для кажлого р; Р можно рассматривать как прямую сумму НРО = сг'(нкк>, и мы наделим Р прямой суммой топологий его слагаемых, так что оио будет в этой топологии монтелевским пространством.
Пусть 0 — пространство всех тройных послеловательностей (з,и,) таких, что последовательность (змия)(яь„>йк„н лля каждого р принадлежит К; Ц можно рассматривать как произведение Ки, и мы наделим его произведением топологий его множителей, превратив его тем самым в монтелевское пространство. Пусть, наконец, Е = РПЯ вЂ” пространство всех последовательностей (эмир), содержащих лишь конечное число ненулевых членов, отождествимое с прямой суммой )с(н"к"и>; налелим Е прямой суммой топологий его слагаемых, так что пространством Е', сопряженным к Е, будет тогда произвеление (с~"и"и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
