Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 63
Текст из файла (страница 63)
[Использовать в) и теорему Хана — Банаха.] д) Пусть М" — подпространстно пространства Е", ортогональное ]]х+л" ]! к М'. Показать, что г= !и1, где л" пробегает М", а х— !]х]! множество всех ненулевых точек из Е. [Использовать в) и теорему Хана — Банаха.[ Вывести отсюда, что для того, цтобы М'(г) = Е', необходимо и достаточно, чтобы Е+М" было сильно замкнуто в Е".
[Использовать теорему 1 $ 3 гл. Ц е) Пусть А = М )( В), Е = Я."(А) (упражнение 3) и Р— векторкое подпространство пространства Ел .йу(А), образованное точками х = =(ху) такими, что х .= —. для всех Г)0. Показать, что Р= 17 = М", где М' — векторное подпространство пространства Е', всюду плотное в топологии а(Е', Е), но Е+М'ц= Е+Р не является сильсо замкнутым в Е". Вывести отсюда, что характеристика М' равна нулю. ч15) Пусть Š— баналовское пространство и М' — сильно замкнутое векторное подпростраиство пространства Е', всюду плотное в слабо)! топологии, М' называется неприаодимым, если оно не содержит никакого отличного от него векторного полпространства )Ч', сильно замкнутого и слабо всюду плотного в Е'.
а) Показать, что для того, чтобы М' было неприводимым, необходимо и достаточно, чтобы подпространство'Мгь пространства Е", ортогональное к М', являлось топологическим дополнением к Е в Е" (в сильвой топологии). Вывести отсюда, что тогда Мпй) = Е' (упражнение 14) и Е изоморфно сильному сопряженному к банаховскому пространству М' (длв структур топологического векторного иространства). б) Показать, что для того, чтобы М' было неприводимым, необходимо и достаточно, чтобы единичный шар ]]л]! (1 пространства Е был относительно компактен в Е в топологии а(Е, М'). [Использовать упражнение 14а.] двогзствпнность гл.
!щ 4з в) Для того чтобы Е было изоморфно (по структурам топологического векторного пространства) сильному сопряженному к банаховскому пространству, необходимо и достаточно, чтобы в Е' содержалось неприводимое подпространство. Вывести отсюда, что банаховское пространство Д,;""()ь)) ие изоморфно сопряженному ни к какому банаховскому пространству [См.
упражнение 5в.] 1б) Пусть Š— нерефлексивпое банаховское пространство, Е' — его сильное сопряженное, Е" — сильное сопряженное к Е', Егв — сильное гя сопряженное к ю и о — сильное сопряженное к а а) Показать, что в Егл подпростраиство Е' и подпространство Е; ортогональное к Е (рассматриваемому как подпространство пространства Е"), топологически дополннтельиы и что проекция Ег« на Е' есть непрерывное линейное отображение с нормой 1. б) Показать, что Е есть топологическая прямая сумма подпро- !Ч странств Е««и Е", а также Е" и Е, а Е" П Е '= Е. Пусть о — линейное отображение Е иа себя, являющееся на Е" тождеством, а на зч Е" — проекцией Е" на Е параллельно Е"; показать, что о есть изометрия, ио ие непрерывно в топологии а(Ез, Е ).
а17) а) Пусть Š— банаховское пространство и (х,)«» ! — всюду плотное на единичной сфере [[х[[ = 1 множество ее точек. Показать, что линейное отображение и пространства Ес(А) в Е, определенное формулой и (!) = ~ ! (а) л«лля всех Г = (Г («))„» Л' (А), есть гомо«»л морфизм Ес(А) на Е. [Использовать теорему 1 9 3 гл. Ц Вывести отсюда, что Е изоморфио факторпространству пространства ьз(А). б) Получить из а) пример замкнутого подпространства пространства ьс(М), не облалающего топологическим дополнением в ь'(М).
[Использовать упражнения 3, 4в и 6.] 18) а) Показать, что каждое вещественное (соотв, комплексное) банаховское пространство изометрично замкнутому подпростраиству банаховского пространства вида ьт(Я, ]с) (соотв. ст(5, С)), образованного всеми вещественными (соотв. комплексными) непрерывными функциями на некотором компактном пространстве Е (Общ. топ., гл.
Х, 9 5). [Исиользовать формулу (4).] б) Вывести из а), что каждое отделимое локально выпуклое пространство Е изоморфно подпространству локально выпуклого пространства вида ьт с(5, )с) (соотв. 0 а(Л, С), образованного всеми вещественными (соотв. комплексиымн) непрерывными функциями на некотором локально компактном пространстве Е и наделенного топологией компактной сходимости. [См.
гл. П, 8 5, предложение 7.] В частности, каждое пространство Фреше изоморфно замкнутому подпространству пространства С с(Е, )с) (соотв. (уа(Ь, С)), где Е локально компактно и счетно на бесконечности. «19) а) Пусть Š— бесконечномериое.(вещественное или комплексное) нормированное, пространство. Показать, что оно содержит восле- ДВОПСТВЕННОСТЬ БАНАХОВСКИХ ПРОСТРАНСТВ 277 довательность (х„) такую, что какова бы ни была ограниченная последовательность скаляров (1в), существует непрерывная линейная форма х' на Е, для которой (х»ь х') = Ач при всех и.
[Образовать воследовательиости [х ) точек сопряженного пространства Е' и (хи) точек из Е такие, что (х! ху) Ь,.„. и [!х„~! ~ 2 ".[. б) Лля того чтобы отделимое локально выпуклое пространство Е обладало свойством, указанным в а), неог'колино и достаточно, чтобы его пополнение ие было пространством минимального типа (й 1, упражнение 13).
[Использовать предложение 7 б 5 гл. П и предложение 10 б 2 гл. !Ч.) *20) а) Пусть Е и Р— бесконечномерные комплексные нормированные пространства и и — взаимно однозначное отображение Е на Р, полулинейиое относительно автоморфизма а тела С и переводящее каждую замкнутую гиперплоскость из Е в замкнутую гиперплоскость в Р. Показать, что автоморфизм а необходимо непрерывен (и, следовательно, есть тождество или автоморфизм ч-»$). [Рассуждать от противного. Пусть (х„) — последовательность точек из Е, удовлетворяющая условию упражнения 19а, и (1„) — ограниченная последовательность комплексных чисел такая, что !1я!)~п[[и(х„)й для всех и показать, что если (х»ь х') = А„для всех и и а — точка из Е, для которой (а, х') = 1, то и(а) должно было бы принадлежать образу гц замкнутой гиперплоскости х'(О) при отображении и.] б) Вывести из а), что и — непрерывное полулинейное отображение Е на Р.
[Воспользоваться предложением 7.[ в) Пусть а — разрывный автоморфизм тела С. Показать, что взаимно однозначное отображение (5„) -»($'„) произведения С" иа себя переводит каждую замкнутую гипернлоскость в замкнутую гиперплоскость. [См. й 2, иреаложеиие 10.[ "21) Пусть а("! для каждого целого л)0 — двойная последовательность а(л) = [а(я))з> 7>1, где а(яу! = /а для каждой пары ((, !) г(11 и 11(а! !и для ка1кдой парь1 (! 7) с !) ж пуст~ е — векторное пространство всех таких двойных последовательностей х = (хгу) веществениыз чисел, что р„(х)=~а(ау!)х,.
1(+сю для каждого 1,7 целого и) 0; ря — полуиормы, определяющие в Е топологию монте- левского пространства Фреше (б 3, упражнение 27); пространство Е', сопряженное к Е, отождествимо с пространством всех последовательностей х'=[х, ) таких, что вар~а(ау)! '~х, [с. +оз хотя бы для 1,,1 одного номера п (й 1, упражнение !в). а) Для каждого х = (хсу) Р Е положим у = ~~~~ х17 (для всех)') 1).
1 Показать, что ~>', [уу [(+ со. Обозначим последовательность (уу) б 5 51(М) через и(х); показать, что и — непрерывное линейное отображение Е в Р= ь1(М) и что какова бы ии была последовательность 78 Гл. У,зз двопствкнность у' = (у,) 5 Р = 5 (М), и(у') есть последовательность [л'.) 5 Е' тат г зу кая, что лт = у для каждого й Вывести отсюда, что ги есть взаимно однозначное линейное отображение ь~(5)) на слабо замкнутое подпространство пространства Е' и, следовательно, и — гомоморфизм Е на Ег(Ь() при исходных топологиях (й 4, упражнение 5), а ги — изоморфизм Р'=Л"(5)) на ги(Р') при слабых топологивх а(Р', Р) и а (Е~, Е).
-1 б) Пусть М= и(0), так что М'=си(Р'). Показать, что прообраз топологии, индуцируемой в М' сильной топологией из Е', относительно отображения ти есть топология равномерной сходичости на всех компактных множествах из Р = П (Ь)). [Сч, й 2, теорема 5 и й 5, упражнение 4.[ Вывести отсюда, что топология, индуцируемая в М' сильной топологией из Е', отлична от сильной топологии 5(М', Е|~М) и что в топологии, которую индуцирует 5(Е', Е), М' не есть инфрабочечное пространство, хотя Е', наделенное топологией ~Ч(Е', Е), ограниченно замкнуто и бочечно (см. й 3, упражнения 1О, 20 и 22); в частности, М' не рефлексивно. Показать, что в Е/М имеются ограниченные множества, не являющиеся образами никаких ограниченных множеств из Е при каноническом отображении Е па Е|М.
22) а) Пусть я и Ь вЂ” дае точки нормированного пространства Е. Обозначая через 6(А) диаметр ограниченного множества А с- Е, определим по индукции послеловательиость (Ви)я>, ограниченных множеств из Е следующими условиями; Вт есть множество тех х5Е, для 1 которых [[х — а[[=[[х — Ы| — ||а — Ы|; В„при п)1 есть мно- 2 жество всех х 5 В„т таких, что", || х — у й~ - .
Х (В„т) для всех 1 у 5 Вн х. Показать, что пересечение всех множеств Ва сводится к точке 1 Г 1 — (а-|-Ь), ~Принять во внимание, что Ь(Вь)~ — 6(Вь-т).[ 2 а б) Вывестн из а), что изометрия и вещественного баиаховского пространства Е на вещественное баиаховское пространство Р есть аффинное линейное отображение Е на Р. ГЛАВА Ч ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА е) (Элементарная теория) В 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
