Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Для отделимости Е необходимо и достаточно, чтобы йхй было нормой на Е, иными словами, чтобы (х)у) было невырожденной положительной эрмитовой формой; то же самое можно выразить, сказав, что О есть единственный вектор в Е, ортогональный к самому себе. гл.
ч, а т 284 ГильвеРтозы пРостРАнствА Согласно общим определениям (Теор. мн., Рез., $ 8), иэоморфиэм предгильбертова пространства Е на предгильбертово пространство Е есть взаимно однозначное линейное отображение и пространства Е на Е такое, что (и(х) !и(у))=(х!у) (10) для всех х и у из Е. Отсюда вытекает. что Ци(х)~/=!!хЦ для всех х ~ Е, причем и. очевидно, есть изоморфизм для структур векторного пространства в Е и Р; если Е и Е отделимы, то и есть изометрия Е на Е.
Пример. Как известно (Алг., гл. 1Х), для каждой невырожденной положительной эрмитовой формы / на пространстве К" существует взаимно однозначное линейное отображение и этого пространи ства на себя такое, что г'(и(х). и(у)) =(х (у) = ~~~ ~!да (где 1! и ь1 ти — соответственные координаты векторов х и у); форма (х1у) при К= )с есть не что иное, как евклидова скалярное произведение (Общ. топ., гл.
Н!, Э 2). Тем самым два отделимых вещественных (соотв. комплексных) предгильбертовых пространства одной и той же конечной размерности и всегда иэоморфны. (В Э 2, предложение 7. мы увидим, как обобщается это свойство.) Пусть Š— комплексное предгильбертово пространство и (х ~у)— скалярное произведение на Е. В множестве Е можно определить вторую структуру векторного пространства относительно С, сохраняя ту же групповую операцию и принимая за закон внешней композиции (Л, х) = Лх (Алг., гл. !!, Приложение, и' 2); при этой структуре векторного пространства (х, у) -+ (у 1х) есть положительная эрмитова ° полуторалинейная форма.
Предгильбертово пространство Е,, получающееся путем наделения Е этой новой структурой векторного пространства и этой новой эрмитовой формой, мы будем называть дуальным к пространству Е. Изоморфизм и пространства Е иа Е, есть полулинейное (относительно автоморфизмз 1 -+ ! тела С) отображение Е на себя такое, что (и(у))и(х)) = (х~у) или, иначе, (и(х)(и (у)) = (х ,'у); такое отображение называется также полуавтоморфиэмом предгильбертова пространства Е.
пгвдгильвввтовы и гильвегтовы пгостглнствл 288 Пусть Š— предгильбертово пространство и М вЂ е векторное надпространство. Сужение скалярного произведения (х ~у) на МХМ есть положительная эрмитова форма на М и тем самым определяет в М структуру предгнльбертова пространства; говорят, что эта структура индунярованя структурой предгнльбертова пространства, имеющейся в Е. Опгеделение 4. Гильбертовым пространством (или пространством Гильберта) называют полное отделимое предгильбертово нространство. Каждое отделимое предгильбертово пространство нзоморфио всюду плотному подпространству гильбертова пространства, определенного с точностью до изоморфлзма единственным образом.
Л именно: ПРедложение 4. Пусть Š— отделимое предгильбертово пространство и Š— пополнение его как нормированного пространства (Обш. топ., Рез., Э 10, 'и' 28; гл. 1Х, Э 3, предложение 8). Скалярное произведение (х (у) продолжается по непрерывности до невырожденной положительной врмитовой формы на Е Х Е, определяюи1ей в Е структуру гильбертова пространства. Существование продолжения (х)у) на Е )( Е вытекает из непрерывности этой полуторалинейной формы на Е)( Е (Общ. топ., Рез., э 10, п' 18; гл. !П, Я б, теорема 1). Кроме того, в силу принципа продолжения тождеств, это продолжение, также обозначаемое нами чеРез (х ~у), есть эрмитова полуторалинейная форма, удовлетворяюьцая соотношению (х)х)= )~х(!г, где )(х(! — норма иа Е, полученная путем продолжения по непрерывности нормы из Е; это показывает, что и в Е из (х ( х) = 0 следует х = О, так что (х ( у) — не- вырожденная положительная форма и, следовательно, определяет в Е структуру векторного пространства.
Это гильбертово пространство называется пополнением отделимого предгильбертова пространства Е. 4. Выпуклые лгпожвства в предгальбертовом пространстве. Вычисляя )(х — у(~г =(х — у) х — у) и !)х+у()г=(х+у) х+у) для произвольных двух точек х, у предгильбертова пространства Е, 286 ГИЛЬБЕРТОБЫ ПРОСТРАНСТВА Гл. Т.а ь сразу приходим к,медианному тождеству" ~8- »1~'+1'.— ~~=' - + » Из этого тождества вытекает следующее предложение: Пгкдложкник 5. Пусть д ) О, О ( 3 ( д, В и В' — множества в Е, определяемые соответственно неравенствами ~(х!! (аг и ~(х) ( д+ 8, и А — выпуклое множество, содержащееся в В' П СВ 21( У) Е==— (1!Р Черт. 1.
Черт. 2. Тогда для любой пары точен х, у из А выполняется неравенство 11х — у)~( 1/12до (черт. 1). 1 11 действительно, — (х+у)~А, откуда (~ — (х+у)1 ) а! тогда из !! 2 тождества (!1) вытекает, что ~ 2 (х — у) ~ = — (!!х!! + /!у!! ) — ~( — (х+у) 1! ((д+о)г — дг(Здо, чем предложение и доказано. Ткогкмл !. ТУуств Š— предгильбертово пространство и Н— его непустое выпуклое подмножество. являющееся в Е полным отделимым равномерным подпространством.
Для каждого х~Е существует однозначно определенная точка у~Н такая, что 11х — у!! = 1п! !1х — г11; зто — также единственная точка из Н, ься для которой Я(х — у~я — у) ( О при всех г~Н (черт, 2). (12) 4 пяцдгильвивтовы и гильвввтовы пвостялнствл 28« !Ь+Л(г — уН! ='-Ы Ь~!'+2Лт(у! — у)+Л'!! — Иа) Ы~' 2Я(у~г — у) )~ — Л!/у — г//, или откуда и следует (12), поскольку Л>О можно взять произвольно малым. Обратно, если у' Е Н таково, что И (у' ! г — у') > О для. всех г~Н, то бг(! = ~)у'~~ +2М(у'1г — у )+ йг — у'(( ) йу'5'» следовательно, бу''5 =г(, а в силу предыдущего это показывает.
что у'=у. Однозначно опрелеленную точку у множества Н, существование которой установлено теоремой 1, мы называем, допуская вольность речи, проекцией х на Н (см. предложение 8). Первая часть теоремы 1 справедлива прн более общих предположениях относительно пространства Е (упражненне 15).
1(оказательством теоремы 1 установлено между прочим наличие следующего свойства: Следствия 1. Пусть 1 — множество, фильтрующееся ао фильтру 5, и « — »у,— отображение «' е Н. Если ~~х — у,(~ Путем надлежащего переноса можно привести рассмотрение к случаю х = О. Пусть тогда «! = !п!'5'г5' ) О и А„ для каждогс» «бн целого и — (непустое) множество тех точек из Н, для которых '5гб(г(+ —. Так как А„выпукло, то из предложения б сразу 1 следует, что диаметр этого множества стремится к нулю вместе 1 с —; иными словами, убывающая последовательность (А„) есть базис фильтра Коши в Н.
Так как Н отделимо и полно, то этот базис фильтра сходится к некоторой точке у~Н, которая, как явствует из ее определения, есть единственная точка в Н такая, что йу '5 = д. Пусть теперь г — произвольная точка из Н; для каждого заключенного между О н 1, точка у+ Л(г — у) принадлежит Н. значит '288 гл. ч,а г ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА стремится, по фильтру б, к !п1 ~)х — ха, то у, стремится, по б, «ем н проекции у вектора х на Н. Следствие 2. Проекция точки х ~ Е на полное отделимое мепустое выпуклое подмножество Н пространства Е есть непрерывная функция от х. Действительно, пусть х, х' †д точки из Е и у, у' — ик проекчЬии на Н.
Имеем ах' — у'(! < ()х' — у() .( )(х — у)( -+ 'ах — х'(~ и )/х — у(! <)(х — у')/ <()х — х'(! + ах' — у')( <)(х — у)(+ 2(!х — х'!). Жы видим, таким образом, что когда х' стремится к х, то ((х — у'/( стремится к !!х — у(!, и справедливость утверждения вытекает нз следствия 1. П~едложение б. Пусть Ф вЂ” убывающее фильтрующееся множество полных отделимых выпуклых подмножеств пространства Е и с((х, Н)= 1п1 йх — г!) для каждого х~-Е и ка«ем .ждого Н~Ф. Для того чтобы пересечение М всех множеств Н~Ф было не пусто, необходимо и достаточно, чтобы для некоторого хе~ Е множество всех чисел б(хь, Н) (Н~Ф) было ограниченно. Тогда проекция каждого х~Е на Н стремится по фильтру сечений множества Ф к проекции х на М. Если М не пусто, то это — полное отделимое выпуклое множество (как пересечение замкнутых выпуклых множеств в полном Отделимом подпространстве пространства Е) и д(х, М)) д(х, Н) для каждого Н~Ф и каждого хЕЕ.
Обратно, предположим, что «1=вирд(хь, Н) <+со; как убывающая функция от Н, д(хь, Н) п«е стремитсв к д по фильтру сечений множества Ф. Пусть  — множество всех г~Е, для которых ~)хь — х~)(д; покажем, что множества Н(1 В образуют базис фильтра Коши. Действительно, из теоремы 1 следует, что эти множества выпуклы и не пусты; очевидно, Онн образуют базис фильтра, и для каждого а > О, по определению, существует НьЕФ такое, что с((хь, Нь)) б — е; предложение б показывает тогда, что диаметр множеств НПВ, где Нс Нь и НЕФ. произвольно мал вместе с а, чем и доказана справедливость нашего утверждения.
Так как Н, П В вЂ” замкнутое множество в полном отделимом подпространстве Н, то Нь П В отделимо и полно, так что пеРесечение множеств Н П В сводитса к некотоРой точке Уь такой, в пввдгильввятовы и гильвнятовы пяостялнствл 289 что (~ хв — уе й = д. Это показывает, что М не пусто, уа ~ М и й(хя, М)=б, так что уа есть проекция ха на М. Но с другой стороны, проекция ха на каждое множество Н~ Ф принадлежит Н П В, и предложение полностью доказано. Пгвдложяниа Ч. Пусть Ч' — возрастающее фильтрующееся множество непустых полных выпуклых подмнохсеств полного отделимого выпуклого множества А~Е и И вЂ” замкнутая выпуклая оболочка их обаединения. Тогда проекция елочки к~Е на Н стремится по филыпру сечений множества % к проекции х на И. Заметим прежде всего, что вследствие наших предположений И есть замыкание объединения множеств Н~%' и содержится в А, а потому отделимо н полно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
