Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 62
Текст из файла (страница 62)
а) Показать, что если (х„) — последовательность в Е, стремя» I щаяся к нулю в топологии а(Е', Еа), то для всякого» ) 0 существует I конечное множество Н~А такое, что ~ ~ х„(а)1(» для каждо4н го л. (Рассуждать от противного: показать, что если бы это свойство не имело места, то существовали бы число а) О, возрастающая последовательность номеров (лл) и возрастающая последовательность (Нл) l а конечных множеств из А такие, что Х ~ х„(«) ~( — лля всех «Ен и 3 l л)~лл, Х )х„(а)1( — для всех л(лл и «» 1хял(")~~~ «РНА — На л а )~ —, и что это приводило бы к противоречию (.метод скользящего 2' / горба")].
Вывести отсюда, что последовательность (х„) сходится к нулю в сильной топологии. б) Вывести из а), что каждое множество в Е',компактноевтопологии а(Е', Еа), сильно компактно. (Использовать упражнение 13б 3 2.1 в) Показать, что в Е' каждая последовательность Коши относительно топологии а(Е', Еа) сходится к некоторой точке, иначе говоря, что Е' в топологии а(Е', Еа) полуводно (гл. П1, 3 3, упражнение 10). (Рассуждая от противного, как в а), и используя а), показать, что для всякого» ) 0 существует конечное множество Н» А такое, что ! х„(а) ~ (» для каждого л.) «(й и *5) Сохраним обозначенив упражнения 3 и пусть Еса — сопряжен нос к Еа = Я'(А). а) Пусть (К„) — последовательность попарно не пересекающихся аа конечных множеств из А и (х„) — последовательность элементов ил Е"'.
Показать, что существует строго возрастающая бесконечная последовательность номеров (лл) такая, что все элементы у„ «а =(х„(е,) ) н, где В = ЦК„» и г„(3) = «,1 (кронекеровскиц л двонствпнность Гл. ПО за символ), принадлежат. Ех(В). [Пусть 6 — произвольное число )О и (У,„)тбм — разбиение М на бесконечные множества. Рассуждая от противного, показать, что для каждого хсм и Е"' существует номер ьч такой, что [(х", х"') [(З для всех х" и Е", удовлетворяющих услоВиям йх"[[ <,1 и х" (а) Ф О лишь для индексов аб О Кя. Наплевал,„ ьт жащим образом применить этот результат последовательно к х, > б) Вывести из а) и упражнения 4а, что если (х'„") — последова1ч тельность в Ел', сходящаяся к нулю в топологии а(Е"', Е"), и х„— а сужение х„на сильно замкнутое подпростраиство Е пространства Е", то 1пп йх„~[ =О в Е'.
я+ со в) Вывести нз б), что в Е" сильно замкнутое подпространство Е не обладает топологическим дополнением. [Ограничиться случаем г А = М; пусть (е„) — последовательность непрерывных линейных форм т на Е, для которых (х, е„) = х(п); показать, что последовательность (е„) сходится к нулю в топологии а(Е', Е), но е„не могутбыть продолжены до непрерывных линейных форм х„на Е" так, чтобы по.следовательность (х„) сходилась к нулю в топологии а(Е"', Е").] б) Показать, что банаховское пространство Е, обладающее сильным сопряженным Е' счетного типа и полуполиое (гл. Ш.
5 3, упражнение 1О) в топологии а(Е, Е'), рефлексивно. [См. упражнение 4в.[ 7) Пусть Š— банаховское пространство и 0' — сильно замкнутое подпространство пространства Е', являющееся в сильной топологии пространством счетного типа. Показать, что 0' иэометричио сильно замкнутому подпространству пространства Р', сопряженного к замкнутому подпространству Р пространства Е, порожденному иекотог рым счетным множеством точек иэ Е.
[Предположим, что (х„)— .сильно плотная последовательность точек иэ 0', н пусть х„ б Е для каждого и таково, что [[х„й ( 1 и (хя, х ) 111 — — 1[[х [[; покая л [ П/ я .зать, что сильно замкнутое подпространство Р пространства Е, порожденное точками х„, обладает требуемым свойством.1 е8) Пусть Š— банаховское пространство и  †ш [[х[~ с. 1 в Е. )(ля того чтобы каждая точка из В обладала счетной фундаментальной системой окрестностей в топологии, индуцируемой в В ослабленной топологией а(Е, Е'), необходимо и достаточно, чтобы Е' было в сильной топологии пространством счетного типа.
[Для доказательства необходимости условия принять во внимание, что если каждая точка х В обладает счетной фундаментальной системой окрестностей в ослаб- ДВОЯСТВВННОСТЬ БАНАХОВСКНХ ПРОСТРАНСТВ 273 ленной топологии, то зто же имеет место н в замыкании В множества В в Е" по топологии а(Е", Е'); тогда в Е' существует последоа вательность (а„) такая, что каждая окрестность нуля в Вал для топологии а(Е", Е") содержит пересечение В" с конечным числом а поляр ~а„~; рассмотреть сильно замкнутое подпространство К" в Е' г порожденное точками а„, и подпространство йтю в Е", ортогональное к йг'.] *9) Пусть Š— нерефлексивиое банаховское пространство.
Доказать, что в Е существует нерефлексивное замкнутое подпростраиство М бесконечной факторразмерности. [Пусть (х„) — ограниченная последовательность в Е, не обладающая в ослабленной топологии а(Е, Е') ни одной предельной точкой (й 3, упражнение 7а); образовать по индукции подпоследоватсльность (хяа) и топологически сво- 1 бодную последовательность (уь) такие, что [[лиа — уз[[( —, и рассмотреть замкнутое векторное подпространство в Е, порожденное точками ута.] *10) Пусть Š— нерефлексивное банаховское пространство счетного типа, М вЂ” нерефлексивное замкнутое векторное подпространство в Е, имеющее бесконечную факторразмерность (упражнение 9),(хи)— всюду плотная на сфере ][ х[[ = 1 последовательность ее точек и К— замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка последовательности ( "1.
ля '] — К сильно компактно в Е и К+ М = А есть замкнутое выпуклое множество [Общ, топ., гл. П1, $3, упражнение 15(ы).] Пусть  — шар [[х~[< 1 пространства Е и В = АПВ. а) Показать, что 0 нс есть внутренняя точка множества А, и вывести отсюда существование точки хаб Е такой, что 1ха(й А для всех Х)0. [См. гл, П1, 3 1, следствие предложения Ц б) Показать, что через 0 не проходит ни одной опорной гиперплоскости к В. [Принять во внимание, что такая гиперплоскость должна была бы служить опорной гиперплоскостью для К.] в) Пусть Уа — — МПВ и (У~)аж г — убываощая последовательность пепустых ограниченных замкнутых выпуклых множеств такая, что (7т~ — Уа и вересечеиие всех Уя пусто (й 3, упражнение 7а).
Пусть 1 2 0 1 С вЂ” замкнутая выпуклая оболочка объединения всех множеств — ха-[- и + ()я. Показать, что ВПС= н, но не существует никакой замкнутой гиперплоскости, которая бы отделяла В и С. [Использовать 6).] *11) Пусть Е и Р— баиаховские пространства и и — непрерывное линейное отображение Е в Р.
Показать, что если ги есть гомоморфизм Р' в Е' при сильных топологиях, то и есть гомоморфизм Е в Р. [Использовать предложение 4 й 4 и теорему 5 б 2 ] 274 гл. в. 4а двопотвпнность ь12) Пусть Е и Р— нормированные пространства и.и — непрерывное линейное отображение Е в Р. а) Показать, что если и — гомоморфизм Е в Р, то ги †гомоморфизм Р' в Е' при сильных топологиях. [См. й 4, предложения 4 и 9, и гл, 1, й 3, теорема Ц б) Показать, что если Е полно и ги — гомоморфиэм Р' в Е' при сильных топологиях, то и — гомоморфизм Е в Р, а ги — гомоморфизм Р" в Е' при слабых топологиях.
[рассматривать Р как подпространство его пополнения Р и испольэовать упражнение 1Ц в) Лать пример, где Е не полно, Р полно, ти — изоморфизм Р' в Е' при сильных и слабых топологиях, но и не есть гомоморфизм Е в Р. [См. гл. П, й б, упражнение 12.[ г) Лата пример, где Е не полно, Р полно, ги — изоморфизм Р' в Е' при сильных, но не при слабых топологиях,и и — изоморфизм Е в Р. [Взять Е всюду плотным в Р.[ д) Если Р полно н ти — гомоморфизм Р' в Е' прн слабых топологиях, то ги есть гомоморфизм Р' в Е' при сильных топологиях. [Принять во внимание, что и(Е) замкнуто в Р, и продолжить и на Е.[ е) Дать пример, где Е полно, Р ие полно и ти — изоморфизм Р в Е' при слабых, но не при сильных топологиях.
[См. гл. П, й 5, упражнение 12.[ 13) Пусть Š— бесконечномерное банаховское пространство, (а„)— счепюе свободное семейство точек в Е, Є— подпространство в Е размерности п, порожденное точками аг с индексами 1(п, 5„— сфера [[к[[=и в Е и А„— конечное множество в 5яДРв такое, что ка- 1 ждая точка из 5„ДР„отстоит от него на расстояние ~( —,. Показать, п" что пересечение множества А = ч,гАв с каждым ограниченным множеством замкнуто и, однако, 0 есть точка прикосновения для А в ослабленной топологии ч).
ч14) Пусть Š— банаховское пространство, 5 — шар [[лй ~~ 1 в Е и 5„— шар [[л'й < г в Е'. а) Пусть М, и Мз — векторные подпространства пространства Е', всюлу плотные в слабой топологии а(Е', Е). Зля того чтобы а(Е,М,) н а(Е, Мз) инлуцировали в 5 одну и ту же топологию, необходимо и достаточно, чтобы сильные замыкания М, и Мз в Е' совпадали. б) Пусть М' — векторное подпространство в Е', всюлу плотное в топологии а (Е', Е); обозначим через М'(~) векторное подпространство, г порожденное замыканием множества М'П5, в Е' в топологии а(Е', Е).
Лля того чтобы М'(т) = Е', необходимо и достаточно, чтобы слабое за- *) Этот (неопубликованный) результат сообщил нам М. ))ау. ПВОЙСТВВННОСТЪ БАНАХОВСКИХ ПРОСТРАНСТВ 275 мыкание множества М'ДБ, содержало шар Б„(Г) О). [См. гл. П!, В 1, следствие предложения Ц в) Пусть г — верхняя грань чисел 1 таких, что слабое замыкание т т множества М ПЯ, содержит шар Бб г называется характеристикой подпространства М'. Показать, что г есть нижняя грань чисел [(л, х') ! и'бм Пз, где х пробегает множество всех ненулевых точек из Е. [Использовать теорему Хана — Банаха.) 1 г) Показать, что — равно верхней грани чисел []х[], где х про- Г бегает замыкание шара 5 в Е в топологии а(Е, М').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
