Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Пусть Š— банаховское пространство счетного типа. Для того чтобы линейная форма и на сопряженном пространстве Е' была непрерывной в слабой топологии в(Е', Е), необходима и достаточно, чтобы для любой последовательности (х„) в Е', сходящейся в этой топологии, имело место равенство. Иш и(х„) =и(11п1 х„).

и.Ьсс в -ьсо Действительно, шар 11х'11 ( 1 является в топологии в(Е', Е) метризуемым компактным пространством (предложение 2) и справедливость утверждения вытекает из следствии 1 (см. Общ. топ., Рез. $6, и' 2). 2. Второе сопряэкеккое к нормированному пространству.. Рефлексивные бакаховские пространства Так как сильное сопряженное Е' к нормировакиому пространству Е есть баиаховское пространство, то его сильное сопряженное Е" — также баиаховское, с нормой (3). 11х" 11= внр ~(х', х") !.

~счпс, 1исвс. г Как известно (3 3, и' 3), Е можно отождествить (как не топо- логическое векторное пространство) с некоторым подпростраиством. пространства Е". Но здесь ие только топология, иидуцируемая в Е сильной топологией пространства Е"„ совпадает с исходной топологией пространства Е. ио и сужение иа Е нормы 11х"~). определенной формулой (3), совпадает с нормой, заданной на Е; иными словами" гл.

~ч,ьв 266 двопстввнность Пгедложаниа 4. Пусть Š— нормированное пространство и .Е' — его сопряженное. Для каждого х~-Е имеем !!х(!= знр ! (х. х') !. (4) х' Ело !ьи! < ь Действительно, так как шар !)х(',(! в Е замкнут, а его полярой в Е' служит шар !!х')! ( 1, то предложение 4 выражает, что шар !(х))(1 есть поляра в Е шара !)х'(1(1 (й 2, следствие 2 предложения 4). Следствие. Если Š— счетного типа, то в Е' суигествует У моследовательность (а„) такая, что !(х, а„)! !!хЦ = зир !! а !! для всех хЕЕ. Действительно, шар !(х'!! (1 в Е' является в топологии о(Е', Е) метрнзуемым компактным пространством (предложение 2), так что в этом шаре существует всюду плотная в этой топологии последовательность ненулевых точек (а„) (Общ. топ., Рез., й 3, и' 12; гл.

1Х, й 2, и' 7). Пусть х~Е. Ясно, что для каждого х'~Е' с !(х'~! ( 1 имеет место неравенство ((х,х')! ( знр((х, а„)!. А тогда !(х, а„) ! формула (4) показывает, что !!х/,' (знр!(х, а„) ~ (зир !! а !! Противоположное неравенство очевидно. Пгедложение 5. Пусть Š— нормированное пространство. Его шар !(х(!(! плотен в шаре ((хч(((1 второго сопряжен,ного Е' в слабой топологии о(Е", Е'). Действительно, пусть  †ш ~)х(! ( 1 пространства Е (рас-сматриваемого как подпространство в Е"). Шар !!х")( ( 1 простран.ства Ее является полярой В" для В' (относительно двойственности между Е" и Е'), так что справедливость утверждения следует из предложения 3 $ 1. Банаховское пространство Е замкнуто в Е" в сильной тополоиии, но, в силу предложения 5, всюду плотно в Е" в слабой топо.логии а(Е , Е'), ДВОЙСТВЕННОСТЬ БАНАХОВСКИХ ПРОСТРАНСТВ 267 Приведенное выше предложение 4 и теорема 2 $ 3 показывают, что: Пеедложение 6.

Для того чтобы нормированное пространство Е было рефлексивным, необходимо и достаточно, чпшбы его шар (!х)! (1 был компактен в ослабленной топологии с(Е, Е'). Отметим, что в этом случае Е необходимо полно, и, значит. есть банаховское пространство, и что его сопряженное Е' есть рефлексивное баиаховское пространство (й 3, предложение 5). Пусть Е = йР (М) — надпространство баиахоаского пространства Я (М) всех ограниченных последовательностей вещественных чисел (гл.

1, $1, и' 2, пример), образованное из асах последовательностей, стремящихся к нулю. Š— не рефлексианое банаховское пространство, сопряженное Е' к которому отожлествимо с пространством Е~(М) всех абсолютно суммируемых последовательностей (там же), а второе сопряженное Е" — с пространством 4Р(М) (см. упражнение 3). В гл. Н мы рассмотрим бесконечномериые рефлексивные банаховскне пространства особенно важного типа; некоторые другие рефлексивные банаховские пространства встретятся а теории интегрирования (Интегрир., гл.

Н). З. !!епрерывные линейные, отображения нормированного пространства в локально выпуклое пространство Пгедложенне 7. Пусть Š— нормированное пространство, Š— локально выпуклое пространство и и — линейное отображение Е в Е. Следующие свойства равносильны." а) и непрерывно при исходных топологиях; б) и непрерывно при ослабленных топологиях о (Е, Е') и о (Е, Р'); в) образ шара !!х!! (1 при отображении и ограничен в Е. Равносильность свойств а) и б) следует из предложений 6 и 7 $4, поскольку исходная топология в Е есть т(Е, Е"). С другой стороны, утверждение, что надлежащий гомотетичный Образ шара !!х(! (1 переводится отображением и в любую окрестность нуля %' пространства Е, очевидно, означает, что и непрерывно (см.

гл. 1!1, $ 2, упражнения 14 н 15). При выполнении условий предложения 7 сопряженное отображение 'и есть, как известно, отображение Е' в Е', непрерывное, 268 двоиственность гл. Нд из с одной стороны. при слабых топологиях в(Р', Р) и в(Е'. Е), а с другой — при сильных топологиях в Р' и Е' ($ 4, следствие предложения 6) Если также Р— нормированное пространство, то этот результат допускает следующее уточнение: Пеедложение 8. Пусть Е и Р— нормированные пространства и и — непрерывное линейное отображение Е в Р. Тогда (~'и'й' = 'й'и'й', (5) Действительно, по определению (гл.

Ш, $ 3, и' 1, формула (2)» и принимая во внимание формулы (1) н (4) и определение сопряженного отображения. имеем: 'йги~~ = ыр 11'и(у')Й = ыр 1(х, ги(у'))~= ИвЧ<з Ими< Ивй< знр ((и(х), у') ) = ыр ((и(хИ(= (~и)( Ии(<з ррИ<з Ии)<з Замечание. Положим В(х, у') =(и(х), у') = (х, еи(у'))- Проведенное сейчас доказательство показывает, что В есть непрерывная билинейная форма на Е Х Р', причем (Общ. тон., гл. Х, 5 2, я' 2» ИВИ = йиИ. 4, Еопрнгкенкое к надпространству и йеакторпространству норлеированкого простракства Пусть Š— нормированное пространство, М вЂ” его замкнутое векторное подпространство, Р— факторпространство Е(М и о †каноническое отображение Е на Р; как известно, фактортопологня топологии пространства Е по М может быть определена нормой ((у)~ = 1п1 ((хй (гл.

Н, $ 5, и' 5). 'у есть тогда взаимно однозначное т( )-в линейное отображение пространства Р' на надпространство М' пространства Е'. ортогональное к М (9 4. и' 1, замечание 2). Кроме того: Пеедложение 9. Отображение с~у есть изомет рая пространства Р', сопряженного и нормированному пространству Р = Е/М, на подпространство М' нормированного пространства Е'. ДВОЙСТВЕННОСТЬ ВАНАХОВСКНХ ПРОСТРАНСТВ 269 Действительно, для каждого у'("- Е' имеем Яу'!~ = ыр )(у, у') != ыр !(р(х), у') /= ВЕР.

Нй)<) над НТ(е)Н<) ыр 1(х. (О (у')) /. иЕд Нгсг)Н < ) Но открытый шар ))у))<1 пространства Е есть образ открытого м)ара )) х() (1 пространства Е при каноническом отображении поэтому имеем также ))у'() = ыр )(х, '(в(у'))~= )1)Нв(у))), вел НгН<) м предложение доказано. Пусть теперь ф — каноническое отображение подпространства М и Е. Его сопряженное "ф есть линейное отображение Е' на М', имеющее своим ядром подпространство М' пространства Е. ортогональное к М (9 4, п' 1, замечание 2). Пусть () — каноническое Отображение Е' на Е'~М' и ф, — ассоциированное с 'ф взаимно однозначное отображение, определяемое формулой г(~ = (), ° 6. Пгедложеиие 10.

(), есть изометрия банахонского пространства Е'(М' на банаховское пространство М'. Нужно доказать, что для каждой непрерывной линейной формы у' на М имеет место равенство ()у'1) = 1п1 ))х'!). Но так как ~Ф( ')-в' еф(х') — сужение линейной формы х' на М, то из формулы (1) сразу следчет, что ()'ф(х'))) (((х')). С другой стороны, в силу теоремы Хана — Банаха(гл. П, 9 5, следствие 1 теоремы 1, и $6, следствие 3 теоремы 1), на Е существует непрерывная линейная форма х', продолжающая у' и такая, что ()г'!) = )(у')); так как гф(г') =у'. то Вто и завершает доказательство нашего утверждения. Пгедложение 11.

Замкнутое надпространство М и факгнорпространство Е)М рефлексивного банаховского пространства Е являются рефлексивными банаховскими пространствами. Действительно, из предложений 9 и 1О вытекает, что сильное сопряженное к замкнутому векторному подпространству М каждого банаховского пространства Е может быть отождествлено с факторпростраиством Е'/М' сильного сопряженного Е' к Е, а второе 270 гл. ~ч, яв двопственность сопряженное к М вЂ” с подпространством М, второго сопряженного Е" к Е.

ортогональным к М'. Если поэтому Е рефлексивно, то М,=М ($2, следствие 2 предложения 4), н, следовательно, М рефлексивно.. как и его сопряженное Е'/М'. Так как тогда Е' рефлексивно и имеет своим сопряженным пространство Е, то проведенное рассуждение, примененное к М; показывае~, что н Е[М рефлексивно. Упражнения. 1) Пусть Š— банаховское пространство. а) Показать, что расстояние Ф(х, А) от точки хи Е до замкнутоге выпуклого множества А есть полувепрерывная снизу функция на Е в топологии а(Е, Ег). б) Показать, что если Е рефлексивно, то в каждом замкнутом выпуклом множестве А~Е существует точка ха, для которой ![хай' равно расстоянию от О до А.

[Использовать то обстоятельство, что !!х!! полуиепрерыана снизу в топологни а(Е, Е').[ Если каждая граничная точка шара !!х!! ( 1 является его экстремальной точкой (гл. П, й 4, в« 2), то точка ха единственна. в) Вывести из а) н б), что если Е рефлексивно и  — ограниченное замкнутое выпуклое множество в Е, то существуют точки х 5 А и у б В, для которых !!х — у!! = А(А, В). 2) Пусть Š— банаховское пространство н М вЂ” его замкнутое векторное подпространство. Показать, что если М н Е/М рефлексивны, то Е рефлексивно. [Показать. что для каждой непрерывной линейной формы и на сильном сопряженном Е' к Е существует элемент хб Е такой, что и (х«) — (х, х") =О для всех точек х'5 М'.! 3) Пусть А — бесконечное мно;кество. а) Показать, что сильное сопряженное к банаховскому пространству Е ~~(А) ($ 1, упражнение 1) отождествимо с банаховским пространством 5г(А), а сильное сопряженное к ь'(А) — с банаховским пространством бр(А)= с~(А).

Вывестиотсюда, что Е не рефлексивно. н Еа!Е бесконечномерно*). Если А=14, то Е и Е' — банаховские пространства счетного типа, но Е' уже не есть пространство счетного типа. [! л. 1, $ 2, упражнение 8.[ б) Пусть х' = (х'(«) )«бд — точка из Е' = Зт (А) такая, что !1х'!! = = '~,'!х'(«)[=1 и х'(а) чь О для бесконечного множества индексов « а 5А. Показать, что в слабой топологии а(Е', Е) не существует замкнутой опорной гнперплоскости к (компактному) шару 5', определяемому неравенством !!у'!! ~ 1, проходящей через точку х'. ') Пример не рефлексивного вещественного банаховского пространства Е, для которого Еи[Е одномерно и Е изоморфно Е", см, в работе К.

С. Завез, Апп. о1 Ма!8«т. 52 (1950), стр. 518. ДВОЙСТВЕННОСТЬ ВАНАХОВСКНХ ПРОСТРАНСТВ 271 в) Пусть Яа — шар 1)х" 11 (1 в Еа=» Е (А) и Яаа — выпуклое а множество Еа+(ЕаПЕ). Показать, что За есть ограниченное выпуклое тело при сильной топологии в Е",ионе обладает ни одной экстремальной точкой; вывести отсюда, что Е", наделенное нормой р, где р (х") — калибровочная функция множества 5, не изометричио « никакому сопряженному банаховскому пространству и что 3 не замкнуто в а(Е", Е') (хотя Яа компактно в а(Е", Е'), а Е«ПЕ сильно замкнуто). а 4) Сохраним обозначения упражнения 3.

Характеристики

Список файлов книги