Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Пусть и — линейное отображение Р в Р,, непрерывное при топологиях о(Р, О) и в(Ро 0,). Ядро сопряженного отображения ги совпадает с подпространством в О,, ортогональным к и(Р). 253 СИЛЬНАЯ И СЛАБАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ Достаточно применить предложение 2 к А = Р и В = и (Р), поскольку тогда А'= (0). Пеедложение 3. Пусть и — линейное отображение Р в Ро непрерывное при топологиях с(Р, О) и е(Р,, О,). Для того чтобы и(Р) было всюду плотным в Р,(в топологии е(РР О,)), необходимо и достаточно, чтобы 'и было взаимно однозначным линейным отображением О, в О.
Это вытекает из следствия предложения 2, поскольку сказать, что и(Р) всюду плотно в Р,, все равно, что сказать, что надпространство в О,, ортогональное к и[В), сводится к одному элементу О (й 1, предложение 4). Пгедложение 4. ПУсть и — линейное отобРажение Р в Ро непрерывное при топологиях а (Р, О) и а (Р,, О,). Для того чтобы и было гомоморфизмом Р на подпространство и(Р) пространства Р,, необходимо и достаточно, чтобы надпространство 'и(0,) было замкнуто в 0 (в топологии е(0, Р)). Положим И = еи (О,) ~ 0; согласно следствию предложения 2, -1 примененному к еи, тогда №=и(0). Пусть у — каноническое отображение Р на Р/№; тогда и=теор.
где тв — взаимно однозначное линейное отображение Р/И' в Р,. Пространства Р/И' и И находятся в двойственности и из (!) следует, что ( (у) )=(у 'и( )) каковы бы ни были у~ Р/№ и г,~ О,. Это соотношение показывает. что те есть изоморфизм пространства Р/И'. наделенного топологией е(Р/№, И), на и(Р), наделенное топологией, индуцируемой топологией е(РЬ О,). Но, как известно, для того, чтобы е(Р/№, И) было фактортопологией топологии о(Р, О) по И', необходимо и поста- точно.
чтобы И было замкнуто в топологии а(0, Р) (5 !. предложение 7). Тем самым предложение доказано. Слелствие, Если и — гомоморфизм Р на и(Р)с=Р,, то слабое сопряженное подпространства и(Р) пространства Р, изоморфно подпространству еи(Ог) пространства О. Действительно. тогда и(Р), наделенное топологией. индуцируемой топологией з (Р,, 0,), изоморфно пространству Р/№, наделенному 254 гл. Пда а двоиствепность топологией а(Р/№, 7т!)! по сопряженное к последнему отождествимо с й(, а слабая топология а(!ч', Р/№) есть топология, нндуцируемая в Ж топологией а(6, Р) Я 1, предложение 6).
3 а м е ч а и и я. 1) Не следует лумать, что если и есть гочочорфизм Р иа и(Р) при топологиях а(Р, 0) и а(Р,, О,), то аи булет гомомоРфизчом 0т на п(0т) пРи топологнах а(Оо Р,) н а(0, Р) или, другими словами, что п(Р) будет замкнуто в Ра в топологии а(Рь От) (уира,киение 10). 2) Пусть М--векторное подпрострапство пространства Р, замкнутое в топологии а (Р, 0).
Наделим факторпространство Рт — — Р(М фактортопологией топологии а(Р, О) по М и пусть О! — сопряженное к Ро Каноническое отображение .„- пространства Р иа Рг есть тогла гомоморфизм, а сопряженное к псму отображение — нзоморфизм От иа М' при топологиях а(О„Р,) и а(0, Р); точно говоря, какова бы пи была непрерывная линейная форма у' па Р,, гу(у') будет непрерывной линейной формой у'ат на Р. Пусть, с другой стороны, ф — каноническое вложение М в Р и М' — сопряженное к М, налелеииому топологией, индуцирусмой топологией а(Р, О).
Как мы знаем, ф есть тогда изоморфизм при топологиях а(М, М') и а(Р, О); его сопряженное гф есть гомоморфизм 0 иа М', с авром М', ири топологиях а(0, Р) и а(М', М) (э 1, прелложения б и 7); точно говоря, какова бы нн была непрерывная линейная форма х' на Р, гф (х') есть сужение х' иа подпространство М пространства Р. Пгедложвиие 5. Пусть и — линейное отображение Р в Р,, непрерывное при топологиях а(Р, 6) и а(Рп 6,). Для того чтобы а было сюрьективным, необходимо а достаточно, чтобы 'и было изоморфизмом 6, на 'и(6,) при топологиях а(О„Р,) и а(6, Р). Действительно.
сказать, что и(Р)=Р„все равно, что сказать, что и(Р) замкнуто и всюду плотно в Рд', поэтому справедливость утверждения вытекает из предложения 3 н предложения 4 (примененного к 'и). л. Слабая и сильная непрерывность. Пгедложенив 6. Пусть Е и Р— отделимые локально выпуклые пространства, и — линейное отображение Е в Р и и'— линейное отображение Р' в Е'.
Рассмотрим следующие свойства: а) и непрерывно при исходных топологиях в Е и Р; б) и непрерывно при ослабленных топологиях а(Е, Е') и а(Р, Р'); сильная н сллвья непвевывность в) и' непрерывно при слабых топологиях а(Р', Р) и с~(Е', Е); г) и' непрерывно при сильных топологиях в Р' и Е'. Тогда а)=~б) и в)=фг). 1' Если и непрерывно при исходных топологиях, то для каждого у'Е Р' линейная форма х-+(и(х), у') непрерывна в исходной топологии пространства Е, а значит, и в топологии а(Е, Е'), что и доказывает, что и непрерывно при топологиях а (Е, Е') и с(Р, Р'). 2' Если и' непрерывно при е(Р', Р) и е(Е'.
Е), то можно написать и' = 'и, где и†отображение, сопряженное к и', — непрерывно прн с (Е. Е') и а (Р. Р') (предложение 1). По определению сильной топологии, остается доказать, что для каждого ограниченно~о множества А из Е существует ограниченное множество В в Р такое, что ги(В"")г=А'. Но и(А) ограниченно в Р в топологии е(Р, Р') (гл. !И, й 2, следствие 2 предложения 5), а. значит, также и в исходной топологии пространства Р Я 2, теорема 3), и в силу предложения 2 достаточно припять В = и(А).
Следствие. Каждое линейное отображение и пространства Е в Р, непрерывное при исходных топологиях, непрерывно и при ослабленных топологиях, а его сопряженное слабо и сильно непрерывно. Лостаточг|о применить следствие предложения ! к и и предложение 6 к и'= 'и. В обозначениях предложения 6, импликацин б) =р а) и г) =ф в) вообще пе верны. Напрнчср, если Р и 6 — векторные пространства в двойственности такие, что ь(Р, 6) чь х (Р, 6), го тождественное отображение Р, наделенного топологией ь(Р, 6), на Р, наделенное топологией х(Р, 6), прн ослабленных топологиях непрерывно, а при исходных нет. !!ример, где г) пе влечет в), доставляют сильно непрерывные линейные формы на Р', не являющиеся слабо непрерывныин, в случае, когда Г нс совпадает алгебранчески со своим вторым сопряженным (а за Е принято тело скаляров).
Однако справедливы следующие два предложения: ПРедложеняе 7. Пусть Е и Р— отделимые локально выпуклые пространства. Каждое линейное отображение и пространства Е в Р, непрерывное при топологиях с(Е, Е') и с(Р, Р'), непрерывно и при топологиях т(Е, Е') и т(Р, Р'). 256 ГЛ. 1Ч, $4 двойственность Действительно, пусть 14'=К" — окрестность нуля в Р для топологии т(Р. Р'), где К' — слабо компактное уравновешенное выпуклое множество из Р'. Так как 'и непрерывно при слабых топологиях в Р' и Е' (следствие предложения 1). то Н' = ги (К') есть слабо компактное уравновешенное выпуклое множество в Е'.
Следовательно,.Н" есть окрестность нуля в Е для топологии т(Е, Е'). — 1 чем предложение и доказано, поскольку Н" = и (К") (предложение 2). Следствие. Если исходной топологией в Е служит т(Е, Е'). то каждое линейное отображение и пространства Е в Р, непрерывное при топологиях о(Е, Е') и в(Р, Р'), непрерывно и при исходных топологиях. Достаточно заметить, что исходная топология в Р мажорируется топологией т(Р, Р') Я 2, следствие теоремы 2).
Отметин, что это следствие применимо, в частности, когда Е бочечно (9 2, предложение 6), а также когда Е метризуемо Я 2, предложение 6). Пгедложение 8. Пусть Е и Р— отделимые локально выпуклые пространства. Если Р полурефлексивно, то каждое линейное отображение и' пространства Р' в Е', непрерывное при сильных топологиях, непрерывно и при слабых топологиях в(Р', Р) и а(Е', Е). Действительно, предложение 6 показывает, что и' непрерывно при топологиях в(Р', Р") и в(Е', Е"), и справедливость утверждения следует из того, что в(Р', Рь)=в(Р', Р) в силу предположения, а в(Е', Е") мажорирует топологию в(Е', Е), Пгедложение 9. Пусть Е и Р— отделимые локально выпуклые пространства.
Каждое линейное отображение и пространства Е в Р, являюилееся гомоморфизмом Е на и(Е) при исходных топологиях в Е и Р. есть также гомо.иорфизм Е на и(Е) при топологиях в(Е, Е') и в(Р, Р'), -1 Пусть М = и (0), Н вЂ” факторпространство Е1И, наделенное фактортопологией исходной топологии пространства Е по Н, и о— каноническое отображение Е на Н. Тогда и = о ь о, где о в инъек- 257 СИЛЬНАЯ И СЛАБАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ тинное линейное отображение Н в Р, непрерывное при исходных топологиях этих пространств. Так как ф есть гомоморфнзм Е на Н при топологиях а(Е, Е') н а (Н, Н') (й 2, предложение 9), то остается доказать, что и есть изоморфнзм Н на и (Е) при топологиях а(Н, Н') н а(Р, Р'). Но и, по предположению, есть нзоморфизм Н на и(Е) при исходных топологиях пространств Н н Р, так что справедливость утверждения вытекает из предложения 8 9 2.
У п р а ж и е н и я. *1) Пусть Е и Р— векторные пространства, Еа и Р" — их алгебраические сопряженные. Показать, что если и— линейное отображение Р* в Е, непрерывное при топологиях а(Р*, Р) и а(Е, Е*), то и(Р') коиечиомерио. [С помощью предложения 4 показать, что и есть гомоморфизм Р" на и(Р*), и вывести отсюда, что и(Ра) есть подпространство минимального типа пространства Е (Е 1, упражнение 13); в заключение рассмотреть ограниченные множества в агом подпростраистве.[ 2) Пусть (Р, О) и (Рп 0т) — две пары векторных пространств в двойственности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
