Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 54
Текст из файла (страница 54)
236 гл. Пб ь з двопствпнность Мы будем иногда употреблять прилагательное ,сильное' и наречие,сильно" длв обозначения свойств, относящихся к сильной топоаогик в Е'. Пространство Е', наделенное сильной топологией, будет иногда называться,сильным сопрлженным" к Е. Замечании. 1) Сильная топологив в Е' определяется полуиормами 1х ~п - аар 1(х. л.)~, ха в где В пробегает фундаментальную систему ограниченных множеств пространства Е. В частности, для того чтобы эта топология была метриаугмой, необходимо и достаточно, чтобы в Е существовала счеткая фуидаментальиаа система ограниченных множеств. 2) Из определения 1 непосредственно следует, что при наделении сопряженного пространства Е' сильной топологией каноническая билинейная форма (х, х')-~ (х, х') оказывается (1Б, ГВ')-гипокепрерыакой, где 6 — множество всел ограниченных подмножеств пространства Е, а 13' — множество всех равиостепенно непрерывных множеств из Е'.
Но эта форма вообще не непрерывна на Е )(Е' (упражнеиие 2). 3) Ясно, что сильная топология в Р мажорирует слабую топологию а(Е', Е); и оиа вообще сильнее (упражнение 1 и ф 5, и'1). Ниже мы увидим, что ока ке обязательно согласуется с двойственностью между Е' и Е (и'3). Заметим, однако, что она не изменяется при замене в Е исходной топологии любой топологией, согласующейся с двойственностью между Е и Е' (б 2, теорема 3). 2. Свойства сильного сопрязкенмого Применяя к пространству Е', сопрлженному к отделимому локально выпуклому пространству Е, результаты 3 3 гл.
111, относящиеся к Е-топологивм, мы видим, что каждое равкостепекко кепрерыакое множество из Е' сильно огракичекко (гл. И!, 3 3, предложение 7) и что каждое сильно ограниченное множество из Е' слабо ограничекко. Кроме того, имеют место следующие два предложения: Пгвдложвиив 1. Если Š— квазиполкое отделимое локально выпуклое пространство, то каясдое слабо ограниченное подмножество сопряженного пространства Е' сильно ограниченно. Это — частный случай следствия 1 теоремы 1 й 3 гл. 1Н. В этом случае можно говорить просто об ограниченных множествах в Е', без уточнения Я-топологии.
сильнАя тОполОГия В сОпРяжвнном пРОстРАнствв 237 Пгздложание 2. Если Š— отделимое бочечкое пространство, то каэсдое слабо ограниченное множество е сопряженном пространстве Е' раекостепенно непрерывно, а потому и сильно ограниченно. Принимая во внимание предшествуюшие замечания, это — уже доказанное свойство (3 2, теорема 1), Таким образом, можно сказать, что для отделимого бочечиого пространства Е понятия равиостепеино непрерывного множества, относительно слабо компактного множества, сильно ограниченного множества и слабо ограниченного множества в сопряженном пространстве Е' совпадают; в этом случае мы будем говорить просто об ограниченных множествах в Е' без дальяейшего уточнения.
Схолия. Если Š— бочечное пространство, а Е' †е сильное сопряженное, то поляры окрестностей куля любого из этих двух пространств образуют фундаментальную систему огракиченкых множеств другого, а поляры ограниченных множеств — фундаментальную систему окрестностей куля другого. Пгздложзииз 3. Сильное сопряженное к отделимому бочечному пространству кеазиполко. Это — частный случай следствия 2 теоремы 4 й 3 гл. Ш, отиосяшейся к полным множествам в пространстве Еи(Е, Р). В. Второе сопряженное.
Рефлексивные пространства Опгздвлзния 2. Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство и Е' — его сопряженное. Вторым сопряженным к Е называют сопряженное Е" к отделимому локально еыпуклому пространству, получающемуся при наделении ~Е' сильной топологией. Пусть х для каждого х~ Š— линейная форма х'-ь(х, х') на Е'; оиа непрерывна в слабой топологии е(Е', Е), а потому тем более в сильной топологии в Е', иначе говоря, х~ЕР; кроме того, х=О влечет х = О, поскольку Е и Е' находятся в двойственности ($ 1, и' 1). Поэтому отображение х -+х есть изоморфизм структуры векторного (ие топологического) пространства в Е иа такую же струк туру некоторого подпространства пространства Е"; рассматривая Е (з качестве ие топологического векторного пространства), мы всегда 238 гл.ш аз двоиствннность будем считать его погруженным в Е" посредством этого отображения (называемого каноническим).
Заметим, что отображение х -«х не обязательно непрерывно при наделении Е его исходной топологией, а Е" — сильной (см. упражнения 5 и 6). Однако если Е бочечно, то сильная топология пространства Е" индуцирует в Е, рассматриваемом как погруженное в Е", его исходную топологию; это вытекает из Схолии п'2. Опгаделенив 3. Отделимое локально выпуклое пространство Е называется полурефлексивным, если каждая линейная форма на сопряженном пространстве Е', непрерывная в сильной топологии, непрерывна в слабой топологии (иначе говоря, представима в виве х'-«(х, х'), где х~Е).
То же самое можно выразить, сказав, что х — «х отображает Е на Е", или еще — что Е и Е" алгебраически совпадают. Это означает также, что-сильная топология в Е' согласуется с двойственностью между Е и Е'. Пгвдложение 4. Пространство Е', сопряженное к полурефлексивному пространству Е, бочечно в силькой топологии. Действительно, бочка в сильном сопряженном Е' есть тогда поляра ограниченного множества из Е Я 2.
следствие 3 предложения 4) и тем самым окрестность нуля в сильной топологии. Теогемл 1. Для того чтобы отделимое локально выпуклое пространство Е было полурефлексивным, необходимо и достаточно, чтобы в ослабленной топологии в(Е, Е) каждое замкнутое ограниченное множество из Е было компактно. В силу предложения 4, необходимость этого условия сразу следует из теоремы 1 э 2. Обратно, предположим, что в топологии о(Е, Е') каждое замкнутое ограниченное множество из Е компактно. Тогда сильная топология в Е' есть Я-топология, определяемая некоторым множеством Я уравновешенных выпуклых множеств из Е, компактных в топологии в(Е, Е') (а именно †вс замкнутых уравновешенных ограниченных выпуклых множеств из Е). Из теоремы Макки (Э 2, теорема 2) следует тогда, что Е есть сопряженное к Е', наделенному сильной топологией.
сильнАя тОпОлОГия е сопгяженном пРОстРАнстВе 239 3 ам е чан и я. 1) Для полурефлексивности пространства Е необходимо и достаточно, чтобы каждое выпуклое сильно замкнутое множество в Е' было слабо замкнуто. Действительно, это необходимо согласно предложению 4 5 2; обратно, если каждая сильно замкнутая гиперплоскость в Е' слабо замкнута, то каждая сильно непрерывная линейная форма на Е' слабо непрерывна (гл, 1, й 2, теорема 1).
2) Из теоремы 1 сразу следует, что полурефлексивнос пространство Е квазиполно з ослабленной топологии а(Е, Е') и тем более з исходной топологии (й 2, и' 4). Поэтому каждая последовательность Коши (х„) в Е относительно топологии ч(Е, Е') обладает в Е пределом з этой топологии (гл. И1, $ 2, и' 5). Если Е полурефлексивно, то, рассматривая его как сопряженное к Е', можно вводить в нем (О'-топологии, где С' — множества подмножеств из' Е', ограниченных в сильной топологии.
В частности: Опгеделение 4. Отделимое локально выпуклое пространство Е называется рефлексивным, если оно полурефлексивно и его исходная топология совпадает с топологией равномерной сходимости на сильно ограниченкых множествах из Е' (иначе говоря— с сильной топологией в Е, рассматриваемом как сопряженное к его силыгому сопряженному Е'). Теоввмл 2. Для того чтобы отделимое локально выпуклое пространство Е было рефлексивным, необходимо и достаточно.
чтобы оно было бочечным и чтобы в ослабленной топологии с (Е, Е') каждое замкнутое ограниченное множество из Е было компактно. Второе условие выражает, что Е полурефлексивно (теорема 1). Будем в дальнейшем предполагать, что зто условие выполнено, так что можно говорить об ограниченных множествах в Е', ие уточняя — в какой (О-топологии (предложение 4 и 9 2, теорема 1). Бочки в Е (в исходной топологии) — зто поляры уравновешенных ограниченных множеств из Е' (9 2, следствие 3 предложения 4).
Поэтому для рефлексивпости Е, в силу определения сильной топологии. необходимо и достаточно, чтобы бочки в Е были окрестностями нуля в исходной топологии, т. е. чтобы Е было бочечным. Пгядложвние 5. Сильное сопряженное к рефлексивкому пространству рефлексивно. Это сразу следует из определения 4. 240 гл. !и, з з ДВОИСТВИННОСТЬ '4. Монтвлевские пространства Опввдвлвинв 5. Монтелееским пространством называется отделимое бочечное пространство, е котором каждое ограниченное множество относительно компактно.
П ри и е р ы. 1) Каждое конечномерное пространство — монтелевакое. Нормированное монтелевское простраяство локально компактно и, следовательно, конечномерно (гл. 1, 5 2, теорема 3). 2) Пусть !й — векторное пространство всех бесконечно дифферениируемых числовых функций на (с. Для казкдой пары целых чисел и) О, т)~0 и каждой функцки Уб й положим р»ю(у) = звр ~У (г) -»<са» Ясно, что р»ю — полунормы на Ль определяющие в этом пространстве метризуемую локально выпуклую топологию.
Покажем, что $, паде- ленное этой топологией, есть монтелеаское пространство Фреше. Действктельно, ясно, что для любой последовательности Коши (Уа) в !в последовательность производных т-го порядка (у)ю)) (тЕг!) схолйи дится равномерно на каждом коипактном множестве из (с к некоторой непрерывной функции и,„, причем в силу теоремы о равномерной сходимости первообразных (Фуикц. вещ. перви., гл. П, й 1, теорема 1) йю »» д(з ). Это показывает, что и полно. Пусть теперь  — ограниченное множество из $. Производные (т + 1)-го порядка равномерно ограниченны на каждом компактном интервале К» = ( — и, и! из ра в силу теоремы о конечных приращениях, отсюда следует, что сужения на К» производных т-го порядка функций из В образуют для каждого т > 0 равностепенно непрерывное множество; теорема Асколи показывает тогда, что это множество относительно компактно в топологии равномерной сходимости на К» (Общ. топ., рез., б 13, п'18; гл.
Х, б 4, теорема 1). Тем самым для каждого целого г и каждого з)0 существует конечное покрытие (А!) множества В такое, что для любых двух функций у, е, принадлежащих одному и тому же множеству Аи р»ю(У вЂ” й)~(а (0<т<г); иными словами, В предкомпактно, а следовательно, поскольиу ф полно, и относительно компактно в й» 3) 'Пространство всех голоморфных функций на открытом множестве из С», наделенное топологией компактной сходимости, есть монтелевское пространство Фреше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
