Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Так как Т, в силу теоремы 3, поглощает множества, ограниченные в исходной топологии У, то все сводится к доказательству того, что каждое выпуклое уравновешенное множество М в Е, поглощающее все ограниченныс множества, есть окрестность нуля длн а. Будем рассуждать от противного. Пусть (Рп) — убывающая фундаментальная система уравновешенных окрестностей нуля для У, и предположим, что ни одно из множеств 1 1 — У„пе содержится в М. Пусть х„— точка из — У„, не принадлежащая М; тогда последовательность (пх„) сходится к нулю в топологии а и, однако, М не поглощает множества точек этой последовательности, вопреки предположению. Тем самым предложение доказано.
3 а м е ч а н и е. Этот результат доказывает также, что линейное отображение и пространства Е в локально выпуклое пространство Р, переводящее каждое ограниченное множество из Е в ограниченное множество в р, непреоывно. действительно, какова бы ни была уразнове- -1 шеиная выпуклая окрестность нуля 1' в г, и (Ъ') поглощает все ограниченные множества из Е и, следовательно, есть окрестность нуля в Е (см. гл. П!, а 2, упражнения 14 и 15). б.
Харакигеризациа слабо непрерывных линейных ййорм на сопряженнолв пространстве Если Š— отделимое локально выпуклое пространство, то каждая линейная форма на сопряженном пространстве Е', непрерывная в слабой топологии, однозначно представляется в виде х'-+ (х, х'), где х ~ Е ($1, предложение 1). В некоторых случаях эти формы можно охарактеризовать свойством, менее ограничительным, чем слабая непрерывностги Теогвмл 4 (Баках). Пусть Š— и о л н о е отделимое локально выпуклое пространство.
Длп того чтобы линейнап форма на б сопгихсенное пвостглнство 221 сопрпженном пространстве Е' была непрерывной в слабой топологии а(Е', Е). достаточно, чтобы было непрерывно (в топологии о(Е', Е)) ее сужение на каждое равностепенно непрерывное множество из Е'. Пусть Р~Е" — множество всех линейных форм на Е', сужение которых на каждое равностепенно непрерывное множество из Е' непрерывно в топологии о(Е', Е).
Ясно, что Р†векторн надпространство в Е", содержащее Е и находящееся в двойственности с Е'. Пусть ю' — множество всех равностепенно непрерывных слабо замкнутых уравновешенных выпуклых подмножеств пространства Е'. Каждое множество В' ~ Я' компактно в топологии в(Е', Е) (предложение 2) и так как для каждой линейной формы и ~ Р ее сужение на В' по предположению непрерывно, то и(В') ограниченно в теле скаляров; это показывает, что Я'-топология Я' согласуется со структурой векторного пространства в Р (гл.
П1, Э 3, предложение 1). Ясно, кроме того, что топология а' — локально выпуклая и отделимая и что поляры в Р множеств из ю' образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для й' (поскольку множество ю' — фильтрующееся по отношению г= и инвариантно относительно гомотетнй). Но в силу предложения 1, след на Е поляры множества В' ~ Я' в Р есть окрестность нуля для исходной топологии в Е; обратно, если У вЂ уравновешенн замкнутая выпуклая окрестность пуля для исходной топологии в Е, то ее поляра В' в Г принадлежит Я', и так как поляра множества В' в Е совпадает с )г (следствие 2 предложения 4), то У есть след на Е поляры множества В' в Р.
Таким образом, мы видим, что топология, индуцируемая в Е топологией Я', совпадает с исходной топологией в Е. А так как Е предположено полным в этой последней топологии, то оно замкнуто в Р в топологии Я'. Покажем теперь, что Е' — сопряженное к Р. наделенному топологией й. В силу теоремы 2, достаточно доказать, что множества В'~Я' компактны в топологии г(Е', Р). А так как они компактны в в(Е', Е), то достаточно показать, что в(Е', Е) и о(Е', Р) индуцируют в В' одну и ту же топологию. Но топология, индуцируемая в В' топологией в(Е', Р), есть слабейшая топология, при которой непрерывны сужения линейных форм и ~ Р на В', поэтому она в силу предположения мажорируется топологией, индуцируемой в В' топологией в(Е', Е); но она также мажорирует эту последнюю, поскольку Е~Р; тем самым наше утверждение доказано.
222 гл. гч, вт двопстввнность Если бы теперь Е чь Р, то в Р существовала бы замкнутая (в топологии е) гнперплоскость, содержащая Е (гл. П. й 3, следствие 3 предложения 4), и, следовательно, нашелся бы злемент х' ~ Е', ортогональный к Е и чь О, что абсурдно. Замечание. Если в Е содержится тотальное счетное множество, то каждое равносгепеино непрерывное множество из Е' метривуемо в слабой топологии (предложенне 3); повтому для установления слабой непрерывности линейной формы и нв Е' достаточно установить, что для каждой последовательности (х„), слабо сходящейся к какому-то пределу х', йт и (х„) = и (х'). 6. Характерпзацпп слабо замкнутых выпуклых множеств е сопряженном к проснгранстеу Фрепге Предложение 7.
Пусть Š— м е т р иву е м о е локально выпуклое пространство и Ь вЂ” множество его подмножеств, образованных точками всевозможных последовательностей, стремящихся к нулю. Ь-топология в Е' есть сильнейшая из топологий Я', при которых непрерывны все переносы и которые индуцируюгп на каждом равностепвнно непрерывном множестве из Е' ту же топологию, что и слабая топология о(Е', Е). Ясно, что рассматриваемая Я-топология мажорирует топологию в(Е', Е), а так как каждое множество из ю относительно компактно, то топологии, индуцируемые ю-топологией и топологией а(Е', Е) на равностепеино непрерывных множествах из Е'. совпадают (гл. П1, й 3, предложение 5). Обратно, пусть е †тополог в Е', обладающая свойствами, указанными в формулировке предложения, и йг'— йножество, открытое в е и содержащее О.
Мы установим существование множества В~Я, для которого %"=г5', чем предложение и будет полностью доказано. Пусть (У„) †убывающ фундаментальная последовательность замкнутых уравновешенных выпуклых окрестностей нуля пространства Е. Наше утверждение будет вытекать из следующей леммы: ЛеммА 1. Для каждого целого п )~ О существует конечное множество В„<=У„такое, что все множества У„ПА„, где А„= в-1 = Ц Вр, содержатся е )Р". р=ь 223 сопгяжиннон поосп лнство Действительно. предположим, что эта лемма доказана. Тогда объединение В множеств А„ принадлежит Я, и так как Б с:А„ для каждого и. то 5 й У„~Ф" для каждого и; а поскольку объединение множеств Уи есть всй Е', то и У'<=Ф".
Показательство леммы проведем индукцией по и. Достаточно показать, что если А„— конечное множество из Е, удовлетворяющее условию У„ПА„<-1ч", то существует конечное множество В„<=У„ такое, что У„+~ й(А„() В„)'г=(ч". Рассуждая от противного, предположим, что никакого конечного множества В„. обладающего этим / свойством, не существует, и пусть Кч=У„.ь1П СЖ". Тогда пересечение (А (1 В)' й К„ = А„ П В'П К„ не пусто нн для какого конечного множества В из У„.
Поэтому множества А„ й В' й К„, где В пробегает всевозможные конечные подмножества из У„, образуют базис фильтра в К~. Но так как топология, которую а индуцирует в У,ьы по предположению, совпадает с топологией, которую индуцирует в(Е', Е), то К„слабо компактно (предложение 2) и. значит, множества А„й В'П К„, бУдУчи слабо замкнУтыми, имеют общУю точкУ хь.
Так как У„есть объединение множества всех своих конечных под- Р / множеств, то хь должно принадлежать множеству А„ПУзйК„, которое, однако, пусто по предположению. Полученное противоречие и завершает доказательство предложения 7. Слвдствив 1. Указанная Я-топология совпадает с топологией компактной сходимости. Йействительно, предложение 5 $ 3 гл. 1П показывает, что топология компактной сходимости индуцирует в каждом равностепенно непрерывном множестве из Е' ту же топологию, что и о(Е', Е); тем самым, в силу предложения 7, топология компактной сходимости мажорируется укааанной Я-топологией.
С другой стороны, она, очевидно. мажорирует эту Я-топологию, поскольку множества из Я относительно компактны. Слвдствиа 2. Для того чтобы множество А' в пространстве Е', сопряженном к метризуемому локально выпуклому пространству Е, было замкнуто в топологии Я; компактной сходимости, необходимо и достаточно. чтобы его пересечение А' й М' с каждым равностепенно непрерывным множеством М' из Е' 224 гл.
си я г двойственность было замкнуто е топологии, индуцируемой з М' топологией а(Е', Е). Условие необходимо. поскольку а, и з(Е', Е) индуцируют в М' одну и ту же топологию (гл. Ш, 5 3, предложение 5). Чтобы убедиться в его достаточности, рассмотрим множество Й всех подмножеств (7' пространства Е', пересечение которых (I' П М' с каждым равностепенно непрерывным множеством М' из Е' открыто в топологии, индуцируемой в М' топологией а(Е', Е). Ясно, что 11 есть множество всех открытых множеств для сильнейшей из топологий в Е', обладающих свойствами, указанными в предложении 7.
Тем самым, в силу следствия 1, эта топология совпадает с У,, и утверждение доказано. Твогемл 5 (Банах). Для того чтобы выпуклое множество А' е пространстве Е', сопряженном к пространству Фреше Е, было замкнута е слабой топологии п(Е', Е), достаточно, чтобы А' () 0' было замкнуто з п(Е', Е) для любой окрестности нуля (7 пространства Е. Действительно, следствие 2 предложения 7 показывает, что А' замкнуто в топологии компактной сходимости Кз.
Так как Е полно, то замкнутая выпуклая оболочка каждого его компактного подмножества компактна в исходной топологии и тем более в в мажорируемой ею топологии п(Е, Е'). Теорема 2 показывает тогда, что топология Я; в Е' согласуется с двойственностью между Е' и Е. Так как множество А' выпукло и замкнуто в йз, то в силу предложения 4 оно замкнуто тогда и в топологии п(Е', Е). Применив зтот результат к гиперплоскпстям нз Р и приняв зо внимание связь между замкнутыми гиперплоскостями и непрерывными линейными формами (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
