Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 46
Текст из файла (страница 46)
е. (гл. 1, $ 1, п' 9) чтобы было непрерывно каждое из отображений рг, (пространства Г в Г„ наделенное топологией з(Г„ О,)). Тем самым предложение полностью доказано. Заметим, что подпространством в О, ортогонаньным к Р, (рассматриваемому как надпространство пространства Г), служит прямая сумма всех 0„ с индексами х Ф ь Следствие. Пусть Р и Π— векторные пространства в двойственности. Если пространство Г (наделенное топологией а(Р, 0)) есть топологическая прямая сумма своих подпространств М и )ч', то пространство О (наделенное топологией с(0, Г)) есть топологическая прямая сумма подпростраксте М' и №, ортогональных соответственно к М и гч, Действительно, пусть М„=О/М и гч,=01№. По предположению, пространство Г (наделенное топологией а(Г, О)) может быть 204 гл.
Пбвз ДВОЙСТВВННОСТЬ отождествлено с произведением М )(И, где М и И наделены соответственно топологиями а(М, М,) н п(И, И,) (предложение 6). Но (в силу предложения 1) 0 сопряжено к Р (наделенному топологией о(Р. О)). Поэтому 0 (наделенное топологией а(0. Р)) может быть, в силу предложения 8, отождествлено с произведением М, )с, И,, где М, и И, наделены соответственно топологиями в(МО М) и о(И,, И). Наконец, согласно замечанию, предшествующеиу доказываемому следствию, Их =М' и М,=И'.
Замечание. Понятия векторных пространств в двойственности и слабой топологии, равно как н значительиан часть результатов етого параграфа (по существу все те, где не участвует понятие выпуклого множества) допускают обобщение на значительно более широкий класс модулей и векторных пространств. Упражнения. 1) Пусть А — бесконечное множество. а) Пусть Š— банзховское пространство Щ'(А) (над и), образованное семействами х=(х„),~А вещественных чисел, такими, что «-»л« стремится к нулю по фильтру дополнений к конечным подмножествам множества А, и снабженное нормой з ха = анр ~ х«й Показать, что «ЕА каждая непрерывная линейная форма на Е однозначно представляется в виде л-» ~~~~ и«х„где (и«) — семейство вещественных чисел, для айА которого ~~~ ~ и„)(+.ю; тем самым сопряженное пространство Е' «ЕА можно отождествить (как не топологнческое векторное пространство) г пространством ьс(А) (гл.
1, б 1, и'2, пример). б) Пусть Р— банаховское пространство Ет(А). Показать, что каждая непрерывная линейная форма на Р однозначно представляетсн в виде х-« ~~~~~ и«х„ где (и,) — ограниченное семейство вещественных «ЕА чисел; тем самым сопряженное пространстно можно отождествить (как не топологнческое векторное пространство) с пространством Я(А) = Е'«(А). в) Пусть  — произвольное множество, (с«д)Ы Юйл„н — произ вольное семейство вещественных чисел > О и 0 — векторное пространство всех таких семейств х = (х„)« А вещественных чисел, что Ра (л) = ~л~з с«з ~ «« ~ (+ со для каждого й г В; Р) — полунормы на О.
«йА Для того чтобы 0„ наделенное топологией, определяемой зтим семейством полунорм, было отделимым, необходимо н достаточно, чтобы для кажлого « б А существовало по крайней мере одно р такое, что с„й О. Показать, что 0 тогда полно н каждая непрерывная линейная форма на 0 однозначно представнма в виде х -« и«, и«х„ где (и,)— «ЕА СЛАБЫИ ТОПОЛОГИИ 205 семейство вещественных чисел, обладающее тем свойством, что по крайней мере для одного индекса йлВ существует а.лО такое, что [и [(ас„у для всех»; и обратно.
»2) Пусть Š— вещественное векторное пространство конечной размерности и и А — выпуклое тело в Е, содержащее 0 в качестве внутренней точки. т а) Пусть а — граничная точка тела А. Показать, что множество Р„ всех точек л' л А; для которых (а, х') 1, есть замкнутое выпуклое подмножество в А', состоящее из ие окруженных точек множества А' (гл.
П, $ 2, упражнение 3). Р» совпадает с гранью в А' (гл. П, 5 4, упражнение 4) каждой из своих окруженных точек; говорят, что Р— сопряженная к а грань тела А'. Пусть Є— грань а в А; показать, что сопряженнан грань в А' каждой окруженной точки из Р» совпадает с Р и что Р есть сопряженная грань каждой окруженной точки из Р„; Р и Р„называются сопряженными зраяями. б) Пусть Р и Р' — сопряженные грани. Показать, что если Р— размерности р и Р' — размерности я, то р+ д ( и — 1. Порядком каждой граничной точки л тела А называется размерность ее грани в А, а классом — размерность сопряженной ей грани в А'.
Порядок (соотв. класс) грани тела А есть порядок (соотв. класс) любой из ее окруженных точек. Экстремальная точка тела А есть точка порядка О. в) Точка класса и — 1 (н, следовательно, порядка 0) называется остриг»с тела А. Показать, что острия тела А образуют счетное множество.
[Рассмотреть множество граней, сопряженных к остриям тела А, и применить упражнение 12 из Общ. топ., гл. т11, ф 2 (").] г) Пусть Р— грань тела А, р — ее размерность, М вЂ” линейное многообразие размерности и — р, имеющее с Р одну только общую точку а, являющуюся окруженной точкой в Р, и содержащее внутреннюю точку тела А. Показать, что если И вЂ” опорная гиперплоскость множества МПА в М, проходящая через а, то гиперплоскость Н, порождаемая (в Е) множествами Р и )г, есть опорная гиперплоскость тела А. д) Грань Р порядка р и класса я называется регулярной, если р + я = л — 1. Показать, что если линейное многообразие М размерности и — р имеет с такой гранью Р одну только общую окруженную в Р точку, то эта точка есть острие выпуклого множества МП А, н обратно.
[Использовать г).] Вывести отсюда, что в А множество регулярных граней порядка Р счетно. [Рассмотреть проекцию А на каждое из координатных многообразий У размерности р (прн отождествлении Е с )1"); рассматривая точки из И с рациональнымн координатами, показать, что если бы множество регулярных граней порядка р, проекция которых на )г имеет размерность р, было несчетным, то в )г существовала бы точка, являющаяся окруженной точкой несчетного множества этих проекции; затем использовать в).] Дать пример выпуклого множества, обладающего несчетным множеством не регулярных граней. 06 ГЛ.
Ий 4 З двоистввнность е) Показать, что если все граничные точки тела А — класса О, то отображение, относящее каждой граничной точке х единственную точку сопряженной к пей грани, есть непрерывное отображение границы тела А на границу сопряженного тела А'. (См. Общ. топ., Рез., 8 8, п' 9; гл. 1, 8 10,теорема Ц Когда этоотображснис взаимнооднозначно? 3) Пусть Š— вещественное векторное пространство конечной размерности и, С вЂ” замкяутый выпуклый конус размерности п с вершиной О, отличный от Е, и а+ Π— его граничная точка.
Показать, что множество Р всех точек х'бС; для которых (а, х') =О, есть замкнутое выпуклое множество в С', образованное из не окруженных точек множества С'1 Р' совпадает с гранью в Сь каждой из своих l окруженных точек; Р называется гранью множества С', сопряженной к а. доказать для этого понятия свойства, соответствующие установленным в упражнении 2.
4) а) Пусть А~(1н — ограниченное выпуклое множество размерности и, являющееся пересечением кОнечного числа замкнутых полупростравств („выпуклый полиэдр ). Показать, что граница мяожества А есть объединение конечного числа выпуклых полиэдроя разчерности ч. и. Вывести отсюда, что А есть выпуклая оболочка конечного множества. (Принять во внимание, что А есть выпуклая оболочка своей границы.] б) Обратно, показать, что выпуклое множество А размерности и в )1н, являющееся выпуклой оболочкой конечного множества, есть выпуклый полиэдр. (Предполагая, что Π— внутренняя точка множества А, применить в) к поляре А' этого множества.1 в) Показать, что каждая грань выпуклого полиэдра А размерности и регулярна.
(Упражнение 2д; доказательство провести индукцией по и.) 5) Пусть Р и 0 — вегцсствеипые векторныс пространства в двойственности и М вЂ” слабо ограниченное множество в Р; тогда М' — поглощающее выпуклое множество в О. Лля каждого уй 0 положим И(у) = зпр (х, у); й называют опорной функцией множества М. ням а) Показать, что если М слабо компактно, то гиперплоскостгь заданная уравнением (х, у) = й(»), есть опорная гиперплоскость множества М. б) Будем всюду в дальнейшем предполагать, что М содержит начало. Показать, что И есть калибровочная функция множества М' (гл. П, 5 5, п'3); вывести отсюда, что если М вЂ” поглощающее слабо замкнутое выпуклое множество, то его калибровочная функция р есть опорная функция множества М', причем (х, > ) (р (х) И (у), каковы бы ни были хй Р и уй О.
в) Показать, что если И(у) — опорная функция множества М, то опорной функцией множества — М служит й( — у). г) Пусть М; (1 (1(р) — слабо ограниченные выпуклые множества в Р, йг (1 ((~р) — опорнаи функция множества М; и Хч слдпын топологии 2ОУ (2) (1 ( Г(р) — вещественные числа ',> О, Показать, что опорной функцией выпуклого множества М= ~~У~~ Л;М; слуткит Ь'= ~~~~ Лгд, 1 т д) Пусть у — фиксированный элемент из С и Ст — пересечение множества М; с гиперплоскостью (х, у) = Ьс (у) (предполагаемое непустым). Показать, что пересечением множества М с гиперплоскостью (х, ») = Ь(у) служит множество ~~ь~ ЛзСь 6) Каждому компактному выпуклому множеству А в Е = й" поставим в соответствие его опорную функцию Ьл, определяемую двойственностью между Е и его алгебраическим сопряженным Е", отождествленным с Е (упражнение 5); Ьл принадлежит пространству С (Е, и) всех непрерывных числовых функций на Е.
Наделим это пространство равномерной структурой компактной сходимости, а множество йт (Е) всех компактных выпуклых подмножеств пространства Е— равномерной структурой, определенной в упражнении 9 б 5 гл. П. Показать, что А -ь Ьл есть изоморфизм йт(Е) в с)(Е, й). Вывести отсюда, что отображение А — А' множества йа(Е) всех компактных выпуклых тел в Е, имеющих О своей внутренней точкой, на множество йа(Е') есть изоморфизм для равномерных структур этих пространств.
(См. гл. П, й 5, упражнение 9.) 7) Пусть Р и П вЂ” вещественные векторные пространства в двойственности, А — слабо компактное выпуклое множество в Р, С в слабо замкнутый выпуклый конус с вершиной О в С. Предположим, что для каждого у 5 С существует хб А такое, что (х, у) (О. Показать, что существует хай А такое, что (ха, у) (О для всех у 5 С. [Прииснить предложение 4 й 3 гл. П к А и С'.) *8) а) Пусть Р и 0 — вещественные векторные пространства в двойственности, С вЂ” слабо замкнутый выпуклый конус в Р, Н— конечяожериое векторное надпространство в О. Показать, что либо существует уа б С такое, что уэй Н' и уэ чь О, либо существует ха 5 Н такое, что хае С' и ха ~ О.
(Использовать упражнение 10 б 3 гл. 1Ц Показать, что если С пс содержит никакой прямой и оба указанных свойства имеют место одновременно, то ла не может быть окруженной точкой в С'. б) Пусть (агу), (Ь13) — две вещественные матрицы с и строками и т столбцами, причем ату > 0 для каждой пары (О /). Показать, что существует однозначно определенное Лп й, для которого имеются два вектора х = (ху) е м~ и у = (у;) 5)1" такие, что х Ф О, у ф О, ху > О, ут > О для всех ! й у и, наконец, УЯ ы Л ~ асуху> ~иг~ Ьоху (1 (Г (и), — у=т я я Л ~~Э~ агуУГ( 'У", ЬИУ; (1(/(Ш).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
