Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 47
Текст из файла (страница 47)
4-1 с=г гл. гу,э ! двоистввнность [Полагая сг = Лаы — 56 (1<1<и, 1(у(т) и с„+й .= Ьсу (1(!(т) (где Ь;у — кроиекеровский символ), показать, что задача сводится к нахождению ненулевых векторов х Е )Ью и я = (лэ) Е )(я+'л, для ко- торых ~~~~~ сбху>0 (! (1(п+т), у=1 (3) я+т ~~ с!ух! = 1 (1 ( у < т) !=1 (4) и л,> 0 (1 (1 < и+ т). Принять во внимание, что если неравенство (3) обладает решением для значения Л = Лэ, то оио обладает решением также для 1~Лэ, и что если уравнение (4) имеет решение при Л = Лэ, то оно имеет решение для Л ( Лэ, Наконец, использовать а).[ *9) Пусть Р и 0 — вещественные векторные пространства в двойствениости. Для того чтобы ультрафильтр $ в Р слабо сходился к точке хэ, необходимо и достаточно, чтобы эта точка принадлежала пересечению всех слабо замкиутых выпуклых множеств, содержащихся в 5.
[Припять во внимание, что если хэ есть точка этого пересечения, не являющаяся точкой прикосновения для уу, то существует замкнутое полупространство, принадлежащее $ и ие содержащее хэ.[ Вывести из этого результата, что для того, чтобы последовательность (х„) точек из Р слабо сходилась к точке а, необходимо и достаточно, чтобы эта точка а принадлежала слабо замкнутой выпуклой оболочке каждого бесконечного множества точек последовательности (хя). [Использовать упражнение 9 из Общ.
топ, гл. 1, й 5 (тэ).) 1О) а) Пусть Р и 0 — векторные пространства в двойственности. Показать, что если Р относительно ограниченно (гл. !!1, б 2, упражнение 21) в топологии а(Р, О), то 0 отиосительио ограниченно в топологии э(0 Р) б) Пусть Р— векторное пространство и 0т, О, — векторные подпространства в Р', находящиеся оба в двойственности с Р. Показать, что если Р относительно ограииченяо в топологиях а(Р, 0т) и а(Р, 0э), то оно отиоситетьио ограниченно и в топологии э(Р, 0т + 0т). в) Предположим, что Р обладает счетиым базисом. Показать, что Р отиосительно ограниченно в топологии а(Р, О) для каждого векторного подяространства 0 из Р', находящегося в двойственности с Р и обладающего счетным базисом. [Определить по индукции базисы (ая), и (Ьи) в Р и 0 соответственно так, чтобы (аш Ьт) = Ьим.[ *11) Пусть Р— вещественное или комплексное векторное пространство, К (равное )( или С) — его тело скаляров и 0 — подпростраяство его алгебраического сопряжеииого Р"'.
а) Для того чтобы Р и 0 находились в двойственности, необходимо и достаточно, чтобы 0 было всюду плотно в Р" в топологии э (Р*, Р). сллпыя топологии 2ОВ б) Показать, что Р*, наделенное топологией а(Р*, Р), изоморфно некоторому топологическому произведению К;в частности,это — пол- 1. ное пространство, в котором каждое ограниченное множество относительно компактно. в) Вывести из а) и б), что если Р и О находится в двойственности и 0 наделено топологией а(О, Р), то его пополнение изоморфно пространству Г', наделенному топологией э(Р', Р); кроме того, каждое множество из О, ограниченное в топологии а(О, Р), предколгпактно в этой топологии. г) Наделим Р топологией е(Р, Р').
Показать, что каждое ограниченное множество в Р конечномерио. Вывести отсюда, что если Р бесконечиомерно, то в его пополнении Р существуют компактные множества, не содержащиеся в замыкании никакого ограниченного множества из Р. [Использовать б) и в).[ д) Показать, что в пространстве Р, наделенном топологией э(Р, Р'), каждое векторное подпространство замкнуто и обладает топологическим дополнением. Вывести отсюда, что в пространстве Р; наделенном топологией а (Р', Р), каждое замкнутое векторное подпространство обладает топологическим дополнением. [Использовать следствие предложения 8.[ а12) Пусть Р и 6 — векторные пространства в двойственности причем 0 (соотв. Р) отождествлено с пространством, сопряженным к Р (соотв.
0), наделенному топологией э(Р, О) (соотв. ч (О, Р) ). Пусть, далее, !В (соотв. а.) — покрытие пространства Р (соотв. 6), образованное уравновешенными выпуклыми множествами, ограниченными в топологии а(Р„Й) (соотв. а(О, Р)). Доказать равносильность следующих утверждений: а) Каждое множество Ме !В предкомпактно в д.-топологии. б) Каждое множество У еТ предкомпактно в Ж-топологии. в) На каждом множестве МбЗ топологии, индуцируемые Х-топологией и топологией а(Р, О), совпадают.
г) На каждом множестве д(й Х топологии, индуцируемые ю-топологией и топологией а(О, Р), совпадают. [Длв доказательства того, что а) влечет г), использовать предложение 5 8 3 гл. П1, а того, что г) влечет б), — упражнение 1 8 2 гл. !!.[ "13) Пусть Š— вещественное или комплексное векторное пространство и К в его тело скалвров. Отделимая локально выпуклая топология 8' в Е называется минимальной (а Е, наделенное этой топологией У, — пространством минимального типа), если в Е не существует никакой отделимой локально выпуклой топологии, более слабой чем 8'. а) Пусть Э' — минимальная топологии в Е и Е' — пространство> сопряженное к Е (наделениому топологией уд). Показать, что з =э(Е, Е') и Е = Е'*.
[Принять во внимание, что, в силу следствии 3 предложения 1, в Е' не может содержаться гиперплоскость, всюду плотная двонственность гл. ПЛ я т в топологии а(Е', Е).] Вывести отсюда, что для того, чтобы отделимое локавьно выпуклое пространство было минимального типа, необходимо и достаточно, чтобы оио было изоморфно некоторому топологическому произведению К~. [См. упражнение 116.] б) Каждое замкнутое векторное подпространство пространства минимального типа есть пространство минимального типа. [См.
упражнение 11д.] в) Показать, что в отделимом локально выпуклом пространстве Р каждое. подпространство Е минимального типа обладает топологическим дополнением и, в частности, замкнуто. [Использовать а) и теорему Хана — Банаха для продолжения тождественного отображения Е на себя до отображения Р в Е.] г) Пусть и — непрерывное линейное отображение пространства Е минимального типа в отделимое локально выпуклое пространство Р.
Показать, что и(Е) замкнуто в Р и и — гомоморфизм Е иа и(Е). [Использовать в) и определение пространства минимального типа.] д) Пусть Р— отделимое локально выпуклое пространство и М— замкнутое векторное подпростраиство в Р. Показать, что если М обладает в Р дополнением ЛГ, являющимся подпространством минимального типа, то Л1 есть топологическое дополнение к М.[Использовать г).] е) Пусть М вЂ” подпространство минимального типа в отделимом локально выпуклом пространстве Р. Показать, что М + Лг замкнуто для любого замкнутого векторного подпространства М пространства Р.
[Рассмотреть факторпространство Е/М и использовать г).] Если, кроме того, М вЂ” минимального типа, то и М + Лг минимального типа. ч14) Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство н Р— локально выпуклое пространство минимального типа (упражнение 13).
а) Показать, что проекция замкнутого векторного подпространства М произведения ЕХ Р на Е замкнута. [Использовать упражнение 13е.] б) Пусть и — линейное отображение Е в Р. Показать, что если график и замкнут в Е Х Р, то и непрерывно. [Использовать а).] в) Предположим, что каждое замкнутое векторное подпростраиство в Е обладает топологическим дополнением. Показать, что и в Е Х Р каждое замкнутое векторное подпространство М имеет топологнческое дополнение.
[Пусть ЛГт — проекция М на Е, Лтз — топологическое дополнение к Лгт в Е, Рт = МДР и Р— топологическое дополнение к Рт в Р; используя б), показать, что Мт + Р, есть топологическое дополнение к М в Е Х Р.] 15) Обобщить определения и результаты етого параграфа на векторные пространства иад телом кватериионов.
а16) Пусть Р= м(л) и 0 = 11д, где А — произвольное бесконечное множество; Р н б приводятся в двойственность билинейной формой (Х, у) = ~~~~~ Х(а) у (а). вял 2! 1 СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО а) Пусть 1Ч вЂ” аддитивная подгруппа в 0; обозначим через Кч подгруппу тех хбР, для которых все (х, у) (у 6К) — целые, н через К вЂ” подгруппу тех гб0, для которых все (х, г) (хсК') — целые. Показать, что К' замкнута в Р в топологии ь(Р, О) и К =У, где У вЂ” замыкание К в топологии в (О, Р). [Для установления справедливостн последнего утверждения использовать предложение 6 из Общ.
топ„ гл. ЧП, 6 1 (ю), проектируя К на коиечномериые координатные многообразия в О.) б) Предположим, что А = М, и пусть М вЂ” подгруппа в Р, замкнутая в топологии а(Р, О). Показать, что М есть топологическая прямая сумма наибольшего векторного надпространства )г, содержащегося в М, и замкнутой подгруппы Р, являющейся свободным Х-модулем со счетным базисом. [Рассматривать Р как объединение возрастающей последовательности (Р„) его конечномерных векторных надпространств и применить теорему 2 и упражнение 7 из Общ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
