Бурбаки - Спектральная теория (947366)
Текст из файла
«'ДК 5!7 г 6!9А Кинга входит в завоевавшую мировое признание энциклопедию современной математики «Э.чементы математики», созданную груциой французских ученых, выступавших под коллективным псевдонимом Н. Бурбаки. Ряд томов этой энциклопедии уже вышел в русском переводе и получил заслуженно высокую оценку советских ученых. Этот выпуск, состоящий из двух глав: «Нормированные алгебры» и «Локально компактные коммутативные груипы», выгодно отличаетсн от прочих трудов Н. Бурбаки тем, что он мало связан с другими томами трактата, в нем нет излишней обшиости.
Книга изобилует методичесКими усовершенствованиями и отражает самые современные результаты. Она представляет интерес для математиков различных специальностей — от студентов до научных работников. Редакция литературы ио математическим наукам 2-2-3 Инд. 6-72 ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Советскому читателю предлагается перевод первых двух глав «Спектральной теории» Н. Бурбаки. Коротко можно сказать, что здесь собран предварительный материал для построения спектральной теории в стандартном понимании этого словосочетания, а именно, элементы гельфандовской теории коммутативных банаховых алгебр и понтрягинской теории характеров, причем последняя развивается с общих позиций функционального анализа.
Разумеется, автор свободно пользуется ссылками на другие - части своего обширного трактата, и это касается не только теорем, но и терминологии, а также обозначений (которые не всегда заново объясняются). В основном имеются ссылки на тома, посвященные топологии, алгебре и интегрированию, уже переведенные на русский язык. Вместе с тем искушенному читателю следует соблюдать известную осторожность, поскольку, например, в том, что касается банаховых алгебр, терминология, используемая Н.
Бурбаки, далеко не всегда совпадает с принятой и устоявшейся в нашей математической литературе. Тем не менее, мы по понятным причинам не сочли возможным сколько-нибудь серьезно изменять терминологию автора, В целом изложение характеризуется полнотой и ясностью; в частности, это относится к применениям аппарата голоморфных функций. Из многочисленных упражнений читатель сможет получить некоторое (правда, не совсем полное) представление о современном состоянии указанных областей. В соответствии со своими правилами (Хош1па зпп1 об1оза), Н.
Бурбаки не указывает авторов теорем и избегает ссылок на сочинения других авторов. Надо полагать, что имена, как обычно, будут названы в конце. Е. Горин ГЛАВА !') НОРМИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ $1. Общие сведения об алгебрах л. Алгебры с единицей Пусть К вЂ” коммутативное тело, т. е. поле. Пусть А — алгебра над К, содержангая единичный элемент е. Пара (А, е) называется алгеброй с единицей над К, а алгебра А — ее основанием. Так как е однозначно определяется по алгебре А, то, допуская некоторую вольность речи, можно называть А алгеброй с единицей. Пусть (А, е) и (А', е') — две алгебры с единицей. Морфизмом алгебр с единицей из (А, е) в (А', е') называется морфизм гр из А в А', такой, что <р(е) =е'.
Подалгеброй алгебры с единицей (А, е) называется пара (А', е), где А' — подалгебра А, содержащая е. Единичный элемент часто обозначается символом 1. Пусть А — алгебра над К. Напомним (Алг., гл. ЧП1, прилож., и'1), что на векторном пространстве А = КХА можно определить структуру алгебры, такую, что (Л, а) ()ь, Ь) =-(Л)ь, ЛЬ+)за+ аЬ). Пусть е=(1, 0). Тогда пара (А, е) называется алгеброй с единицей, полученной из А присоединением единицы. Если А' — какая-нибудь другая алгебра над К, (А', е') — алгебра с единицей, полученная из А' присоединением единицы, и ф — морфнзм из А в А', то существует и притом единственный морфизм алгебр с единицей из (А, е) в (А', е'), являющийся продолжением <р.
2. Спектр элемента в алгебре с единицей Опрвднлннин 1. Пусть А — алгебра с единицей над полем К, и пусть е — ее единица. Для каждого х ев А спектром х относительно А называется множество всех Л~ К, таких, что элемент х — Ле не является обратимым в К. ') Результаты глав ! н И опираются на материал книг )-Ч! н сводку результатов книги, посвященно» многооьразням (Чагппез). (Пря ссылках на нее используется сокращенне (Уаг., й)4 Инрмырованные алгебры СпектР бУдет обозначатьсЯ 8Рлх или, если это не пРн водит к недоразумению, 8рх.
3 а и е ч а н и я. 1), Если А =(0), то 8р 0 = О. 2) Для каждого Л ~ К имеем Зр(Ле)=(Л) (если А эь (0)). 3) Для того чтобы хек А был обратим, необходимо и достаточно, чтобы Оф 8рх. 4) Пусть »~А и Р~К[Х]. Если Л~К, то существует многочлен Р, ен К [Х), такой, что Р (х).— Р(Л) е =(х — Ле) Р, (х)' следовательно, если Л ен 8р х, то Р (Л) ен 8р Р (х); иначе говоря, Р(8р»)с: 8рР(х).
Обратно, пусть и ен 8р Р(х); предположим, что К алеебраичеехи замкнуто и бек Р) 1; пусть Р(Х) — и= а(Х вЂ” Л,)... (Х вЂ” Л„) — разложение многочлена Р(Х) — и ня множители первой степени. Имеем Р(х) — не=а(х — Л,е) ... (х — Л„е). Поэтому Л, ~ 8р » для некоторого 1 и, значит, и =Р(Л,) ы ен Р(8р х). Таким образом, Р (Зр х) = 8 р Р (х). Это соотношение остается справедливым и в том случае, когда Р— константа, если только 8рх Ф Я.
5) Если хы А — нильпотентный элемент, то, согллсно за- мечанию 4, (8р х)" ~(0) для некоторого и и, следовательно, 8 р х = (0) (если А ть (0) ). 6) Предположим, что поле К алгебраячески замкнуто. Пусть хя А и Я =Раен К(Х), где Р н Я вЂ” взаимно про- стые многочлены. Предположим, далее, что Я(х) обратим, т. е. 0 Ф Я(8р х). Тогда можно образовать й (хр=Р (х) Я (х) ' Я(х) Р (х).
Покажем, что если 1с — не константа, то справедливо равенство 8р(Я(х)) )т(8рх). Действительно, заменяя в случае необходимости 1с на  — р (где и ен К). достаточно установить эквивалентность В (х) обратим 4Ф 0 Ф )т (8р х) илп Р(х) обратим 4$ О эы Р(8 р х). Но последнее следует из замечания 4, если Р ие константа, и очевидно, если Р— константа, РавнаЯ Л, так как Л чь О в силу предположения относительно гт. 7) Пусть А и  — две алгебры с единицей над ф: А-~. — морфизм алгебр с единицей и х ен А.
Тогда ясно, что 8рз ф(х) с:. 8рл». Общие сведения об алгебрах 8) Пусть А — алгебра с единицей, Я вЂ” ее радикал (Алг., гл. ЧП1, $5), ~р — канонический морфизм из А в В=А/Я. Тогда если хан А, то Зрвф(х)=Зрлх. Действительно, достаточно доказать, что если у(х) обратим в В, то х обратим в А. Выберем такой элемент у ы А, что Ч~(х) Ф (у) = Ф(у) Ф(х) <р (е). Тогда ху е= е + Я, ух ~ е + Я. Значит, ху и ух обратимы и, следовательно, х обратим. В частности, если х ен Я, то Зрх=-(О) (при условии, что А Ф (О) ).
9) Пусть (В,) — семейство алгебр с единицей, причем В~=(Аь е,). Положим А=- ЛЛ А„е=(е,). Тогда (А, е) — алгебра с единицей, называемая произведением алгебр Вп Если х =-(х ) ~ А, то Зря х =. Ц Зря, х,. Примеры. 1) Пусть А — алгебра непрерывных комплексных функций на топологическс.м пространстве. Тогда спектр элемента (~ А совпадает с множеством значений функции 1.
2) Пусть А — алгебра с единицей конечного ранга над полем С. Для того чтобы элемент хан А был обратим, необходимо и достаточно. чтобы линейное преобразование у ~-ь ху в А имело отличный от нуля детерминант. Поэтому спектр элемента х совпадает с множеством корней характеристического многочлена элемента х. Если А — алгебра эндоморфизмов векторного пространства т' конечной размерности над полем С, то спектр х совпадает, следовательно, с множеством собственных значений преобразования х. Этот результат, вообще говоря, не верен, когда о(гп У бесконечна (упр.
2). Опгвдилвнии 2. Пусть А — алгебра с единицей над К, и пусть х~ А. Для каждого Л ~ К вЂ” Зря положим К(х, Л)=(Ле — х) '. Функция Л ь Р(х, Л) ен А называется резольвентой х. При фиксированном х значения В(х, Л) коммутируют. Действительно, если Л, и еп К, то имеет место равенство (Ле — х) — (ре — х) = (Л вЂ” 1ь) е. Поэтому если Л, р ~й Зрх, то (1) (Л вЂ” и)Л(х, Л))т(х, и)=В(х, р) — )с(х, Л), Если х, уев А и ЛыК, то (Ле — х) — (Ле — у) у — х. Поэтому если ЛбйЗрх()Зру, то $2) В(У, Л)(у — х)К(х, Л)=й(у, Л) — Я(х, Л). Норяарвванныв алгебры Рл.йбт б. Спектр элелаента в алгебра Пусть А — алгебра над нолем К и хан А. Назовем спектром элемента х относительно А спектр х относительно алгебры с единицей А, полученной нз А присоединением единицы.
Спектр в этом смысле обозначается Зр'„ х или, если это не приводит к недоразумению, Зр'х. Заметим, что 0 ен Зрл х для любого ген А. Если у — морфизм из А в алгебру В, то Зр' у(х) с: Зр'„х. Замечания. 1) Пусть А — алгебра с единицей. Рассмотрим ее основание, обозначая его по-прежнему через А. Если хен А, то 3 Рл х — 3 рл х () (0) Действительно, пусть е — единица алгебры А и е — единица алгебры А. Нетрудно проверить, что(е — е) А=А (г — е)=0, т. е. что алгебра А представляется в виде произведения А . н К(е — е). Наше утверждение теперь следует из замечания 9, и' 2.
2) Из предыдущего замечания вытекает, что если  — алгебра над К и я~В, то Зр' х =Зр-х =Зр-хЦ(О)=Зр'- 3) Если х принадлежит радикалу алгебры А, то Зр„'х=(0). Это следует из замечания 8, и'2. Предложение 1. Пусть А — некоторая алгебра и х, уев А, Тогда Зр'(ху) = Зр'(ух). Переходя к'алгебре А, можно ограничиться тем случаем, когда А содержит единицу и. Тогда достаточно доказать, что если Л ~ 0 и если элемент ху — Ле имеет обратный г, то элемент ух — Ле также обратим.
Имеем (ух — Ле) (угх — г) = у(хуг) х — ух — Лугх + Ле = =- у(Лг+ е)х — ух — Лугх+ Лг = Ле, а также (угх — г)(ух — Ле) =Ле. Так как Л Ф О, то из этих равенств следует, что элемент ух — Ле обратим. Можно указать такую алгебру с единицей А н такие элементы х, уев А, .что Зр(ху) чь Зр(ух) (упр.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
