Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если х~ А, то функция Улх непрерывна на Х'(А). Каноническая биекция из Х'(А) на Х(А) является гомеоморфизмом. Пусть  — алгебра с единицей над К и В' — ее основание. Тогда пространство Х(В) отождествляется с подпространством Х(В') в Х'(В'). 7. Приеепгивные идеалы Пусть А — алгебра над К, Š— векторное пространство над К. Назовем представление.я алгебры А в Е морфизм из А в .У(Е).
Два представления и, и и, алгебры А в пространствах Е, и Е, называются эквиваленгныеги, если существует изоморфизм Е, в Е„преобразующий и, в и,. Представление и алгебры А в Е называется пеприводимым, если Е Ф (0) и если единственными подпространствами в Е, инвариантными относительно п(А), являются (0) и Е. Предположим, что и — неприводимое ненулевое представление. Если Нормированные алгебры Гл. Ей!  — ненулевой элемент в Е, то л(А)$ — инвариантное относительно п(А) ненулевое подпространство (в противном случае Кв=Е и п(А)=(0)); поэтому н(А)к=Е.
Следовательно, аннулятор Я элемента $ в А является левым регулярным идеалом (Алг., гл. Ч111, прнлож., и' 2) и и эквивалентно представлению, определенному А-псевдомодулем А/Я; так как я неприводнмо, то Я является левым максимальным регулярным идеалом. Обратно, если в1' есть левый максимальный регулярный идеал в А, то представление алгебры А, определяемое А-псевдомодулем А/У!', является неприводимым и ненулевым.
Опгндвленнн 6. Пусть А — алгебра нод К. Примитивным идеалом в А называется ядро неприводимого ненулевого представления алгебры А. Если А — коммутативная алгебра, то примитивные идеалы в А являются регулярными максимальными идеалами в А. Действительно, неприводимые ненулевые представления в А совпадают с точностью до эквивалентности с представлениями вида пю определенными А-псевдомодулем А/Я (где % — максимальный регулярный идеал в А); в силу коммутативности А, ядро отображения пя совпадает с Я. Лнммл !.
Пусть и — неприводимое представление алгебры А в векторном пространстве Е над К. (1) Пусть 3 — двусторонний идеал в А. Если п(3) Ф О, то и!3 неприводимо. (й) Пусть 3о 3в — два двусторонних идеала в А, таких, что и (3,) Ф О, и (3е) чь О. Тогда п(3,3з) чь О. Множество тех элементов Е, которые аннулируются отображениями п(3), инвариантно относительно представления п(А) и не совпадает с Е, а следовательно, это множество(01.
Поэтому если 5 — ненулевой элемент из Е, то п(3)$ чь 0; так как п(3)$ инвариантно относительно п(А), то п(3)5 =Е и, таким образом, утверждение (1) доказано. С другой стороны, предыдушее рассуждение показывает, что п(3в) Е= Е, и (3 ) и (3е) Е = Е; следов ательно, и (313е) Ф О.
Лвммл 2. //усть 3о 3в — два двусторонних идеала в А, а 3 — примитивный идеал в А. Тогда если 3 содержит 3,3з (в частности, если 3 содержит 3, П 3,), то 3 содержит либо 3о либо 32. Пусть и — неприводимое представление с ядром 3. Если 3й63, и 3~63,, то, как показывает лемма 1 (й), п(3,3,)~0, откуда следует, что 3 ф 3,3,. Общие сведения об алгебрах 17 Лемма 3. Предположим, что алгебра А содержит единичный элемент. Пусть 3 — двусторонний максимальный идеал в А. Тогда 3 является примитивным идеалом. Существует левый максимальный идеал лч в А, содержащий 3.
Пусть и — каноническое (ненулевое, неприводимое) представление А в А/эй. Так как 3А ~ И, то ядро 3' представления и содержит 3; следовательно, 3' =3 и 3 является примитивным идеалом. Пусть У(А) — множество веех примитивных идеалов в А. Для каждой части М алгебры А обозначим через У(М) множество всех примитивных идеалов в А, содержащих М. Ясно, что если 3 — двусторонний идеал в А, порожденный М, то У (М) =- У(3); если М сводится к единственному элементу х, то вместо У((х)) мы будем писать У(х). Отображение М У (М) является монотонным (убывающим) по отношению включения.
Имеем (5) У (0) = Х (А), У (1) = 8, (5) У(~М,)=УДМ,)= ПУ(Ме) для л1обого семейства (М,), частей алгебры А. С другой стороны, согласно лемме 2, (7) У(3~ П3х) = У(3Ъ) = У (31) 0 У(3,) для любой пары двусторонних идеалов 3„ 3, в А. Формулы (5) — (7) показывают, что части У(М) в Х(А) являются замкнутыми в некоторой топологии на Х(А), Эта топология называется топологией Джекобсона на У(А). Пусть Т вЂ” некоторая часть в Х(А) и 1(Т) — пересечение всех элементов (идеалов), входящих в Т. Ясно, что с(Т)— двусторонний идеал в А. Тогда замыкание Т в Х(А) есть наименьшая замкнутая часть в Х(А), содержащая Т, т. е. У (г (Т)). Пэздложвнив 2. Пусть 3„3я — два различных элемента в У(А).
Эти элементы отделены в топологии Х(А). Действительно, пусть, например, 3, ~Й 3э, Множество. всех 3 еи Х(А), содержащих 3„является замкнутой частью Т в Х(А), такой, что 3, ен Т, 3э Ф Т. П едложенив 3. Пусть 3 ен У(А). Для того чтобы (3) было замкнутым в пространстве Х(А), необходимо и достаточно, чтобьи 3 был максимальным примитивным идеалом. Действительно, замыкание одноэлемеитного множества (3Х состоит из примитивных идеалов в А, содержащих 3. Нормированные алгебра Гл, /, э / Пусть А — множество всех классов непрнводимых ненулевых представлений алгебры А.
Если каждому представлению пси А поставить в соответствие его ядро, то получится сюръективное отображение А — нУ(А). Топология в 1(А) определяет топологи/о в А, замкнутыми множествами в которой служат прообразы замкнутых множеств в У(Л) при отображении А- 1(Л). Придложинив 4. Если алгебра А содержит единицу, то пространства 1(А) и А квазикомпактны. Доказательство достаточно провести для У (А). Пусть (Т/) — семейство замкнутых частей в У(Л) с пустым пересечением.' Если бы ~1(Т/) Ф А, то оказалось' бы, что ~~1(Т/) / содержится в некотором двустороннем максимальном идеале 3. Но 3 — примитивный идеал (лемма 3). Поэтому 5~ Т/ для каждого 1, так как Т, замкнуто, и мы пришли к противоречию. Следовательно, ~ 1(Т;) = А.
Поэтому 1= / х,+ ... +х„, где х,ен1(Т/,), ..., х„~1(Т/). Следовательно„((Т/,)+ ... +1(Т/ ) = А и Т/, () ... () Т/ = О. Предположим, что А — коммутативная алгебра с единицей. Топология Джекобсона на 1(А) является топологией, индуцированной на 1(А) топологией Варпеского простого спектра А (Комм. алг., гл.
П, 5 4, и'3, опр. 4). Предположим, что алгебра А коммутативна, а К наделено топологией. Канонический изоморфизм К на Ы(К) позволяет отождествить элементы пространства Х(А) с представлениями алгебры А в векторном пространстве К. Тем самым определяется отображение Х(А) в А, являющееся, очевидно, инъективным. Можно, следовательно, отождествить Х(А) с некоторой частью пространства А. Придложинив 5. Топология, индуцированная на Х(А) топологией в А, слабее исходной топологии в Х (А).
Действительно, пусть Т вЂ” замкнутая часть в А. Тогда Т есть множество представлений пси Л с ядром, содержащим некоторую часть М алгебры А. Поэтому ТПХ(А) является множеством тех уев Х(А), которые аннулируются на М, т. е. 'замкнутой частью Х(А). Предложение доказано. В общем случае Х(А) не является подпространством р А'(см, $7, упр. бс). Нормированные алгебра !9 $2. Нормированные алгебры 1. Оби!ие сведения Опрнделнние 1.
Нормированной комплексной алгеброй назьгвается алгебра А над полем С, снабженная нормой х1 — »!!х!~, такой, что !! ху 1! (!! х !Я у !! для любых х, у ~ А. Если пространство А полно по этой норме, то говорят, что А — банахова алгебра. Это определение несколько отличается от данного ранее (Общ. топ., гл. !Х, 2-е изд., $3, па 7), где требуется в отличие от (1), чтобы норма удовлетворяла условию !! ху !!( (а!! х !! !! у !! (а —, неотридательная постоянная). Однако мы видели (см. там же), что тогда существует эквивалентная норма, удовлетворяющая условию (!). На протяжении всей этой главы мы придерживаемся определения 1. Слово «комплексная», как правило, опускается, и всюду, где не оговорено противное, подразумевается, что основным полем служит поле С, Пусть А — нормированная алгебра.
Каждая подалгебра в А, снабженная индуцированной нормой, является нормированной алгеброй. Если нг — двусторонний замкнутый идеал в А, то алгебра А/1н, снабжейная нормой !!х!1= !п1 Цх(! (хан А11в), хех является нормированной алгеброй. Алгебра, противоположная к А, с той же нормой, а также пополнение алгебры А суть нормированные алгебры. Если А„..., А„— нормированные алгебры, то алгебра А, р1', ... ',н', А„, снабженная нормой (((хг)1<, „))= знр 1!х,!!, 1~1л.л является нормированной алгеброй.
Пусть (уь) — семейство элементов из А; наименьшая замкнутая подалгебра В в А, содержащая все 'элементы у„, называется замкнутой подалгеброй в А, порожденной элементами ух; если В =А, то говорят, что у~ топологически порождают нормированную алгебру А, или что (ух) — система топологических образующих нормированной алгебры А. Рл. Л 2 т Нормированные авелары Пусть А — нормированная алгебра. Определим норму на А, полагая !!(Л, х) !1=1 Л !+!1х!!..Имеем !!(Л, х)(1л, у) !1=!Лн!+!! ху+ их+ Лу!!я.. ( ! Л ! ! р ! + !! х !!!! у !!+ ! р ! !! х !!+ ! Л ! !! у !! = . =-!!(Л. х)!!!!(р у)!!.
Поэтому А превращается в нормированную алгебру, называемую нормированной алгеброй с единицей, полученной из А присоединением единицы. Пусть А — нормированная алгебра. Для х он А пусть Ь„ и 1ㄠ— отображения уи ху и у ух из А в А. Тогда хи — э Ь, (соответственно х )хл) — морфнзм алгебры А (соответственно, противоположной к А алгебры) в Ы (А), такой, что (2) !! Л„ !! !! х !1, !! )г„ !! я..!! х !!.
Если А содержит единицу е, то х = Еле = Р„е; следов а- тельно, (3) !! х !! ~ !! л.„ !! !! е !1, !! х !! !! Я„ !! !! е !!. Тогда х~- !!Л„!! и х !!)г„!! — нормы, эквивалентные исходной х !!х!!, удовлетворяющие, кроме того, условию (1). Если к тому же А Ф (О), иначе говоря, е Ф О, то из (2) и (3) следует, что !!е!!~)1; очевидно, что !!Ее!!=!!)ге!1=1. 2. Примеры 1) Пусть Я вЂ” локально компактное пространство, А— алгебра комплексных функций, непрерывных на 11 и стремящихся к 0 на бесконечности, снабженная нормой !!1!!=зпР !1(1) !. Тогда А является коммутативцой банаховой алгеброй.
2) Пусть А — алгебра функций ): (О,!)- С, непрерывных вместе со своими производными до порядка и включительно, снабженная нормой !! Р !! = ~ —, зпр Ум (1) ! е „ м о<е<1 Нормированные алгебры Если ), у~А, то л ((М!! =,~~~ — „, зцр! (М)"'(1) 1= 'н о л о -К+ р К('(ропо"-оС% н-о. л о =а,у, ~ — „„' —,„(-р(1" (1) (и-р(а'-'(1) () =П1(Н(а((. о-ол-о Следовательно, А — коммутатнвная банахова алгебра с единицей, 3) Пусть 0 — локально компактная группа, снабженная мерой Хаара. Тогда ь'(6) является банаховой алгеброй, в которой произведение определено как свертка (Онтегр., гл. Ч111, 5 4, п'5, предл. 12). Если 0 — коммутативная группа, то эта баиахова алгебра также коммутативна. 4) Возьмем в примере 3) 6 = Х. Тогда 1.'(О) — банахова алгебра последовательностей (сл) „<, таких, что ~2~ (с„(< оо, относительно умножения (сл) * (с'„) = (с(„), где ,'Е~ с,с', р, и нормы (((с,)!(=2'„(с„(.
Эта алгебра содержит в качестве единицы последовательность (ел), для которой ел=О при всех л Ф О и ео — — !. Для х=(сл) пусть ~р(х) — непрерывная на $) функция, значение которой в точке е" равно ~ сле'л'. Легко проверить, что <р есть морфизм из Ь'(О) в алгебру А функций, непрерывных на 1), в которой умножение определено как обычное умножение. Интегрируя почленно равенство ( ° ~ среон( . е-нм = (~р (х)) (ео), е-юг л получим, что Сл= — „( (~р(Х))(ЕН) Е '"' Ю, 1 г о и, следовательно, морфизм ~р инъективен. Алгебра А, снабженная нормой, которая индуцируется нормой в ь'(6) с помощью р, называется банаховой алгеброй абсолютно сходя* шихся рядов Фурье. Оиа содержит в качестве единицы функцию, тождественно равную 1. (См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
