Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Остается заметить, что Р(Р((х,))) = Р )Х(Р((хь)))1=- цр )Р((Х( )))1= Хых)А! вы х)л) зцр )Р(с) ). еызолцнь)) Слвдствив 2. Пусть К вЂ” компакт в С. Пусть К' — объединение компакта К' и ограниченных связных компонент дополнения С К, Тогда К' является полиномиально выпуклой оболочкой К. Из сказанного в приложении следует, что К' содержится в этой полиномиальио выпуклой оболочке. С другой стороны, множество С вЂ” К' является единственной неограниченной связной компонентой С вЂ” К. Так как оно открыто и содержит внешность некоторого круга, то К' — компакт. Пусть А=У(Кэ) — коммутативная банахова алгебра с единицей непрерывных комплексных функций на К' с равномерной нормой.

Пусть х~А — функция ) ~-н) на К'. Имеем Зрл х =- К', следовательно, множество С вЂ” Зрл х связно. Поэтому если через В обозначить замкнутую подалгебру с единицей в А, порожденную элементом х, то Зрзх= Зрлх ($2, следствие предложения 6). Итак, в силу предложения 9 (В), Зри х и, стало быть, К' является полиномиально выпуклым множеством. Утверждение следствия 2 становится неверным при ваиеие С иа С' (упр, 23). Слвдствив 3.

Пусть К вЂ” полиномиально выпуклое подмножество в С". Пусть А=ту(К), А, — множество сужений на К многочленов на Сд и А' — замыкание А, в А. Пусть, далее, для каждого генК отображение >): ~)-н)'(г) есть характер А'. !) Отображение ф: з)-ыу является гомеоморфизмом К на (Аг), (й) Пусть (гв) — семейство сужений на К координатных функций на Сь. Пусть гр — отображение Х(А') в С', толоморфное функциональное исчисление зй определенное семейством (гь).

Тогда фьчР является тождественным отображением К и К = Зр, ((аь)). Так как гь топологически порождают А', то ф является гомеоморфизмом пространства Х(А') на Зрл,((гь)) (предл. 9(1)). Ясно, что феф — тождественное отображение К, поэтому чр инъективно (и, очевидно, непрерывно) и Зр„,((гх)) ~К. В силу следствия 2 предложения 1, Зря((гь)) =К. В силу следствия 1 предложения 9, Зр„.((г„)) =К, ибо множество К полиномиально выпукло. Таким образом, ф является сюръективным отображением н, следовательно, гомецморфизмом компакта К на Х(А').

5 4. Голоморфное функциональное исчисление Всюду в этом параграфе символом А обозначается банахова алгебра с единицей. 1. Формулировка основной теоремы Пусть Š— комплексное банахово пространство и У вЂ” открытая часть в С". Обозначим через 0(У; Е) комплексное векторное пространство функций, голоморфных в О, со значениями в Е, снабженное топологией компактной сходимости. Пусть К вЂ” компакт в С и Ц вЂ” убывающее фильтрующееся множество его открытых окрестностей. Если У, У'ен(1 и О'с= О, то имеется отображение сужения из С'(О; Е) в 0(О'; Е).

Индуктивный предел пространств 0(У; Е) относительно этих отображений является локально выпуклым пространством н обозначается 0(К; Е); его элементы называются ростками функций, голоморфных в окрестности компакта К, со значениями в Е; можно говорить о значения» такого ростка на К.. Ясно, что С'(У; А), 0(К; А) — алгебры с единицей и что можно, если А Ф(0), канонически отождествить 0(У; С) и С'(К; С) с подалгебрами алгебр С'(У; А) и 0(К; А). Положим С'(У; С)=0(У); С'(К; С)=0(К). Пусть М вЂ” некоторое множество. Если а =(аи ..., а )енМ' и пг(п, то положим п,„(а)=(а„..., а ), Если аенА", то имеет место равенство и „(Зра) Зр(п,„(а)), откуда возникает морфиям и' „: 0(Зр(п „(а)))-ь0(Зр(а)), Обозначим через А' ~ сумму множеств А", и = 1, 2, 3, .... Рл.ййг Нормированные алгебры Тиоремх 1. Пусть А — коммутативная банакова алгебра с единицей. Тогда существует и притом единственное отображение а! О„которое каждому аенА! ' ставит в соответствие непрерывный морфизм алгебрс единицей О,: О(Яре)-ьА, обладающий следующими свойствами: (!) Если а=(а„..., а„) и если г„..., г„— ростки координатных функций на С" в окрестности Яра, то ез,(г,)=а„..., 6,(г„) =а„.

(И) Если а=(а„..., а„), !и (и и !'~ С!(Зр(п„„(а))), то В,'(н' „(!))=В„<,!(!). Доказательству этой теоремы посвящены и' 2 — 6. 2. Построение некоторых дифференциальных форм В этом пункте алгебра А предполагается коммутативной. Говоря о бесконечно дифференцируемых функциях на открытой части в С", мы будем иметь в виду соответствующую вещественную структуру.

Стандартные обозначения дифференциального исчисления мы используем относительно этой структуры. Под дифференциальными формами мы всегда будем подразумевать внешние дифференциальные формы, а умножение этих форм всегда будет внешним умножением. Ламма 1. Пусть а=(а„..., а„)гнА". Существуют бесконечно дифференцируемые отображения о„..., о„из С" Эра в А, такие, что для всякого х=(г„..., г„)енС" Бра имеет место равенство (г! — а!) о ! (х) + ... + (г„— а„) о„(х) = 1. 1) Для каждой точки хь=(гы, ..., гь„)еиС" Бра существуют функции и„..., и„со значениями в А, определенные и бесконечно дифференцируемые в некоторой открытой окрестности точки хь и такие, что в этой окрестности (г! — а,)и,(г)+ ...

+(г„— а„)и„(х)=1. Действительно, за= метим вначале, что существуют элементы Ьо ..., Ь„ыА, такие, что (гы — а,)Ь,+ ... +(гь„— а„)Ь'„=1 5 3, и'5). Элемент (г, — а,)Ь, + ... +(г„— а„) Ь„обратим в А, если х=(г„..., г„) принадлежит достаточно малой открытой окрестности точки хь, и теперь достаточно положить в этой окрестности / и ~-! и!(х)=Ь! ~(г! — а!)Ь!) ° ! ! Голоморфное функциональное исчисление 41 2) Из предыдущего следует, что существует открытое покрытие (Кь) множества С" Бра и для каждого 1! ~Ь существуют функции изы ..., ил х со значениями в А, определенные и бесконечно дифференцируемые в )сю такие, что (г, — а,) иц(х)+ ...

+ (г„— а„)и„,(х) =1 в $'ь. Согласно Общ. топ., гл. 1, 4-е изд., $9, теор. 5, покрытие (т'ь) можно считать локально конечным. Далее, существует семейство (~ь) неотрицательных бесконечно дифференцируемых функций в С" Бра, таких, что зпрр©с=)/х и ~.", ~„=1 хеь в С" Бр а (Уат., К.). Продолжая функцию анись нулем в (С" Бра) Ую мы получим функцию (обозначим ее й!„) со значениями в А, определенную н бесконечно днфференцируемую в С" — Бра. Так как для ! 1, 2; ..., и семейство (зпрр(и', )) является локально конечным, то функция х~с о, = ~ и,' бесконечно дифференцируема в С" — Бра.

С друХи!. гой стороны, пусть а~С" — Бр а. Пусть 1.' — конечное подмножество индексов !!~ Ь, таких, что ген)см Тогда ~ (г — а!) о,.(х) = ~ ~2~ (г — а,)и'„(х) = ! ! ьиь !=! л = ~ ~ь(х) ~ (г,— а,)игх(х)=( ~~'.~ ~ь(х)) 1 =1. к~с с=! !Ы.. Лемма доказана. Ламма 2. Пусть а=(а„..., а„)енА' и й — бесконечно ди44еренцируемое отображение С" в С, равное 1 в окрестности Бр а. Тогда существуют бесконечно ди44еренцируемьсе отображения и,, ..., и„из С" в А, такие, что для каждой точки х = (г„..., г„) ~ С имеет место равенство (1) (г, — а,) и,(х) + ... + (ㄠ— а„) и„ (х) = 1 — й (х).

Действительно, существуют отображения о„..., о„из С" — Бра в А со свойствами, указанными в лемме 1. Положим и;(г) =(1 — Ь(х)) о,(х), если г~ С" Бра, и,(х) = О, если х ы Бр а. Тогда функции и! бесконечно дифференцируемы в С" — Бр а и равны нулю в окрестности Б(!а, а следовательно, бесконечно дифференцируемы в С . Равенство (1), очевидно, справедливо для хяС" Бра, а для хе Бра обе его части обращаются в нуль. Нормированные алгебры Гл. 1, у 4 42 ~~."~ и, йгг+ $ (г! — а,) йи, = — йй, ! ! !=! (2) откуда следует, что (3) йййг! П (йи!аг!)=- — (г, — а!)в.

!а! Тогда й (Ь ( П йи!1) йг! ... йгл = йй ( П йи!) йг! ... йг„= = ~ (г, — а!) в, и это равенство доказывает справедливость (й). Из (й) получается, что (1 — Ь)в= ~ (г! — а!)и!в=,с! ига(й()гаг! ... йг„), откуда зпрр(1 — Ь) вс зпррй, а это соотношение влечет за л собой (!). Наконец, положим т= ~ Ьи, йг!( П (аи! йг!)). г=! !!ли! Тогда йт= ~~'.~ и, йй йг! ( П (йи! аг!))+ пЬв, г-! ~,Ф! или, с учетом (3), л Ит = — ~ и, (г, — а,) в + лЬа = — (1 — Ь) в + пйа = ! ! =(и+ 1) йа — в, что и доказывает утверждение (ш). Замечание. Если л=1, то для вен С Зрв имеем и,(х) =(! — Ь(г))(г — а!) ° Ламма 3. Пусть в, Ь, и„..., и„обладают свойствами, указанными в лемме 2. Обозначим через в дифференциальную форму йи,йг! ... йи„аг„степени 2п на С",с коэффициентами в А. Тогда (1) имеет место соотношение вирр в ~ зпрр Ь.

(й) Для !'=1, 2, ..., и существуют дифференциальные формы р! на С" степени и — 1 с коэффициентами в А, такие, что (г! — а!) в = й (Ьр! йг! ... йг„). (ш) Существует дифференциальная форма () на С" стелени п — 1 с ковффициентами в А, такая, что (и+ 1) Ьа — в= = й(Ь3 йг! е!гл) Дифференцируя равенство (1), получаем Голоморфное функциональное исчисление 43 Рассмотрим теперь, каким изменениям подвергается фор- ма сь при некоторых модификациях Ь, и„..., и„(а остается фиксированным), Начнем с одной простейшей модификации. Лкммл 4. Пусть а, Ь, и„..., и„обладают свойствами, указайными в лемме'2. Пусть Ь вЂ” бесконечно дифференци- руемое отображение С" в А, с и 1 — два целых числа из интервала (1, п).

Определим и'„..., и„', ь>' равенствами йс=ис+(г — а ) Ь, и'=и — (г, — а,)Ь, и,'=и, для 1Ф с, 1, >1>се йге Тогда имеет место равенство (г> — а,) и',(х)+... + (г„— а„) Х Х и'„(г) = 1 — Ь(х), и существует дифференциальная форма ф степени п — 1 на С" с коэффициентами в А, такая, что знррфс:зцррЬ и ь> — ь>'=й(фйгс ... йг„). Действительно, бис йи'с(г> ... йг„= =(йи, + Ь йгс + (гс — ас) йЬ)(бис — Ь йг,— (г,— ас) йЬ) йг,...с(г„= =(йи, йи> — (гс — а,) бис йЬ вЂ” (гс — ас) бис ЙЬ) йг, ... йг„. Следовательно, йи,'.йи'( Ц йи',1йг> ...

Характеристики

Список файлов книги