Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Но так как функция У(! — 2/ — г) =! — 2У/ нигде не обращается в нуль, то элемент 1 — 21 — г обратим. Следовательно, г=О н единственность / доказана. 3 а м е ч а н и е. Сохраняя обозначения предложения 12 положим 3~ =/А, 3 = (1 — /) А Тогда 3, и 3,— идеалы в А н 3, + 3в —— А. С другой стороны, 3, (соответственно 3в) — множество всех хан А„таких, что /х = х (соответственно (1 — /) х= х); следовательно, 3» П3в= =(0) и 3„3,— замкнутые идеалы. Алгебра А отождествляется с прямой суммой алгебр А/3, и А/3т Если отождествить Х (А/3,) и Х(А/3,) с частями пространства Х(А) ($1, я'5), то окажется, что Х(А/3,)=У, и Х(А/3,)=Уе Следствии. Пусть А — коммутативная банахова алгебра с единицей. Тогда следующие условия эквивалентны: (1) Х(А) связно; (В) 1 и 0 — единственные идемпотенты в А; !О Голоморфное функциональное иениеление 61 (ш) А не изоморфна прямой сумме никаких двух ненулевых банаховых алгебр.
Пведложение 13. Пусть А — коммутативная банахова алгебра без радикала. Для того чтобы А содержала единицу, необходимо и достаточно, чтобы Х(А) было компактным. Необходимость вытекает из следствия теоремы 1 $3. Предположим, что Х(А) компактно. Пусть А — банахова алгебра, полученная из А присоединением единицы; отождествим Х'(А) и Х(А). Тогда дополнением к Х(А) в Х(А) является единственный характер то алгебры А, обращающийся в нуль на А. В силу предложения 12, существует элемент / ен А, такой, что т,(/) =1 для всех т,енХ(А) и ть(/) =О. Следовательно, /ЕЕА и т,(/х)=т,(х) для всех хенА и всех у ен Х(А) и, значит, /х=х, поскольку А — алгебра без радикала.
Таким образом, / — единица алгебры А. ПРедлОжение 14. Пусть А — коммутативная банахова алгебра, 3, — идеал в А, г", — множество всех т,енХ(А), обращающихся в нуль на 3,, Ре — замкнутое в топологии Джекобсона и компактное в слабой топологии подмножество в Х(А), не пересекающееся с РР Тогда существует элемент ион 3„такой, что Уи=( на Ре. Пусть 3,— пересечение ядер характеров, принадлежащих Ре. Ясно, что А/3,— подалгебра без радикала.
Так как Р замкнуто в топологии Джекобсона, то множество элементов из Х(А), обращающихся в нуль на 3„совпадает с ге. Поэтому множество Р, снабженное топологией, индуцированной слабой топологией в Х(А), совпадает с множеством Х(А/3), снабженным слабой топологией (5 1, и' 6).
Так как Ре слабо компактно, то А/3 содержит единицу (предложение 13). Если 3, + 3, ~ А, то факторалгебра (3, + 3,)/3, содержится в ядре некоторого ненулевого характера факторалгебры А/3е ($3, теор. 2), а в таком случае существовал бы ненулевой характер алгебры А, аннулирующий 3, и 3е; но тогда оказалось бы, что вопреки нашему предположению Р, П ге Ф Я. Таким образом, 3,+3е — — А, и существует элемент иен3о класс которого в факторалгебре А/3, является ее единичным элементом. Тогда т(и)=! для всех т,енР,.
Предложение доказано. Следствие. Пусть А — коммутативная банахова алгебра, Р, и Ре — две непересекающиеся части пространства Х(А), замкнутьее в топологии Джекобсона. Пусть Ре слабо компактно. Тогда существует элемент и~А, такой, что Уи=1 на г и Уи=б на ти Нормироаониыл алгебры 1л.
Разбиении сиеитра элемегаа алгебры Замечание 1. Пусть А — банахова алгебра с единицей хан А н.К=Врх. Пусть 6 — множество частей К, которые являются одновременно открытыми н замкнутыми в К. Для каждой части Н ен 6 существует н притом единственный элемент )няд(К), равный 1 в окрестности Н и 0 в окрестности-К Н. Положим 1н=)н(х). Тогда 1н Явлаетса идемпотентом в А, который называют ассоциированным с х и Н; при этом справедливы соотношения (17) )нпн =(н(гс =1н)н (18) 1ное=)н+1н !н(н (Н Н ~6) (19) 1 =О, )к=1. Ясно, что если / — ндемпотент алгебры А, то 1А1 есть подмножество всех элементов х он А, таких, что х1=1х=-х; оно является, следовательно, банаховой подалгеброй в А с единицей 1.
В частности, если Н ен 6, то через Ан обозначается банахова алгебра 1'„А(н с единицей /н. Пусть  — наполненная замкнутая подалгебра в А, порожденная элементом х. Она коммутатнвна; если представление вида К= Н, () Н, () ... () Н„является разбиением К на элементы нз 6, то Равенство ! =(н + ... +1н ЯвлЯетсЯ Разложением еди- 1 о ннцы на сумму попарно ортогональных ндемпотентов в В, н поэтому алгебра В канонически отождествляется с произведением Вн Х ... Х Вн . ! о 3 а и е ч а н н е 2.
Дла Н е 6 положим хн — — х/и — — (нх е Вн. Имеем хн — — нн(х), где йн — элемент нэ с7(К), определенный соотношениями нн(г) = г в окрестности Н н нн(г) 0 в окрест- ности К Н (в самом деле, нн(г)=(н(г)г). Таким образом, если Н чь К, то (20) Врлх =Н()(0)л Если К=Н, () Н,()... () ̈́— разбиение множества К на эле- менты нз 6, то (21) х=х +х + ... +хн, ~а о (22) хнхн =О, ЮФУ. "~ "/ 3 а меч ание 8. Пусть цо-прежнему Нс6 н Хя С Н. Пусть Ьн,„— элемент из б'(К), равный (л,— г) в окрест- ности Н и 0 в окрестности К вЂ” Н.
Тогда (а7н — Ын) "и,~=,гн: Голоморфное функциональное иениеление е3 следовательно, если положить Рн(Л, х)=йн,„(х) еи Вн, то (23) Рн (Л, х)(Л)н — хн) =(Л(н — хн) Рн(Л «) = (н (24) Рн(Л, х)!к н=!к нРн(Л, х)=0. ПРедположим, что длЯ Л ~ Н элемент Л)н — хн имеет обратный у в алгебре Ан; тогда элемент Л вЂ” х обратим в А и его обратный равен у )- Рк н(Л, х); но это абсурдно, стало быть, Лен Брл хн.'Отсюда и из (23) следует, что (25) БРл хн=Н и, значит, имеет место соотношение (26) Н М 8 Е1 '- О. †-разбиение К на элементы из 6, то (27) Р(Л, х)=Р, (Л, х)+ ... + Р, (Л, х).
В частности, если Н ен 6, то функция Л~ —:»Р(Л, х) в окрестности Н представляется в виде суммы Рн(Л, х) и некоторой голоморфной функции. Поядложвнив 15. Пусть» — изолированная точка в Зрл х. Тогда (!) 'Р(Л, х) ~ Р!и!(Л1 х) + Рзр е !и!(Л, х). А (И) Функция Л~ Рзе и ся(Л, х) голоморфна в окрестности точки»; функция Л ь-о. Р!и>(Л, х) голоморфна в С вЂ” (»). (!!!) Величина '!!(х — »)" 1„!!!ии стремится к О, когда и-ь оо, и для каждого Л ы С вЂ” (») имеет место равенство С Р!и!(Л, х) = Х,(Л вЂ” ») (х — »)"! и (28) Утверждения (!) и (В) немедленно следуют из предыдущего.
Докажем (!!!). Заменяя х на х — », мы сводим это утверждение к случаю, когда» = О. Положим Н =(О) с: Зрл х. Тогда спектром элемента хн в Ан является (0) и, значит, элемент хн квазинильпотентен, т. е. !! «м!н 1! !!(х!н) 1! формула (23) показывает, что функция Ль-~ Рн(Л, х), определенная в С вЂ” Н, является резольвентой элемента «и относительно Ан. Если К=Н,()... ()Н„ Рлб44 Нормврованеые алгебры стремится к О. Кроме того, в Ан для каждого ЛФО имеет место равенство (Л)н — «и) =ХЛ " 'хв 6 0 5 2, и'5, формула (7)), из которого следует равенство (28), Слидствив.
Пусть и — изолированная точка в Зрлх и р)0 — целое число. Для того чтобы точка и была полюсом порядка р резольвенты элемента х, необходимо и достаточно, чтобы (х — 1г)~ 1ва Ф О, (х — р)~1~„>=0. П р и м е р. Пусть Š— комплексное банахово пространство, х — его непрерывный эндоморфизм. Рассмотрим. спектр Зр х элемента х относительно банаховой алгебры с единицей А=.У(Е). Пусть Н вЂ” часть Зрх одновременно открытая и замкнутая в Зрх. Идемпотент )н, ассоциированный с Н и являющийся проектором на замкнутое векторное надпространство Ен в Е, называют ассоциированным с х и Н.
Пусть I Ен — ядро этого проектора. Тогда Е представляется в виде топологической прямой суммы подпространств Ев и Ей, которые инвариантны относительно эндоморфизма х, коммутирующего с 1н. Алгебра Ан в данном случае является алгеброй всех эндоморфизмов Е, обращающихся в нуль на Ен, относительно которых инвариантно Ен. Пусть и — некоторый 'непрерывный эндоморфизм Е, относительно которого инвариантны Ен и Ев', для того чтобы элемент и~Ел был обратим, необходимо и достаточно, чтобы и)в был обратим в А, и аналогичное утверждение справедливо для и~Ем. Отсюда и из (25) следует, что Зр(х~Ен)=Н и Зр(х~Ев)=Зрх Н. Если Н сводится к изолированной точке и из Зрх, то спектром элемента х~Е~ы является Зр х — (и) и, в частности, (х — и)~Еьч — автоморфизм Ец,~, С другой стороны, элемент (х — 1е) ~Ееа квазинильпотентен.
Для того чтобы точка и была полюсом порядка р)0 резольвенты элемента х, необходимо и достаточно, чтобы (х — 1ь)р ~~ ЕвиМ О, (х — 1ь)'~ Еьц=О. В этом случае Евй = Кег (х — и) н Егм=1т (х — М)~.. Мы можем резюмировать некоторые из приведенных здесь результатов следующим образом. Првдложинив 16. Пусть Š— комплексное банахово пространство, х — его непрерывный эндоморфизм, и — изолированная точка Зрх, К вЂ” дополнение к (р) в Зрх.
Регулярные коммутатавнв~е банахавы алгебры (!) Пусть à — ориентированный край открытого круга а с центром в точке !г, такого, что К() (Г() а) = кг. Тогда ! Г -! = — ) (г — х) с!х 2гп г является идемпотентом, зависящим только от х и р. (й) Подпространства Е'=1т! и Ен=-Кег!' инвариантны относительно х, (х — !г) ! Е' — квазинильпотентный элемент, (х — !л)~Е" — автоморфизм Е". (И) Для того чтобы точка р была полюсом порядка р)О резольвенты элемента х, необходимо и достаточно, чтобы (х — р)Р ~ Е' чь О, (х — Р)~ / Е' = О.
5 5. Регулярные коммутативные банаховы алгебры 1. Определение и простейилие свойства Прадложзниа 1. Пусть А — коммутативная банахова алгебра. Следующие условия эквивалентны: (1) Слабая топология и топология Джекобсона на Х(А) совпадают. (й) Для каждого характера тенХ(Л) и каждой слабо замкнутой части Р в Х(А), для которой т,ФР, существует элемент хан А, такой, что Ух равно 1 в точке Х и О на Р. (И) Для каждого компакта К в слабой топологии и каждой слабо замкнутой части Р в Х(А), такой, что К() Р = О, существует элемент х ~ А, для которого Ух равно 1 на К и Она Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
