Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть М с: Х (Л). Замкнутость части М в топологии Джекобсона означает, чтодля каждогохарактераК~Х(А) М существует элемент х ен А, такой„что Ух обращается в нуль на М, но отлично от нуля в точке т,. Поэтому (!)$$(й). Ясно, что (ш)=4ь(й). Наконец, (!) р(й!) в силу следствия предложения 14, $4. Опрядилиние 1. Пусть А — коммутативная банахова алгебра. Она называется регулярной, если для нее выполняются эквивалентные условия предложения 1. 3 а м е ч а н и е. Пусть Л вЂ” банахова алгебра, полученная из А присоединением единицы. Как показывает условие (й) предложения 1, регулярноеть алгебры А влечет за собой регулярность А. Предположим, что А регулярна, и покажем, что тогда н А регулярна.
Пусть Р н Р' — пересекающиеся слабо замкнутые (следовательно, компактные в слабой топологии) части Х(Л); настроим элемент хек А, такой, что 3 зен, !мв Нормированные алгебры Ух=О на Р, Ух=1 на Р'. Пусть уоеи Х(А) — характер, обрашаюшийся в нуль на А. Если увэы Р', то, в силу условия (ш) предложения 1, существует элемент хеиА, такой, что Ух=О иа Р, Ух= 1 на Р'. Если то Ф Р, то, аналогично, сушествует элемент у ~ А, такой, что Уу=О иа Р', Уу=! на Р; поэтому мы можем положить х=е — у~ А. П р и меры.
Рассмотрим примеры 5 2, и'2. В примерах 1 (алгебра непрерывных функций на локально компактном пространстве ьг, стремяшихся к О на бесконечности) и 2 (алгебра п раз дифференцируемых функций на (О, 1)) А— регулярная алгебра (см. 5 3, и'3, примеры). То же самое будет доказано (гл. П, $3, предложение 1) и для примера 4 (алгебра Ь»(Х)). В примере 5 (алгебра функций, непрерывных в круге 1г1(~1 и аналитических в открытом круге) А не является регулярной 5 7, упр. 6).
Пвядложяния 2. Пусть А — регулярная коммутативная банахова алгебра с единицей. Пусть (У„..., У„) — какое- нибудь открытое покрытие пространства Х(А), Тогда существуют элементы х„..., х„~ А, такие, что их сумма равна 1 и вирр(Ух») с: У, для 1 1, 2... „п. Доказательство проведем по индукции. При п=1 предложение очевидно, Предположим, что оио справедливо для и — 1. Существует открытое покрытие (!'о ..., !г„) пространства Х(А), такое, что )г» ~ У; для каждого 1. Согласно предположению индукции, существует последовательность элементов х, х„х„..., х„я=-А, таких, что х+ хе+ ... + х„=1, зц РР (Ух) с: ~» () !',„зпРР (Ух) ~ )гг длЯ всех 1> 2. Положиы К = зпрр (Ух). Пусть К, (соответственно К,) — множество элементов из К, не принадлежащих»'» (соответственно $'з). Тогда К, и Кг — непересекаюшиеся компакты в К.
Стало быть, существует элемент у яя А, такой, что Уу = 1 на К„ Уу = О на Кз. Но тогда У (ху) обращается в нуль на Х(А) К и на К„следовательно, знррУ(ху)с")тзс: У,; аналогично, У(х(1 — у)) равно нулю на Х(А) К и на К„следовательно, зпррУ(х(1 — у)) с )7» ~ Уи Поэтому можно положить х,=х(1 — у), ха=ху, и тогда последовательность х„хм хз, ..., х„будет обладать требуемыми свойствами. Слядствия 1. ПустьА — регулярная коммутативная банахова алгебра с единицей, 3 — идеал в А, !': Х(А)-» С вЂ” не прерывная функция. Предположим, что для каждого Х еи Х(А) г Рггулярныв коммутатавныг банаховы алгебры 67 существует элемент ут ~ 3, такой, что 1 =Уу„в окрестности х, Тогда существует элемент у ~ 3, такой, что Уу = с на Х (А).
Так как Х(А) — компакт, то для него существуют конечное открытое покрытие (П„..., 11„) и элементы у„..., у„ен3, такие, что 1=Уус на Пс. Существуют (пред- ложение 2) элементы хо ..., х„ен А, такие, что их сумма равна 1 и зпрр(Ух;) с: (1с для каждого с. Пусть у = х,у, + ... + х„у„ ~ 3. Пусть, далее, Хя Х(А) и Л вЂ” множество тех с ~(1, ..., и), для которых х я По Если с ен Л, то Уу, (Х) =1(Х); если с' Ф Л, то Ух,(х)=0, следовательно, Уу(х) = Х Ухс(х)Уус(х) =1(х) Х,Ухс(х) = л -1(х) Х Ухс(х) =1(х) с=с Следствие 2. Пусть А — регулярная коммутативная бана- хова алгебра, 3 — идеал в А; ~: Х'(А) -~ С вЂ” непрерывная функция. Предположим что для каждого Хан Х'(А) существует элемент ух ен 3, такой, что 1 = У'у„. Тогда существует элемент у ен 3, такой, что 1=У'у на Х'(А). Пусть А — банахова алгебра, полученная из Л присоеди- нением единицы. Тогда А регулярна (замечание) и Х'(А) Х(А); таким образом, достаточно применить к А н 3 след- ствие 1 предложения 2.
Если 3 — идеал коммутативной банаховой алгебры, то мы обозначим через 1с(3) множество всех характеров хенХ(Л), ядро которых содержит 3. Другими словами, 1с(3) — это мно- жество точек х~ х(А), где обращаются в нуль все функции Ух для хен3; Ь(3) — часть в Х(А), замкнутая в топологии Джекобсона.
Првдложенссн 3. Пусть А — регулярная коммутативная банахова алгебра, 3 — идеал в А, К вЂ” некоторая часть Х(А), компактная и не пересекающаяся с Ь(3). Тогда существует элемент и ~ 3, такой, что Уи 1 на К. Это утверждение является частным случаем предложе- ния 14, 5 4. 2. Гармонический синтез Пусть А — коммутативная банахова алгебра. Если М вЂ” некоторая часть в Х (А), то мы обозначим через 1(М) пересечение ядер характеров нз М. Гл. 1,Уб Нормированные алгебры ее ПРедлОжение 4. Пусть А — регулярная коммутативная банахова алгебра без радикала. Пусть Š— замкнутая часть в Х(А).
Множество идеалов 3 в А, таких, что Ь(3) =г", содержит максимальный элемент, а именно 1(г), и минимальный элемент, а именно множество 3 элементов хек Л, для которых носитель функции Ух компактен и не пересекается с р. Утверждение, касающееся максимального элемента, очевидно. Ясно, что 3 — идеал в А и что Ь(3):э г". Если 11 ен Х (А) г", то существует компактная окрестность точки у, не пересекающаяся с Е. Пусть, далее, элемент хен А таков, что Ух равна 1 в точке т, н О вне т'; тогда хан 3, следовательно, т ей й(3) и, значит, й(3) =Р.
Наконец, предположим, что 3 — идеал в А, такой, что Ь(3)=Е, и покажем, что 3~3 Пусть С вЂ” компактная часть Х(А), не пересекающаяся с г", и х — элемент нэ А, такой, что эпрр Ух с С. В силу предложения 3, существует элемент и он 3, такой, что Уи =! на С. Тогда Ух=У(их) и, поскольку А — алгебра без радикала, х = их и, значит, х ен 3. Таким образом, 3с3 Слидствии 1. Пусть А — регулярная коммутативная банахова алгебра без радикала, 3 — множество тех х ен Л, для которых Ух имеет компактный носитель.
Предположим, что 3=А. Тогда каждый замкнутый идеал в А, отличный от А, содержится в некотором регулярном максимальном идеале. Пусть 3 — замкнутый идеал в А, который не содержится ни в одном регулярном максимальном идеале. Тогда Ь(3) = 8, следовательно, 3:а3 (предложение 4), откуда 3~3=А Слидствии 2, Пусть А — регулярная коммутативная банахова алгебра без радикала.
Пусть х, у ~ А. Если носитель Ух компактен и содержится в множестве тех точек, где Уу чь О, то элемент х кратен у в Л. Пусть 3=Ау, Тогда й(3) есть множество г" нулей Уу. Так как носитель Ух компактен и не пересекается с г", то к~3 (предложение 4). Опридилннии 2. Пусть А — коммутативная банахова алгебра. Говорят, что А удовлетворяет условию Диткина, если для каждого 11 ен Х'(А) и каждого х~ А, такого, что У'х обращается в нуль в точке т,, существует последовательность (хо х„...) в А, такая, что х= 1пп (х„х) и каждая функция У'х„обращается в нуль в некоторой окрестности У„ точки )(. у Регулврные коммутативные банаховы алгебры бз С другой стороны, пусть А — коммутативная баиахова алгебра, 3 — идеал в А, х ~ А н у ~ Х'(А). Говорят, что х принадлежит идеалу 3 в окрестности точки т., если существует элемент у ~ 3, такой, что У'у = У'х в некоторой окрестности точки т,.
3 а м е ч а н и е. Пусть А — коммутативная банахова алгебра, 3 — идеал в А, у — элемент в Х(А), такой, что уФЬ(3); тогда любой элемент х~ А принадлежит 3 в окрестности точки т,, Действительно, согласно определению 1, существует элемент г ен А, такой, что У'г = 1 в окрестности точки у. и У'г =0 в окрестности Ь(3); значит, г ен 3 (предложение 4), и, следовательно, хг е= 3 и У'(хг) = У'х в окрестности точки у.. Ламма 1. Пусть А — регулярная коммутативная банахова алгебра без радикала, удовлетворяющая условию Диткина.
Пусть 3 — замкнутый идеал в А, х — некоторый элемент из 1(Ь(3)). Пусть, далее, 6 — множество точек у. ен Х'(А), таких, что х принадлежит 3 в окрестности точки т, Тогда Х'(А) 6— совершенное множество (т. е, замкнуто и не имеет изолированных точек). Ясно, что 6 — открытое множество. Предположим, что Х'(А) 6 содержит изолированную точку те. Мы покажем, что это предположение приводит к противоречию. Так как уе— изолированная точка в Х'(А) — 6, то существует окрестность У этой точки, такая, что 6 †(у ) ~ 6. Если Хе ~ О, то существует элемент и е А, для которого У'и = 1 в окрестности точки уе и У'и = 0 в окрестности Х'(А) — 6. Принимая во внимание замечание, мы видим, что их принадлежит 3 в окрестности любой точки у чь уе и не принадлежит 3 в окрестности точки хо. Если те=О, то существует элемент о ~ А, такой, что У'о =-0 в окрестности точки уе и У'о=1 в окрестности Х'(А) — П.
Снова принимая во внимание замечание, мы видим, что х — ох принадлежит 3 в окрестности любой точки у. чь уа и не принадлежит 3 в окрестности точки уа. Итак, в каждом из рассмотренных случаев мы указали элемент уев А, принадлежащий 3 в окрестности любой точки Х'(А) (те) и такой, что та(у)=О. Так как А удовлетворяет условию Диткина, то существует последовательность (х„ хы ...) в А, такая, что х„у стремится к у при и-ы со н каждая из функций У'х„обращается в нуль в некоторой окрестности точки уе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
