Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Если А — инволютивиая нормированная алгебра, а ) — непрерывная линейная форма на А, то 11)* Д = 11) Д. Множество А„ эрмитовых элементов из А является вещественным нормированным векторным пространством. Пусть ! — линейная непрерывная эрмитова форма на А и б=-~(Аег Тогда Д1Д= =11 аД. Действительно, ясно, что ~11Д>Д д~(; с другой стороны, для любого в > 0 существует элемент х ~ А, такой, что Д х Д ( 1 и 1~(х)!>Д7Д вЂ” е. Заменяя х произведением х на скаляр, равный 1 по абсолютной величине, можно считать, что !(х)>0; тогда )й(-(+ ))~ — -1~()+И И вЂ” П)>И-., и поскольку (~ — (х+ х')~(~1, мы имеем Д дД>Д !'Д вЂ” а, откуда, ! в силу произвольности а>0, вытекает наше утверждение.
Эрмитовы непрерывные линейные формы на А можно, следовательно, отождествить с вещественными непрерывнымн линейными формами на А», ! 8. С"-алгебры Опгедвлвнив 3. С'-алгеброй называется инволютивная банахова алгебра А, такая, что Д хК=Дх'хД для всех хан А. Примеры 1 и 2 п' 2 являются примерами С*-алгебр (Тоа. вект. ар., гл. Ч, 2-е изд., $1). Напротив, алгебра примера 3 не является, вообще говоря, С'-алгеброй.
За меча ни я. !) Пусть А — банахова алгебра, снабженная инволюцией, удовлетворяющей аксиоме (1) Д х Де ©! х'х ~1 Из (1) следует, что ДхК~(Дх'ДДхД, откуда ((хД<Дх'Д, и, заменяя х на х', мы получаем, что ДхД=Дх'Д. Следова- г!нволютивные нормированные алгебры тельно, (1) влечет за собой неравенство !! х1г'~»1х'х!!(1| х!г', и, стало быть, А есть С'-алгебра.
2) Пусть А есть С*-алгебра. Тогда для каждого элемента х ы А имеет место равенство !! х !! = зир !! хх' !!. !!хч < ! В самом деле, ясно, что !!я'1!(1 влечет за собой 11 хх'1! ( ч.. !!х!1 При доказательстве неравенства !!х!!( зпр 11хх'!! !!ьв!! ~ ! можно считать,что11х!1=1. Тогда!1 х"!1=1 и~1хх ~!=~!х!!"=1 ° 3) Пусть А есть С'-алгебра с единицей.
Имеем !! 1 !г =-!1 1'1 ! = 1! 1 1~. Следовательно, !!1!1=! или О. Если АФ(0), то 1!111=1, откуда для всех унитарных элементов и получаем !~и 11= =- !! йи !!ч = 1. 4) Пусть (А;) — семейство С'-алгебр. Пусть А — множе- ство всех последовательностей (хг) еи Ц А„ таких, что зпрА!х,~~( + аа. Если ввести на А операции (х)+(у)=(х, + у ~, Л(х)=(Лх), (х) (у)=(ху), (х)=(х) и норму !(х!)!1=вар!!х!$ то, как нетрудно убедиться, А станет С'-алгеброй.
Она называется произведением С*-ал- гебр Ар 5) Пусть А — инволютивная нормированная алгебра. Если !!х!!'=!!х'х!) для всех хе=А, то пополнение А алгебры А есть С'-алгебра. Првдложвнив 1. Пусть А — инволютивная банахова алгебра, В есть С'-алгебра, и — некоторый морфием инволю- тивной алгебры А в инволютивную алгебру В. Тогда для всех хе= А справедливо неравенство !а(х)!!»»1~ х~1. Заметим, что для каждого эрмитова элемента у в В имеют место равенства !!у'11=!!уу1!=!!у!в, откуда ~1!у' !! =!!у!! и, следовательно, (2) р(у) =!!у!1.
Ранее было отмечено ($1, и' 3), что для каждого элемента х~А мы имеем Зр'п(х) с: Яр'„х; стало быть, р(п(х)) »р(х) Я1х!! и, значит, с учетом (2) 11 и (х) !(! = 1~ и (х'х) !! = р (а (х'х)) ~ !! х" х !! ( !! х !г. Нормированные алгебры Гл. Лбе Пгздложзнив 2. Пусть А есть С'-алгебра, А — инволютивная алгебра, полученная из А присоединением единицы. Тогда на алгебре А существует и притом единственная норма, которая является продолжением нормы на А и относительно которой А становится С'-алгеброй. Единственность такой нормы вытекает из предложения 1.
Если А содержит единичный элемент е, то А представляется в виде произведения двусторонних самосопряженных идеалов А и С(е — е) (через е обозначен единичный элемент из А). Достаточно положить для всех хя А и Лен С !! х+ Л (е — е) !! = зпр Ц х !1, ! Л 1); тогда, в силу замечания 4, алгебра А окажется С'-алгеброй. Предположим теперь, что алгебра А не содержит единичного элемента. Для каждого элемента х~ А положим 1хв='зь„1, где ܄— оператор умножения слева на х в алгебре А. Определенная так норма элемента х~ А, в силу замечания 2, совпадает с исходной нормой на А. С другой стороны, х ~1хЗ есть полунорма на А и ~|ху||а !|хЗ !!у!!.
Эта полунорма фактически является нормой. Действительно, пусть х=Ле — х' (Ля С, х'яА) — элемент из А, такой, что ху = 0 для всех у ~ А; покажем, что тогда х = О, Если Л Ф О, то Л 'х — левая единица в А; следовательно, Л 'х'— правая единица в А и, значит, А, вопреки предположению, содержит единичный элемент; стало быть, Л =О, и тогда !!- х'!1=-0, т. е. х'=0 и х=О. Тем самым доказано, что х ~1хз есть норма. Так как А — полная алгебра коразмерности 1 в А, то алгебра А также полна. Остается показать (замечание 1), что ~!г!(га..~!хх!! для всех в~А; можно ограничиться случаем з х 'з =!. Для каждого г < 1 существует элемент уев А, такой, что !!у!!(! и ~~ худ)~г; тогда, пользуясь тем, что гу ~ А, имеем 'ох г ((~)'в у (г г)у'в=в (ху) (гу) 'и=!! гу1~ ~)г~ откуда ~!г г~! г:1.
Говорят, что алгебра А, снабженная нормой, указанной в предложении 2, есть С'-алгебра, полученная иэ А присоединением единицы. Заметим, что эта норма С'-алгебры на А не совпадает с рассмотренной в п' 2. Пгидложиние 3. Пусть А есть С-алгебра. (1) Если Ь вЂ” эрмитов элемент в А, то Зр'й с:.К. Онеолютаеные нормнгоеанные алгебры (й) Если алгебра А содержит единицу и если и — унитарный элемент из А, то Зри ~(). В силу предложения 2, при доказательстве этих двух утверждений можно алгебру А считать алгеброй с единицей (если А Ф(О)). Имеем !!и!!=!1и '!!=1 (замечание 3), следовательно, Зри с: () (5 2, следствие 3 теор.
1). С другой стороны, е,е ее еье ! )л ьн (ехр(!Ь))'= )~~ — „, ) =лт,' „, =ехр(-гЬ), а е е=е и, стало быть, элемент ехр(1Ь) — унитарный; следовательно, если гя ЯрЬ, то ехр(1г)я 15 и, таким образом, г яК. Пвидложннив 4. Пусть А есть С'-алгебра,  — ее С*-подалгебра и х ы В. Тогда (~) Яр„х Яр х. (й) Если А содержит единичный элемент, принадлежащий В, то  — наполненная подалгебра в А и 3рлх= 3рвх. Присоединение единичного элемента дает возможность из (й) вывести (1). Докажем (й). Если х — эрмитов элемент, то Брахе:.К; следовательно, Яре х=8рлх (5 2, предл. 6).
В общем случае, если элемент хан В обратим в А, то хх" обратим в А и, стало быть, в силу сказанного, в В; значит, х обратим справа в В. Точно так же получается, что х обратим слева в В и, следовательно, х обратим в В. Поэтому  — наполненная подалгебра в А и, значит, 3рлх= Бргх. и. Коммутативные С'-алеебры Твотвмь 1, Пусть А — коммутативная С'-алгебра, В— С"-алгебра непрерывных комплексных функций на Х(А), стремящихся к 0 на бесконечности. Тогда (1) каждый характер алгебры А эрмитов.
(й) Преобразование Гельфанда является изоморфизмом С-алгебры А на С'-алгебру В. Если элемент х ~ А эрмитов, то Ух — вещественная функция (предложение 3). Стало быть, Ух'=Ух для всех х ~ А, и утверждение (1) доказано. Так как функции Ух разделяют точки пространства Х(А) и для каждой точки в Х(А) существует функция Ух, не обращающаяся в нуль в этой точке, то У(А) плотно в В (Общ. топ., гл. Х, 2-е изд., $4, след.
2 предл. 7). Для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что У вЂ” изометрическое огображение. Но Гя Лэ" б Нормированные алгебры !!Уу!!=!!у!! для эрмитовых элементов у (формула (2)), откуда для всех х ~ А имеем !! х !Г = !! х*х !! = !! У (х'х) !! = !! Ух Ух !! =- !! Ух !!г. Следствия. Пусть А есть С-алгебра, х — нормальный элемент в А. Тогда !!х!!=р(х). Так как х и х' порождают коммутативную С'-подалгебру в А, можно ограничиться случаем коммутативной алгебры А, Но тогда наше утверждение немедленно вытекает из теоремы 1. Ю. Функциональное исчисление в С'-алгебрах Пэвдложинив 5. Пусть А есть С-алгебра с единицей, х~ А — нормальный элемент, 5=8рлх, А' есть С*-алгебра с единицей непрерывных комплексных функций на Я.
Тогда существует и притом единственный морфием алгебр с едини- цей у инволютивной алгебры А' в инволютивную алгебру А, такой, что гр(г) = х, где х — функция Л~-~Л на 5. Этот мор- фием изометричен. Его образ есть С'-подалгебра с единицей в А, порожденная элементом х и, стало быть, состоящая из нормальных элементов.
Многочлены от г и й всюду плотны в А', и любой мор- физм из А' в А непрерывен (предложение 1), откуда немед- ленно вытекает единственность морфизма ~р. Пусть В есть С'-подалгебра с единицей в А, порожденная элементом х. Она коммутативна.
Отображение т, ~-ь т,(х) пространства Х (В) на Яре х= 5 непрерывно и инъективно, так как два харак- тера алгебры В, совпадающие в точке х, совпадают всюду (теорема 1 (1)); это отображение порождает изоморфизм ф: А'-+!у(Х(В)), который преобразует функцию а в функ- 'цию Увх. Изоморфизм -! А Ф !у(Х(В)) 'э В в суперпозиции с инъекцией  — А является искомым мор- физмом. Опоидвлннии 4. Если х — нормальный элемент в А и ) ~У(Зрлх), то элемент ~р()), указанный в предложении 5, обозначается )(х). Имеют место равенства (3) (Г+ и)(х)=Г(х)+ и(х), (4) Щ)(х) =~(х)й(х), (5) 7(х) =7(х), (6) !! ) (х) !! = !! Р !! Инволютивные нормированные алгебры 79 для ~, уев%'(8р х). Если ) — сужение на 5 многочлена Р(Л, Л), то 1(х)=Р(х, х') в обычном алгебраическом смысле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
