Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В силу следствия предложения 6, $2, множество Яра а г есть объединение множеств Ярк а )ге = йг и соответствующих компонент связности дополнения к йе, если О,— одна из них, то сУществУет точка Х~Е() Об так как (Х вЂ” гг) ~ ~ енЙе(Ре), то ХФ Яра (а )ге н, стало быть, О, не содержится в Яра ) г . Таким образом, Яре о ге — — й . В то же время, в силу (1), Яре,а,г=Яря )ге. Тем самым утвере в е ждение (1ч) доказано, а утверждения (В) н (тй) вытекают нз предложения 8, $ 3, если воспользоваться канонической инъекцией Йе(йе) в тр(йе). Докажем утверждение (ч); очевидно, что (Ь)4$(с); в силу 0ч), (а))г(Ь).
Допустим, что йе = йе, и покажем, что Йе(Р) = Йе (й); так как Ие = йг =- йгце, то можно считать, что Е с: Е', в силу (В), Йе(йг)— наполненная замкнутая подалгебра в Ж(йе) и, стало быть, в Йгт(йг), содержащая гг. Поэтому Йе (Ие) = Йе' (йе) и, в силу (1), Йе(й) = Йе (й). Слвдствнв 1. Следующие условия эквивалентны: (а) Е имеет непустое пересечение со всеми множествами Ое. (Ь) Отображение Хг-эХ(г) является гомеоморфизмом пространства Х(Йв(й)) на Р.
(с) Йв (й) = Й (й). Пусть Е'=С Р, Условия (а), (Ь) и (с) соответственно эквивалентны условиям 1(Е)=!(ЕУ), йе=йг (в силу предложения 5 (1ч)), Йе(й)=Йь" (й). Поэтому наше утверждение вытекает из предложения 5 (ч). Слвдствин 2. Пусть для каждого 1~1 выбрана точка Х, я Ое Пусть ) — комплексная голоморфная функция в некоторой открытой окрестности й. Тогда ~~И является равномерным пределом сужений на И рациональных функций, полюсы которых расположены в точках А,. Это вытекает из следствия 1 и предложения 4, $4. приложииии Пусть Л вЂ” некоторое множество, Ф вЂ” часть в Сь. Ясно, что следующие условия эквивалентны: (1) Часть Ф представляет собой множество точек (сь)~Сь, для которых существуют конечное нли бесконечное семейство (Р;) элементов нз С~(Х„) 1 и семейство (М;) вещественных чисел, такие, что !Р,((сь))1(Мо (И) Для того чтобы точка (сь) из С~ принадлежала Ф, необходимо и достаточно, чтобы 1Р((сь))1«- зпр 1Р(с)1 для сыФ всех Р ен С[(Хь)).
Такая часть в Сь называется полиномиально выпуклой. Любое пересечение полиномиально выпуклых частей в Ск полнномнально выпукло. Стало быть, какова бы ни была часть Ч' в С~, существует наименьшая полиномиально выпуклая часть Ф в С*~, содержащая Ч'. Говорят, что Ф вЂ” полиномиально выпуклая оболочка части Ч'. Она представляет собой множество всех точек (сь)ен Ск, таких, что ~Р((с„))~( < знр1Р(с)1 для всех Р е= С[(Хх)). ч ~ 'К Если часть Ч' замкнута, то Ск Ч' открыто и, стало быть, локально связно; поэтому каждая его компонента связности открыта. Если к тому же множество Л конечно, то нз принципа максимума следует, что каждая ограниченная связная компонента С~ — Ч' содержится в Ф.
Пусть Л' — некоторая часть в Л, Ч" =рг,Ч' и Ф' — полиномиально выпуклая оболочка части Ч"' в Сь'. Поскольку каждый элемент нз С 1(Хх), к,[ отождествляется с некоторым элементом из С[(Хь) ~, справедливо соотношение Ф'~ргьтФ. Ламма 1. Пусть Ф с:. Сь — компактная полиномиально выпуклая часть, ь1 — некоторая ее окрестность. Тоеда существует конечная часть Ль в Л, такая, что для каждой части Л' из Л, содержащей Л, рг„,(11) содержит полиномиально выпуклую оболочку части рг,(Ф).
Поскольку Ф вЂ” компакт, Ф содержится в произведении компактных кругов Йь с центром в О радиусов Ль (Х~Л). Приложение Для каждого многочлена Р ен С [(Хх)) пусть Фр — множество всех Ыен Сь, таких, что [Р(д) [<анр1Р(с)1. Имеем Ф=~П Рх) П~ПФз)с:(1. Так как ЦРь — компакт, то существуют многочлены Р„... ..., Р, еи С [(Хь)), такие, что (2) (ПРь)()Фр,П ПФе,с:(1 Пусть Ль — множество индексов тех переменных, которые фактически присутствуют в Р„..., Р,.
Пусть Л' — некоторая часть Л, содержащая Ль. Пусть Š— часть Сл', определенная неравенствами [с„[(Я (к ~ Л) н 1Р;((сх))1(зпр[Р,(с) [ сяФ (1 = 1, ..., у). Тогда Š— полиномиально выпуклая часть. В силу (1), рг,(Ф) с: Е. С другой стороны, пусть (сх)х к,енЕ; пусть, далее, (Ых), — элемент из Сь, определенный следующим образом: Йь=сь для Лен Л', Ых=0 для ЛенЛ Л'; тогда, в силу (2), (Ы~) ен 11, стало быть, (сх) ен рг,(Я). Таким образом, Е~ ргр,(Й), чем и завершается доказательство. Ламма 2. Пусть п)0 — целое число и Ф вЂ” полиномиально выпуклая компактная часть в С".
Тогда Ф обладает фундаментальной системой полиномиально выпуклых компактных окрестностей. Существуют компактный полнцнлиндр Л в С", внутренность которого содержит Ф, и семейство (Р;),, элементов из С[Х„Хм ..., Х„), таких, что Ф представляет собой множество тех точек (г„..., х„) ~ Ь, для которых 1Р,(г„..., аь)14М~ при всех 1. Для каждой конечной части Т множества Т и любого е)0 пусть Фз„— множество всех (хо ..., х„) енЬ, таких, что 1Р,(г„..., г„) ~(М,+е для всех (а=У.
Тогда каждое множество Фл, есть полиномиально выпуклая компактная окрестность части Ф и пересечение всех Фл, совпадает с Ф. Стало быть, Фл, образуют фундаментальную систему окрестностей части Ф (Оби1. топ., гл. 1, 4-е изд., $9, теорема 1). УПРАЖНЕНИЯ 1) Пусть (еь ез) — канонический базис в ГГ» н и — элемент алгебры А = х (ГГз), определенный равенствами и (е,) = ез, и(е,) = — еь Показать, что Бр и=р), Вр и'=( — !). А ' л 2) Пусть р — мера Лебега на (О, 1).
Н вЂ” гильбертово пространство йз ((О, !), Р), А = Ы (Н) и х ~м А — оператор, который преобразует функ. цию Г(!) в функцию ГГ(!). Показать, что Врл» = (О, 1), но оператор х не имеет ии одного собственного значении. 3) а) Пусть Н вЂ” гильбертово пространство с ортонормированным базисом (аз, ез, е„...) и А = Ы(Н). Рассмотрим оператор Т <м.»'(Н), такой, что Те!=а! для всех 1~~0, и оператор Т'чм.В'(Н), такой, что т+! Т'а, ез, для Г)1 и Т'ее —— О. Показать, что Т'Т=1, но ТТ'во=О, так что Ври(7"Т) чь Ври (ТТ').
Ь) Пусть А — иетерова алгебра с единицей иад некоторым полем. Показать, что если х, у ы А, то Зр(ху) = Вр(ух) (использовать упражнение 8 Ь) из Алг., гл. УГП, в 2). 4) Пусть А — коммутативная алгебра над С, Г5 — идеал в А, л — каноническая инъекция Д в А, 5 — множество характеров Х ы Х'(А), которые аннулируют Д. а) Показать, что отображение Х'(й) сюръективно.
Ь) Показать, что отображение Х'(Д)!(Х'(А) 5) является гомеоморфизмом из Х'(А) 5 на Х(В), (Пусть ГГ, са Х'(А) 3. Пусть хо ..., х„~ А, е>0 и У вЂ” окрестность точки )(з в Х'(А), определенная неравенствами ((Гà — )Г )(х,) )(е(1=1,..., и). Пусть элемент ио ~м 3 таков, что У (ис)=!.
Положим и =»ох Гмчз. Тогда если ((У вЂ” то)(и ))~б (1= 0, 1, ..., и), где б достаточно мало, то у зц У.) 5) В упражнении 4 выберем А = С (Х, У],,",» = АХ. Пространство Х(А) отождествляется тогда с С', 3 (0) — с [0) )ч С. Пусть Гà — множество точек ($, ц] ~ С', таких, что !$)<а ! "~. Показать, что Х'(л)(ГГ) ие является окрестностью нуля в Х'(Э. Вывести отюда, что Х'(1) нельзя отождествить с факторпростраиством Х'(А) по отношению эквивалентности, которое определяется отображением Х'(6). (По этому поводу см. $3, упр.
17.) 6) Предположим, что А — коммутатнвная алгебра над полем, У! — ее максимальный идеал. Показать, что либо Аз ~,т н б!ш Аф = 1, либо АГ() является телом. (Применить к факторалгебре А(оГ упражнение 3 из Алг., гл. 1, $9.) В частности, если А»=А, то каждый максимальный идеал в А регулярен. 7) Пусть А — коммутативиая алгебра иад полем К, хе А и цен К. Показать, что множество характеров ГГ зц Х(А), такаю что (Ух) (у) =а, замкнуто в топологии Лжекобсона. (Это утверждение может быть сведено к случаю, когда А содержит единичный элемент, а затем к случаю а=О.) 4 за», Гыа Нормированные алгебры Ч( 8) Пусть А — некоторая алгебра, 3 — двусторонний идеал в А, 1 (А) — множество всех примнтивиык идеалов в А, которые не содержат 3, 3 и А — множество всех отображений цен А, таких, что я(3) Ф О.
а) Показать, что если пои Аз, то н(3 ем 3 (лемма 1 (!)). Если ото. бражеяия и. и'зн А таковы, что я) 3 и и'(3 эквивалентны, то я и и' эквивалентны. (Можно считать, что п(х) = и'(х) для всех хм 3. Тогда для каждого элемента у зы А значении п(у) и и'(у) совпздают из ~~~, ')а я(х), а вто подпростраиство совпадает с пространством предх ставлеиия и.) Ь) Покзззть, что если и зм 3, то и продолжается до некоторого эле"н мента из А .
(Пусть Я вЂ” регулярный мзксимальиый левый идеал в 3. Пусть д — какая-нибудь правая единица в 3 по модулю з). Предполагая, что А содержят единичный элемент, показать, что соотношение Ар) + + А (! — й) = А влечет за собой узы 2). Стало быть, АР! + А (! — у) содержится в некотором максимальном левом идеале 2И из А. Показать, что %()3=у!. И+3= А) с) Вывести из а) и Ь), что отображение 3'ь-в.3'()3 является гомеоморфизмом Р(А) нз 7(3) и что отображение л-ьп!3 является гомеоморфизмом АЗ на 3.
!) Пусть А — алгебра непрерывных комплексных функций на )с, стремящихся к 0 на бесконечности, снабженная нормой !!г!! знр (г(!)!. хм я Показзть, что тогда А отождествляется с алгеброй непрерывных комплексных функций, стремящихся к некоторому конечному пределу на бесконечности. Показзтгч что норма (!у(! знр!у(!)) иа А отлична от тын нормы, определенной в и' !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
