Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2) Пусть А — нормированная алгебра и Ь = (и! (!|хз!!г!!х!!з), Показать, х,ьо что тогда Ь ~ !п((р (х)Дх!!) ~ 'г' Ь. х чье 3) Показать. что если А — иормированнаи алгебра и х, у !м А, то .р (ху) = р(ух). 4) Пусть Н вЂ” гильбертово цространство с ортоиормироваииым базисом ()ь (з, ...).
Пусть А — нормировзниая алгебра 2'(Н). Пусть, далее, отобрзжеиие х <я А определено равенствами х(г;) =2 ~)гье Показать, что х — квазииильпотентиый элемент в А, не являющийся инльпотеитиым. П б) Пусть Н вЂ” гильбертово прострзнство с ортоиормироваииым базисам Дь (з, ...). ОпРеделим числа ао аз, ... Равенствами пж е З, если т представляется в виде произведения 2 иа нечетное число. Определим отображение лен 2'(Н) с помощью равенств Показать, что х не является квззннильпотентным. (Заметнтгь что ()х")! .зпр(ц~п„,е~ ...
а„,эи 1), Упражнения и оценить а,а ... и, А Пусть ха сп.У(П) определены равенствами с з ''' з — сс хь(с ) = О, если ис представляется в виде произведения 2а на нечетное число, и хь() ) а )м+с в противном случае. Показать, что ха пиль. потентны и что !!х - х )! стремится к О. 6) Пусть К вЂ” компактная часть С; А — баиахова алгебра яепрерывнык функций на К, свабженная нормой !11!! = зпр !С(С)!; )з — элемент с д вида хс-эх в А. Показать, что Зрл)о К. 7) Пусть А — баяакова алгебра с единицей.
Пусть элемент хсмА таков, что !1х — 11!(!. Показать, что существует элемент у си А, для которого уз= х. (Использовать разложение в ряд.) 8) Пусть А — иормироваинаи алгебра с единицей. Показать, что если !! х )!= !!х!! для любого обратимого элемента х сы А, то А С ° 1. (Этот результат сводится к случаю, когда алгебра А полна. Пусть рас. стояние от элемента х см А до множества С 1 равно а) О. Если Лз ~ С таково, что элемент х — Лз обратим, то элемент х — Л обратям пря !Л вЂ” Лз! <а. Отсюда можно вывести, что спектр такого элемента х пуст.) 9) Пусть А — нормированная алгебра с единицей, в которой единственный левый топологический делитель нуля есть О и единственный правый топологический делитель нуля есть О.
Показать, что тогда А С 1. (Если хщА н Л вЂ” точка границы 5р х, то х — Л-топологическнй де- А литель нуля в А и, стало быть, в А. Следовательно, х =Л.) !О) Пусть А -нормированная алгебра. Для каждого элемента хан А положим Л(х) 1п1 (!1хр!Др!!), Л'(х) 1п1 (!!ух)!(!!р!!). и,ьэ и,ьо Доказать справедливость неравенств )Л(х) — Л(р) ! ~ !1х — у!!, !Л'(х) — Л'(у)! < 1)х — у!1, Л(х)Л(р)<Л(хд)<)х!)Л(у), Л'(х)Л'(у)<Л'(хр)<Л'.(х)!!р!1. Вывести отсюда, что множество левык (соответственно правых) топалогнчесиик делителей нуля замкнуто.
1!) Пусть А — баиакова алгебра с единицей. Показать, что множество всех необратиммк элементов в А, не являющихся топологнческими делителями нуля, открыто в А. 12) Пусть Х вЂ” комплексное банаково пространство, и пусть х ы А = З (Х). Показать, что если х не обратим, то х — левый или правмй топологический делитель нули.
(Последовательно рассмотреть случая: !') отображение х не инъективпо; 2') х(Х) чь Х; 3') х — ияъективное отображение, х(Х) всюду плотяо в Х н отлично от Х.) Показать, что если х — взаимно непрерывное отображение пространства Х на замкнутое подпространство в Х, отличное от Х, или если х не инъективно отображает Х на все Х, то х является внутренней точкой множества иеобратимык элемеятов в А. 13) Показать, чго в алгебре А из примера б и'2 функция я не является ни обратимым элементом, ин топологическвм делителем нуля. 14) Пусть А — нормированная алгебра с единицей и В 2'(А). По-. казать, что образ алгебрм А пря морфиэме х с — мах является наполненной подалгеброй в В, (Йспользовать Ахг., гл, Ч)П, $1, предл.
4.) Следовательно, если хси А, то 5рл х 5ря Ьх. $ !6) Пусть А — банакова алгебра. Гл / //ормироеанные алгебры 100 а) Г!усть 5 — множество ограниченных последовательностей элемен. тов из А с нормой !!(х„Ц =зир 1!хи!1. Пусть Я вЂ” можество последовательностей (х„)щ5 таких, что !!ха!! стремится к нулю. Показать, что 5 — баиахова алгебра, а Я вЂ” двусторонний замкнугый идеал в 5.
Пусть йс 5-» 5' = 5/Я вЂ” канонический морфизм. Показать, что тогда отображение х ь-ь. ф (х, х, х, ...) = 0 (х) является изометрическим изоморфизмом алгебры А на некоторую подалгебру в 5'. Показать далее, что каждый левый топологический делитель нуля в 5' является также левым делителем нуля. Для того чтобы элемент х гж А был левым топологическим делителем ну.тя, необходимо и достаточно, чтобы элемент 0(х) был левым делителем нуля в 5'. Ь) Предположим, что А содержит единичный элемент. Показать, что существуют некоторая банахова алгебра В н изометрический изоморфизм алгебры А на некоторую подалгебру в В, такие, что элемент из А необратим в том и только в том случае, если его образ в В явлвется левым или правым делителем нуля. (Использовать а) и упражнения 12 и 14.) 16) а) Пусть А — нормированная алгебра, Я вЂ” ее радикал. Показать, г что если х щ Я, то х — квазинильпотентный элемент.
(Имеем Зрлх =(0) н тем более Зрл х = (0).) Ь) Пусть А — банахова алгебра, Я вЂ” ее радикал, Д вЂ” левый идеал в А, все элементы которого квазинильпотентны. Показать, что тогда ~~~ Я. (Можно предполагать, что алгебра А содержит единичный элемент. Если х щ~ и а ~а А, то Зр(ах) =(0); следовательно, элемент 1 — ах обратим и, значит, х щ Я.) 17) Предпо.зажим, что А — банахова алгебра,  — алгебра над С без радикала, ф — морфиам из А в В.
Показать, что ядро морфизма и замкнуто. (Это ядро является пересечением регулярных максимальных левых идеалов.) 18) Пусть А — банахова алгебра, п — ненулевое неприводнмое представление алгебры А в комплексном векторном пространстве Х. Пусть вз — ненулевой элемент нз Х. а) Показать, что аннулятор 3 точки $з является регулярным макси. мальным левым идеалом алгебры А; этот идеал замкнут. Ь) Показать, что отображение хе-ь. хсю определяет после перехода к факторалгебре язоморфнзм ф А-модуля А/Д иа А-модуль Х.
с) Показать, что нзоморфизм ф банахова пространства А/Д на про. странство Х индуцирует на последнем норму, относительно которой Х становится банаховым пространством, и !!ф(х)11(~ !1хй для всех х гн А. д) Показать, что если алгебра А примитивна (Алг., гл. 1г1!1, б, упр. 8), то А=(0) илн С ° 1 в зависимости от того, содержит ли А единичный элемент или нет. (Использовать предыдущие упражнения н следствие 4 теоремы 1.) 1(19) Пусть А — банахова алгебра и И вЂ” ее радикал.
а) Показать, что если ггн Я, то ряд 1 ~~ ( !/2 ) з ! сходится к элементу х си Я, такому, что хз — х+ г= О. Ь) Пусть класс смежностя в А/Я, которому принадлежит злемеит игмА, является ндемпотентом. Показать. что существует ндемпотент в А, сравнимый с элементом и по модулю Я. (Можно предполагать, что А содержит единичный элемент. Пусть д и — и' зы Я и х зм Я— построенное с помощью а) решение уравнения х' — х — а(! — 44) '=О. Тогда и — (2и — 1) х — искомый идемпотент,) Упражнении 20) Пусть А — баиахова алгебра с единицей, х чм А, ь — точка границы Врлх.
Показать, что резольвеята элемента х ие манжет быть продолжена до функции, непрерывной в точке ь. 2!) Пусть А — банахова алгебра с единицей, Л вЂ” некоторая откры. тая часть в С, Х ь-э /г(з) — отображение Л в А, такое, что (П /у(й) - /у(р) ° — (з — р) /!(з) /у(р) при всех з, ргмЛ. а) Пусть ХзшЛ.
Показать, что для всех ЛгмЛ, таких, что ! Л вЂ” Лз ! )ч Х 1! Я (ь) !! < 1, справедливо равенство /1Р„) ~ ( й)з/1(д )з+! Ь) Показать, что для всех )геиЛ (А"ййи) В (Л) -( — П" а! В (Ц"+!. с) Показать, что если отображение /г голоморфио па бесконечности, то существуют элементы х, /, ггиА, такие, что г' О, !'=/,г!=/г= О, х ~/А/ и для достаточно больших аиачеиий ! Х! имеет место равенство /!(Л) г+//г(А, х). (Записать /1(ь) ~ сзХ "при ()!(>Лз ввоспольз е зоваться тем, что для Р справедливо равенство (1). Можно положить с, г, с,=/, с»=х.) б) Показать, что отображение /1 есть сужение иа Л резольвеиты яе. которого элемента из А в том и только в том случае, если при иехотором зччиЛ элемент /1()Г») обратим. е) Показать, что при всех хсвА фуикцияз !-~ ~ч~, '()Ьз — Х)"х"~~ удовлетворяет соотношению (1), если ! Л вЂ” Хз !((х ()<!. 1( 22) а) Пусть  — баяахова алгебра с единицей, шгмВ, С>1 и е>0.
Показать, что существует ц>0, такое, что из условий игмВ, !!и!!<С, !!ию — ш)<ц, 0(у( 1/4С следует неравенство !!уш — ш) <е, где у (1 — у+ уи)-'. Ь) Пусть А — баиахова алгебра Предположим, что существует постоянная С, такая, что для любого е>0 и любых элементов хь х, ..., х гм А существует элемеит игзА, для которого !! и !!<С, (! их,— х, !(< е, ... ..., !!ихз — хз!!<з. Показать, что для всякого гшА и любого 6>0 существуют элементы х, ргиА, такие, что г = хйх у гж Аг, !! г — у !!<6. (Можно считать.
что С>!. Пусть у = 1/4С. Применяя а) к А, определить по ии. дукцяя последовательиость и„из, ... элементов в А, таких, что»из»<С. элементы х Х у(1 у)» !и»+(1 у)л » ! имеют обРатиые бю и пРи этом 11/зг — Гя,г!! <6/2", 11/,г — г!! <6/2. Полагая р„= г„г, мы видим, что р„стремятся к некоторому пределу уеиА, Р а х„стремятся к элементу х= ~Ч~', у(1 — у)» 'и; элементы хи р обла. »' ь 1 цают требуемыми свойствами.) Гл. г Иориироэанные алгебры 102 с) Пусть А — банахова алгебра, удовлетворяющая всем условиям из Ь). Пусть (хь хз...,) — некоторая иоследовательиостьэлементов из А, стремящаяся к О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
