Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Для каждого элемента агж А коордннатнан функция в окрестности 8 (а) ~ С определяет элемент х на О(Х(А)). Непрерывная сюръекция Х(А)-ь8(У) определяет непрерывный морфизм Ж(8(У)) в Е(Х(Л)). Морфизмы О(5(У))ьйг(8(У))-эЖ(Х(А)) определяют непрерывный морфизм ~р: О(Х(А) ) — ь 2У(Х(А)). Этот морфизм, вообще говоря, ие инъективен. Показать, что существует и притом единственный непрерывный морфизм алгебр с единицей ф из О(Х(А)) в А, такой, что ф(хи)=а для каждого элемента а гж А (применить теорему !). Суперпозиция этого морфнзма с преобразованием Гельфанда совпадает с йь Ь) Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство, (У вЂ” слабо открытая часть Е и У: (У -ь С вЂ” некоторая функция. Говорят, что функция У слабо голоморфна, если для каждой точки и ш (У существуют слабо открытая окрестность )ги этой точки, некоторое замкнутое векторное надпространство Ри конечной коразмерности в Е и голоморфная функция ли иа ри()ги) (через р„ обозначается каноническое отображение Е на ЕУР„), такие, что )) )ги = ли ри.
Если К вЂ” слабо компактная часть (У, то существуют некоторая слабо открытая окрестность !У множества К в (У, замкнутое векторное подпространство Р конечной коразмерности в Е и голоморфная функция и на рк()г ) (через р обозначается каноническое отображение Е иа ЕУР ), такие, что У( )г = д р . Показать, что О (Х (А)) явлнется индуктивным пределом О (8), где 8 пробегает множество слабо открытых окрестностей Х (А) в двойственном к А пространстве и где через О (5) обозначается алгебра слабо голоморфных функций в 5, наделенная топологией компактной сходимости.
ф 6 !) Пусть А — регулярнан коммутативиая банахова алгебра, с) — замкнутый идеал в А. Показать, что тогда 3 и АУ;з являются регулярными коммутатнвными банаховыми алгебрами. 2) Пусть А — регулярная коммутативная банахова алгебра без радикала, ~~ — некоторый идеал в А, Х вЂ” точка в й(„-у), 3.— множество всех х ~ А, таких, что Ух имеет компактный носитель, не пересекающийся с (Х). Показать, что тогда 3+ ';й — наименьший идеал й в А, такой, что й:э Су и й (й) =(Х). 3) Пусть А — коммутативнан банахова алгебра, А' — банахово пространство, двойственное к А.
Длн каждого элемента х гм А обозначим через р(х) линейный оператор в А; сопряженный к оператору умножения на х в Л. Для х ш А и х' я А' положим х * х'= р(х) х'. Векторное подпространство в А' называется нивариантиым, если оно инвариантно относительно всех операторов р(х). Показать, что а) Для того чтобы элемент х' из А' был пропорционален некоторому ненулевому характеру алгебры А, необкодямо и достаточно, чтобы надпространство Сх' было инвариантным. Гл. / 114 Нормироеанные алгебры Ь) Отображение )ге-ы )ге является биекцией множества замкнутых идеалов в А на множество слабо замкнутых инвариантных надпространств в А'.
с) Если Иà — слабо замкнутое векторцое надпространство, порожденное Иг, и Иге, где Иг, н Игз — инвариантные слабо замкнутые надпространства из А', то о(ИГ) = п(ИГ,)()п(ИГз) (где через п(йг) обозначено множество характеров, принадлежащих инвариантному векторном> надпространству Иг в А'. (Применить Ь).) б) Если Иà — слабо замкнутое инвариантное векторное подпространство в А', то о(ИГ) совпадает с множеством всех таких у.щ А, для которых из равенства х е х' = 0 при всех х'ем Иг следует равенство (х, >1) = О, е) Если А содержит единичный элемент, то каждое слабо замкнутое инвариантное векторное подпространство в А' содержит по крайней мере один ненулевой характер.
Предполагая далее в этом упражнении, что А — регулярная алгебра без радикала, содержащая единичный элемент, показать, что 1) Если Иг — слабо замкнутое инвариантное векторное надпространство в А', а (/ — какая-нибудь окрестность множества о(ИГ) в Х (А), то Иг содержится в слабо замкнутом векторном подпространстве нз А', порожденном элементамн из (/.
И) Если элемент х щ А таков, что Ух = ! в некоторой окрестности п(х'), где х'жА' и п(х') п()г), а Иг — слабо замкнутое инвариантное векторное надпространство в А', порожденное элементом х', то х е х' х'. (Применить 1).) Ь) Если а(х') — объединение двух непересекающихся замкнутых е е е е л меожеств и и и, то сУществУют хп хг щ А, такие, что п(х>/=он 1 2' еч е е е е е е т е о'(хг! =пг, х ~х>+ ха. (Выбрать х! =и! е х, хг иг ° х, где Уи = 1 ! (соответственно 0) в окрестности о~ (соответственно оз), Уиз =! (соответственно 0) в окрестности пз (соответственно о|).) 4) Пусть А — регулнрная коммутативная банахова алгебра без радикала, удовлетворяющая условию Диткина, 3 — замкнутый идеал в А, х ему(й(;!)), Р— граница множества 6(Ах).
Показать, что если Р()й()) не содержит непустых совершенных множеств, то х щ~ (воспроизвести доказательство предложения б). б) Пусть А — регулярнан коммутативиая банахова алгебра без рады- кала. Предположим, что каждый замкнутый идеал алгебры А является пересечением регулярных максимальных идеалов. Пусть х ~ А. Пусть Р— множество нулей У'х. Показать, что тогда элемент х является пределом при и-ьое последовательности элементов вида и„х, где ил ем А и У'и„равно нулю в окрестности множества Р. (Пусть у — множество всех элементов у ен А, таких, что Уу имеет компактный носитель, не пересекающийся с Р.
Тогда х щ ~. Применить предложение 4.) В частности, алгебра А удовлетворяет условию Диткина. 6) Пусть  — алгебра комплексных непрерывно дифференцнруеиых функций на интервале (О,!), снабженная нормой !Л = апр ! /!+ зпр) Г). Пусть А — замкнутаи подалгебра в В, состоящая из тех /еп В, для которых /('/2)=0. Пусть 3 — замкнутый идеал в А, состоящий из тех /~ А, длн которых /'('/ ) =О. Показать, что а) Пространство Х(А) отождествляется с (О, 1) ('/2) и алгебра А регулярна.
Ь) 3 — нерегулярный максимальный идеал алгебры А. 7) а) Пусть Я вЂ” иножество точек (гь ге, гз, г,) и С', таких, что 1((г,!~(2, ге=ге=О, Упражнения Определим аналогично множества Т, и Т, с помощью следующих условий: Тп а,з,=2, )х, ! 1, (хз(П;1, х,=б, Т;.
г,хз = 2, ) г, ! = 2, ~ хз (~ 1, х! = хзз. Показать, что множество Х = йЦ Т~ Ц Т, полиномнально выпукло. (Показать, что Х есть множество точек (х„хз, х,, х,), таких, что х!х = 2, ) г, ) и, 2, ) х ) ~ 2, ) хз ( ~ 1, хч (хч — гзз) О, )ххе~(1 и ~х~(хч — хзз)(~1 для Ф 12, ...) Пусть А — замкнутая подалгебра в э'(Х), порожденная сужениями на Х многочленов на С'. Показать, что Х отождествляется с Х(А), 5) Пусть Гн Гз <: С вЂ” ориентированные в положительном направлеиии окружности с центром в О радиусов 1 н 2. Пусть рз, р,.
ч — меры на Г,, Г,, Г„определенные с помощью форм Ых/з,— Ых/х, Ж(хе. Пусть, далее, П=р, + По так что П!9ч — мера на (Г,ЦГз) Х Г» Обозначим через В множество точек г=(х„..., х,) щ Х, таких, что (хь х,) ем еп(Г,Ц Г,) Х Гь Отображение хь-» (»ь х,) иа В в (Г,ЦГз) Х Г, является гомеоморфизмом; обозначим его ф. пусть р — мера вида с/ '(р®ч). Показать, что мера р ортогональиа к алгебре А. с) Пусть л — функция на Х, равная нулю на й Ц Т, и хз иа Тз. Показать, что тогда ~ йбрФО н, стало бытгч ХФА.
Однако для каждого значения зщ Х функция й совпадает в окрестности точки х с некоторым элементом нз А. 1) Пусть А — нормированная алгебра, наделенная непрерывной ниве* люцией. Если положить 1!х!!' зпр(!!х!. !!х'!!) для каждого элемента х зы А, то А снова оказывается ниволютивной нормированной алгеброй н новая нориа эквивалентна старой. 2) Пусть А — коммутативная банзкова алгебра беа радикала. Показать, что каждая ннволюции алгебры А непрерывна. (Применить э 3, предл. 6.) $3) Пусть А — ннволютнвнзя коммутатнвпзя банакова алгебра с единицей, все характеры которой зрмнтовы.
Предположим, что для каждого необратимого эрмнтова элемента хзы А имеет место соотношение !(х — )г) '! о( (л) з) при )г-»О н (л) Ф О. Показать, что тогда иаждый замкнутый идеал ~ алгебры А есть пересечение макснмальнык идеалов. (Пусть ф: А -> А/„=1 — канонический морфнзм. Пусть элемент хепА таков, что у(х) принадлежит радикалу алгебры А/;!. Достаточно доказать, что ф(х) О. Йо этот факт сводятся к случаю, когда элемент х эрмнтов. Использовать упр.
23 с) к з 2) 4) Пусть А — ннволютнвная коммутатнвнаи баиахова алгебра с един«цей. Показать, что для того, чтобы каждый ее характер был эрмнтов, необходимо н достаточно, чтобы элемент 1+ хх' был обратим для каждого х еп А. (Если каждый характер алгебры А эрмнтов, то У(1+ хх ) > О всюду на Х(А). Если некоторый характер у в А не эрмнтов, то существует эрмнтов элемент х щА, такой, что )((х) й откуда л(1+ хх') О. и элемент 1+ хх' не обратны.) 6) Пусть А — коммутативиая банахова алгебра, наделенная ннволю- цнеК такой, чт о !! х х !! = !! х !! ° !! х' 11 для каждого элемента х щ А. Показать, что тогда А есть С' алгебра. (Так как !!р'!1 !!рйз для эрмнтова Гл. 1 Нормированные алгебры 116 элемента у, то 1у!1 р(у); замечая, что Бр'х =Бр'х для каждого хшЛ, получаем И х" !! !! х !! = !! х х !! = р (х х) < р (х') р (х) = р (хт) < !! х !!з, откуда !! х' !! < !! х!! и (! х' !! = !! х !!.) 6) Пусть А есть С'-алгебра, У вЂ” множество ее нормальных элементов, х щ Н, У вЂ” некоторая окрестность нуля в С.
Показать, что существует окрестность У точки х в Н, такая, что для каждого элемента ущ У имеют место соотношения Бру с Бр х+ 1' и Бр х с Бру+ )г (Применить следствие теоремы 1, предложение 3 из з 2 и предложение 10 из з 4) 7) Пусть Л вЂ” коммутативная С*-алгебра и х ш А. Предположим, что С'-подалгебра в А порожденная элементом х, совпадает с А. Показать, что тогда Х ~-ы Х (х) есть гомеоморфнзм Х'(А) на Бр'х.
8) Пусть А — банахова алгебра с единицей, х ш А и Б. Брх. Предположим, что существует морфизм ф из (У(Б) в А, который переводит 1 в 1 п х в х (через х обозначено тождественное отображение Б). Показать, что тогда !!ф(1) !!~)!11!! для каждой функции ) ~ (У(Б). В частности, если ф непрерывен, то ф взаимно непрерывен. (Можно считать алгебру А коммутативной. Пусть Л щ Б. Существует характер т, ~ Х (А), такой, что Л = Х (х) = Х (Ф(х)) = (Х (ф) (Х)) (х). Стало быть, Х (ф) (у) является характером гь — ы((Л) алгебры Ж(Б). Пусть 1~(У(Б). Согласно сказанному выше, существует характер у ~я Х(А), такой, что )1! достигает своего максимума в точке Х(ф)(у). Тогда (Х(ф(~)) ! = !!7!! и.
значит, ((ф(() !! ) > ((1!! ) 9) Пусть 0 — локально компактная группа. Показать, что если Б((0) содержит единичный элемент, то группа С дискретна. (Воспользоваться тем, что в гпльбертовом пространстве Лз(0) тождественное отображение есть предел по норме эндоморфизмов у(~), где у — левое регулярное представление н (щ Е.'(6).) 1) Дли каждого топологического пространства Я обозначим через У(Я) алгебру ограниченных непрерывных комплексных функций па Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
