Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 24
Текст из файла (страница 24)
снабженную нормой !!)(! = зпр )1(1) ! н пнволюцией )ь-ы !. !ып а) Показать, что й)(Я) — коммутативная С*-алгебра с единицей. ь) Для каждой точки 1 ем Я и каждой функции (~Я(и) положим Хг(() )(1). Показать, что тогда Гь — «.тг является непрерывным отображением ф (оио называется каноническим) из И в Х(дт(И)). с) Показать, что если Я вполне регулярно, то ф является гомеоморфизмом Я иа некоторое надпространство, плотное в Х (ж (Я)). (Для дока.
зательства равенства ф(И) Х(У(Я)) показать, что непрерывная комплексная функция на Х (Я(Я)), равная нулю на ф(Я), есть тождественный нуль,) Показать, что Х(Я(Я)) отождествляется с компактифннацией Стоуна — Чеха пространства Я (Общ. топ., гл. 1Х, $1, упр. 7).
б) Пусть Л вЂ” банахова подалгебра с единицей в Й(Я) и Н вЂ” атно. шение эквивалентности в И: 1(1) =1(у) для всех гти А. Показать, что насыщение Б компакта К~ Я по К замкнуто. (Пусть (зп Б; для каждой функции (~ А и каждого е ) О пусть уйз — миоже- Упражнения ство всех Г'за Я, таких, что (1(1) — )(у)1(в; если )з ° °, )ига А н ен ..., ел ) О, то следовательно, / П р»,е)() К Ф 8, откуда 1'н о.) 1,гшл,э>0 е) Предположим, что пространство Я нормально.
Пусть  — отношение эквивалентности, заданное на Я, и А = А — подалгебра в Я (Я), и состоящая из функций, постоянных иа классах эквивалентности по В. Показать, что )1=)(л. (Использовать Общ. гон., гл. !Х, з 4, упр. !5,) 1) Предположим, что Я вЂ” компакт. Показать, что тогда !гг-~ А и являетси биективным отображением множества отношений эквивалентности, разбивающих Я, нз множество С"-подалгебр в 1Г(Я). (Пусть А есть С -подалгебра в Ж (Я) и )1 В .
Показать, что В разбивает Я, и применить теорему Стоуна — Вейерштрасса к алгебре функций, непрерывных на ЯЯ, полученной из А переходом к факторалгебре.» 2) Пусть Я вЂ” компакт,  — отношение эквивалентности, разбивающее Я,  — замкнутая падалгебра в чт (Я), содержащая Ан (обозначение яз упр, 1). показать, что если (сн чг(Я) совпадает на каждом классе эквивалентности с с некоторым элементом ус нз В, то ) щ В.
(Пусть в > О. Существует открытая насыщенная окрестность )г точки с, такая, что ()ус ! Н. в на Уа Пусть Ус, ..., У,„— покрытие Я. Пусть (ин .„и„) — разбиение единицы, подчиненное покрытию (ущ, ..., ус„) и состоящее нз функции алгебры А . Тогда у = и у, + ... + ину,„сн В н !) — у(ч,е всюду на Я.) 3) Пусть Я вЂ” компактное пространство н Аи, для каждой точки в змЯ, — коммутатнвная банахова алгебра, содержащая единичный элемент е„с нормой. равной 1. Пусть В-баяахова алгебра, состоящая из (х„) сн Д А„, таких, чта 1! х 11 знр )! х,э!! < + са. Пусть С вЂ” банан шц егэ ц хааа подалгебра в В, обладающая следующими свойствамя: (!) е= (е, )„ми щ С; (В) если х =(х, ) щ с и ) щ чг(Я), то функция юг — ь)(ю)х„является элементом С; (!В) дли каждого х (хн) щ С функция ее — > 11х, 11 полунепрерывна сверху.
Пусть Х вЂ” сумма всех множеств вида Х(А„). Для наждого характера )(сн Х(А„) пусть ф()() — характер алгебры С, определенный равен. ством ф(Х) ((хе)) Х(хн ). Показать, что ф опРеделЯет бискцию множества Х на Х(С). (Пусть ьзнХ(С). Так как чг(Я) можно отождествить с банаховай подалгеброй в С, та $ определяет некоторый характер алгебры %'(Я) и, стало быть, некоторую точку в,~н Я. Пусть х (х„) сн С н у=(у„) щ С, причем х =у,„; пусть в > О; имеем 11 х„— у„11 < е в некоторой окрестностя (1 точки юз! пусть фунхния й Я-ь(О,!) равна ! в точке юз и О вне (1; тогда выполняетсн неравенства !!)х — )у!1(э нз котоРого следУет, что ($()х — )У)1~(з, откУда ) 'ь(х) — в(У) !(в нч значит, з (х) = $ (у). Отсюда заключаем, что существует характер' 11 <а Х(А „), такой, что $ =ф(у).) Гд 7 Нормированные алгебры 118 4) Пусть И вЂ” компактное пространство, такое, что банахова алгебра %'(И) оказывается порожденной некоторой последовательностью ()ь Вь ...) ндемпотентов.
Показать, что тогда функция « ыь-ь Ь(ы! ~ 3 "(2)з(ю) — !) з ! разделяет точки пространства И и, следовательно, порождает банахову алгебру Ж (И). 5) Пусть А — банахова алгебра, определенная в $2, п'2, пример 2. Пусть ы гп (О, 1) Х (А). Показать, что наименьший замкнутый идеал ~в алгебры А, такой, что й ф) =(ы), совпадает с множеством всех элементов )ш А, для которых г„); ..., ЕЮ! равны нулю з точке ы. (Воспользоваться $5, предл.
4.) Показать, далее, что если д ~п А, то его паноиическнй образ в факторалгебре А/3в имеет норму лу 1Х вЂ” «-й! — ). Алгебра А)3в изоморфна алгебре С (Х)/(Хз~'). Единственный максимальный вдеал в А, содержащий 5в, совпадает с множеством всех элементов )гпА, таких, что !(ы) =О. б) Пусть Л вЂ” круг ) ь!~1 в С и А — банаховз алгебра, определенная в э 2, и'2, првмер 5. а) Показать, что если кап А, то х является пределом в А при и-+ со функций вида *.е-.
( — „"',). Но х„является равномерным пределом многочленов, поэтому ь — образующая алгебры А. Ь) Показать, что Х(А) канонически отождествляется с Ь. (Применить предложение ! (тй).) с) Пусть  — замкнутаи часть в Ь. Показать, что есле 3 содержит хотя бы одну неизолированную точку, то заыыканве 3 в топологии Джекобсона совпадает с Ь.) д) Пусть к ш А; положим х'(Ь),х(С). Показать, что отображение х г-ь х' является изометрической ннволюцией алгебры А, н только те характеры в А эрмитовы относительно этой инволюцин, которые опреде. лиются вещественнымв точками Ь. е) Отображение х г-ь к ) 0 есть изоморфизм из А на Р(0).
Показать, что каждая функция из %'д(1!) является равномерным пределом вещественных частей функций из Р (Щ. 7) Пусть А, (соответствеппо Аз) — банахова алгебра с единицей. рассмотренная в $ 2, и' 2, пример 2 (соответственно 5) п А А, )( Аз. Показать, что А — алгебра без радикала, но множество У (А) не является л нп замкнутым, ни плотным в «(Х(А)), (Применить упражнение 6.) $ 8) Пусть И вЂ” компактное пространство,  — банахова подалгебра с единицей в 27(И) (относительно индуцированной нормы), разделяющая точки И. Можно отождествить И с некоторой замкнутой частью прост. ранства Х (В) = И'.
Пусть В' — множество всех обратимых элементов в В. йлгебру В называют !ой-лодуллрноп, если множество всех функций вида !оп! Ц, где !ш В, плотно в вгп(И). (В частности, алгебра В 1оп-популярна,если функции вида Р!), где ! пробегает В, плотны в йгп(И). В самом деле, 1ой)е ) = й!г'.) В дальнейшем предполагаетси, что алгебра В 1ои-модулярна. Упражнения 119 а) Показать, что для каждого характера у. еп ()' существует н притом единственная мера Рх > О на (), такая, что 1оа ( Х (() ( ( (оа ! ') (ы) ( 4 «(ы) Я для каждой функции ! щ В*, и, стало быть, такая.что Х (!) = ) ((ю) 4ах (ю) для каждой функции (щ В. Имеет место неравенство !оц/ Х(7) / ~ ~ 1оа(((ы) ! сарк(ы) для каждой функции )щ В.
Условие т,(7) =- ) )(ю) ~абра(ы) для каждой функции ! щ В однозначно определяет меру р„. Ь) Пусть Х чм эз. Пусть, далее, р — положительная мера на П, причем р=р, + ра, где р, — абсолютно непрерывная, а рз — сингулярная компонента относительно рх. Пусть 3 — ядро т,. Показать, что тогда 1п( !( (1 — )(эДР (п( ( (1 — )(э НР. (ып ц газ и с) Если у ~а й', й — неотрицательная функция из .У'(рх), Д вЂ” ядро характера у, то имеет место равенство б) Обозначим через Нл(р) замыкание канонического образа В в ьл(р), где р — положительная мера иа 1), р чм (1, со(. Пусть у щ Я' и ~ — ядро Х. Показать, что В'(рх) — прямая (гильбертова) сумма пространства Н (Рх) и замыкания в В'(рх) канонического образа множества г5 (состоящего пз всех функций, сопряженных к функциям из 3). е) Пространство Н'(рх) есть множество классов й функций И ем Я'(рх), таких, что ~ )йс(рх — — О для всех функций (щ 3 и 1) Если й — неотрицательная функция из Я' (рх), то равенство Й=(! (, где ( щ Н' (рх) п ) ) Нрх Ф О, имеет место в том и только в том случае, и когда !ой 6 щ Я' (Р ), $9) Пусть () — компактное пространство,  — банахова подалгебра с единицей в чГ (()) (отпосительно индуцироваиной нормы).
Каждый элемент ы из 1) определяет характер ув алгебры В. Если ю, ы'ем Я, то мы будем писать ы е' в том случае, когда 11хв — у !)(2. а) Пусть ы, ы'ем Я. Показать, что если существует последователь- ность (1ч) элементов из В, таких, что 1! !а 11 < 1, ( !в (ы) ! -ь 1 при и -+ со и 11щ(п() )в (ы) — )я (ю') ( > О, то соотношение е в' не имеет места. в+ э (Можно считать, что !а(ы) -+ 1.
Рассмотрим д„(7„— Хк) (1 — ьч!в) где Лч — некоторая последовательность чисел иэ интервала (О, 1 1, суре- 120 Гл. 1 Нормярованные алгеоры мящихся к 1. Имеет место неравенство !1йл !! (1. Если последовательность (Хл) выбрать надлежащим образом, то можно добиться того, чтобы Ыл(в) — 1 н кл (в ) - — 1.) Ь) Пусть Š— множество вещественных частей элементов из В. Показать, что если е — е', то существует такое число с щ ) О, ! (, что для каждой неотрицательной функции 1 нз Е имеет место неравенство !(е) )с)(е'). [В противном случае существует последовательность функций (ы 1з, ...
щ Р, таких, что )„)~0, )л(в')=1 н )л(е) — эО при л-ь со; л пусть илгн В и Яйл=(л. Тогда е лщ В, !!а л!!( 1, 1е " 1=1(е, ! Кл (е! е " ) — ь! при п-вол, а это противоречит а).) Можно также предполагать, что )(е') ~с)(е) для каждой неотрицательной функции 1 из й. Существуют неотрицательные меры а и )) на 1), такие, что 1(е) — с!(в') = =а()) и !(е') — с!(в) =!)(1) для )еиЯ. Положим ре (! — с ) (с()+ а), р,=(1 — с') '(со+ ()). Показать, что р (!) =1(е) и р, ° (1)=!(в') дли любой функции (чл В и, кроме того, сря ( р„., ср„, ( р„. с) Предположим снова, что е е'.
Показать, что если р — положительная мера на Й, такая, что р()) )(е) для всех функций !щ В, то существует положительная мера р' на В, такая, что р'(1)=1(в') для всех функций )щ В и ср~(р' для некоторого с ге) О, 1(. (В соответствии с обозначениями из Ь) положить р'= и ° — ср„+ ср.) 6) Показать, что отношение в в' является отношением эквивалентности в 1). (Применить с].) 1(10) Пусть  — компактное пространство, А — банахова подалгебра с единицей в Ю (В) (относительно индуцированной нормы). а) Часть К в !2 называется аитисимметрической (относительно А), если каждая функция )щ А, вещественная на К, постоянна на К.
Показать, что каждая аитисимметрическая часть содержитсн в некоторой максимальной антисимметрнческой части. Максимальная антисимметрическая часть замкнута. Множество Я максимальных антисимметрических частей является разбиением П. Ы Пусть Л вЂ” надпространство банахова пространства комплексных ь мер на В, ортогональное к А. Пусть р — экстремальная точка единичного шара в А .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
