Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Показать, что существуют элементы х, у„у,... из А, такие, что хо = хуо для всех н и уо стремится к О. 2З) а) Пусть Š— банахово пространство, 1: С-оЕ-целая функция и Вг-ы Р(8) = ~ с и"га-тригонометрический полинам (с чьО). Предпои=а ложнм, что 1Р(В) ! !1((гег )((<Мго для всех г~го(М,го,а — неотрица- тельные постоянные). Показать, что тогда функция ! является полиноо зн - о (пу но=Л.,с.зов-,- ( нвногчх ч о о Хэ !а+с1~эоВ. Тогда г'(г, р) стремится к О, когда г стремитсн к +со, а р>а; с другой стороны, Пш 1(г, р)=свор. г-О+ос Ь) Аналогично, показать, что если а — целое число и г о ! Р(В)! Х Х!1 !(ге~а) (( стремится к О прн г-и+ оо, то ! — многочлен степени, мень- шей а.
с) Пусть А — банахова алгебра с единицей, х — квазинильпотентиый элемент А. Предположим, что для некоторого целого н> 0 имеем г о)созоВ( ° 11 (1 — Лх) ')1-оО при г-ь+ оо(Л гэ ). Показать, что тогда х" =О. (Применить Ь). ) $24) а) Пусть Š— банахово пространство, х: С (1) -ь Š— целая о функция от !/К вЂ” 1), х(Ц= Я аоьо, хК) "1', Ь,Д "— разложения функции х при ! ь)<1, соответственно при ! ь)>1.
Допустим,что йао)! о(п"). 1~уз!1 о(п ), а>0. Поназатгь что тогда х(ь) является мно- гочлепом от 11(ь — 1) степени, меньшей а+ 1. (Пусть э>0. Для го < г= ° !ь1<1 имеет место неравенство 1!х(Ь)!1<э(1-г) ~ о, а при 1<с»< 1-! <г — неравенство 1)х (ь)1! оСв(1 — г !), Полагая! — ь (е+ — ~ в=Ес, показатгь что для 0»<г<1 н Я з! справедливо неравенство гэ 9 Е (1-г) (» — —, 4 сов 6 ' а для 1<г и Я>! (1 — г ) < — —. 9 Е 4 созВ ' Положить у(м) х(Ц и показать. что Е " '(соз61'4' !1у(Еэ' ) ()стремится к 0 при Д-и+ оо равномерно по 8. Применить затем упражнение 23 Ь).) Ь) Пусть А — баиахова алгебра с единицей, дшА — некоторый квазиннльвотеитный элемент, х=! + 4. Показать, что для выполнения равенства у =0 необходимо и достаточно, чтобы 1)х "11 о(п ) при и-ь+ оо.
(Для доказательства достаточности показать, применяя а), что Я(Л, х) — многочлеа от ЦЛ вЂ” 1) степени, ие превосходящей У. С лругой стороны, )с(Л, х)= ~ч'~~д "(Л вЂ” !) " '.) Вывестн отсюда, что з э Упражнения 103 если ! — радикал в А н если (7 — некоторая подгруппа группы обратнмых в А элементов, такан, что ]] х~" ]]= о(п) длн всех хгмб,то суженке на 6 канонического отображении А-ьА/ч! ннъектнвно. 25) а) Пусть А — нормировакнан алгебра, х н у — элементы нз А, такие, что хки — ух=у. Показать. что у" 0 прн п>2]]хй.
(Прнменнть формулу ху — у"х пу".) Ь) Пусть  — некоторая алгебра Лн конечной размерности над С. Показать, что если алгебра 8 не ннльпатентна, та она содержит два ненулевых элемента х, у, таках, чта (х, у] у. (Воспользоватьса существованнем такого злемента х щ 2, дла ноторого аб(х) не ннльпотентен.) с) Пусть 9 — вещественная нлн комплекснан алгебра Лн конечной размерности, такая, что абертывающаа алгебра алгебры 8 обладает нормой, согласованной са структурой алгебры. Показать, что алгебра В ннльпотентна. (Применить а) и Ь).) б) Пусть У вЂ” вещественное нлн комплексное векторное пространства конечной размерности,  — падалгебра Лн в 31(У), состонщаз нз ннльпотентных эндоморфнзмов, хь..., хн — элементы в 8.
Пусть п>0. Показать, что на У существует структура гнльбертова пространства, такан, что ]]я!3~<а дла 1<1<и. е) Пусть Я вЂ” вещественная илн комплексная алгебра Лн конечной размерности. Пусть, далее. 2 нильпотентна п (7 — ее обертывающан алгебра. Показать, что на () существует норма, согласованнав со структурой алгебры.
(Использун Группы и ияг. Ли, гл. 1, $3, упр. 5, и $7, упр. 3, показать, что существует семейство (пь) представлений алгебры Я в пространствах Ух конечной размерности, обладающих следующим свойством: дла каждого элемента и!м(7 существует Х, такое, что кь (и) чьО н пь(8) состоит прн всех Х нз ннльпотентных эндомарфнзмов. Наделяя каждое пространства Ух гнльбертавой структурой в соответствии с д), получить в прямой сумме У гнльбертовых пространств Уь представлением алгебры 2, состанщее нз непрерывных эндоморфизмов, н тем самым обнаружить существование ниъектнвного морфнзма !р нз (7 в 2'(У). Положить затем ]и]1 ]]ф(и)!] длз всякого и !м (7.) 1) Пусть А — нормнроваинан алгебра с единицей, х н у — элементы нз А.
Показать, чта если А~(0), то ху — ух~!. (Первое доказательство: имеет место равенство Зр'(ху) = Зр'(ух); если ху=ух+ 1, то Зр(ху) переходнт в Зр(ух) в результате преобра- зованнн зг-ьа+ 1; отсюда следует, что Зр'(ху) неограннчен, что аб- сурдна. Второе доказатвчьство! если (х, у]=1, то [ху, у]=у, откуда, в салу а), длн достаточно большого п имеем у" 0; так как (х, уэ] = руг ', то получаетсн, что у=О.) 2б) Пусть А — нормнрованнаа алгебра н хгмА. Элемент х называют тополагнчески ннльпотентным, еслн х" -ь 0 прн и -! го.
Показать, что х топалогнческн ннльпатентен тогда н только тогда, когда р (х) < !. 27) Пусть А — коммутатнвнан банахова алгебра с единицей. Пред- положим, что каждый замкнутый идеал в А имеет конечный тнп (т. е. представляется в виде Ах, + ... + Ах„, где хь ..., х„гпА). а) Показать, что всякий идеал 3 в А замкнут. (Имеем Я = Ах, + ...
... + Ах„, где хь..., хпщА. Пусть (хы, хы, ...) — последовательность элементов нз 3, сходящаяся к хь Длн (уь ..., уп) щ А" положим !р(у!, .... уп) х!у!+ ... +хпупгжф, грр(у!. "" уп) хгруг+" + хярупщЬ Имеем юр щ У(Ап, ()), <рр гм 2'(АЯ,,",!), ]ср — <рр]1-ьО прп р -ь+ го н <р— сюръектнзное отображение.
Рассматривая сопряженные отображения 184 Нормированные алгебры к ф и фр, закл!очаем, что фр сюръективио при достаточно больших р. Стало быть, 3 = ~ь) Ь) Показать. что если А — алгебра без делителей нуля, то Л = С 1. (Примеиить а) и упражнение 9.) с) Показать, что если единственный иильпотеитиый элемент в Л есть О, то существует целое и) О, такое, что А изоморфиа С". (Так как алгебра А иетерова, то (О) является пересечением простых идеалов Рь..., )Ли; эти идеалы замкиУты в силУ а) и А/Р! изомоРфиы С в силУ Ь),) б) Показать, что в общем случае бпп А<+ со.
(Пусть Я вЂ” миожество иильпотеитиых злемеитов в А, являющееся (замкиутым) идеалом в А. Тогда, в силу с), 81щ(А/Я)<+со. Так как И вЂ” идеал коиечиого типа, то Я" =О для достаточно больпюго и. Наконец, каждый идеал Я /И +' является модулем конечного типа иад А/И, следовательно, !! !+! И (И'/И!+!) <+ ) 28) Пусть А — алгебра с единицей иад С, иаделеииая локально выпуклой отделимой топологией, такой, что умножение в А раздельно иепрерывио. Элемент а!мА называют регулярным, если существует г ~ О, такое, что а — Л обратим для ! Л ! ) г, а множество элементов вида (а — Л) ! при ) Л ) ) г ограиичеио. а) Показать, что если элемент а регуляреи, то Л (а — Л) ! остается ограиичеииым при (Л !) г. Ь) Показать, что если отображение х ! — ь х-' определено в окрест. пасти точки 1 и непрерывка в точке 1, то все элементы из А регуляриы.
с) Пусть (/а для каждого а !м А есть множество таких Л гм С, что (а — р) ' существует и ограиичеио для всех р из некоторой окрестности Л. Пусть Ба С (/ . Показать, что 8 замкнуто, в если а — регулярный элемент в Л, то 5 — иепустой компакт (в предположении, что Ачь(О)). д) Пусть а ея А. Показать, что фуикция Л ь — ь (а — Л)бл голоморфиа в (Га е) Пусть а щЛ. Доказать, что Лик !г в том и только в том случае, когда элемеит а — Л имеет регуляриый обратимй. 1) Показать, по если все элементы в А регулярны и А есть тело, то А С ° 1. 29) Пусть А — алгебра иад й, являющаяся телом и снабженная отде.
лимой локальио выпуклой топологией, относительно которой умножение в А непрерывно, а отображение х! †.'ьх-! иепрерывио в точке 1. Показать, что тогда алгебра А 1ч-изоморфпа )1, или С, или Н. (Если алгебра А коммутативиа иад С и существует элемент и<мА, такой, что из = †1,— снабдить А структурой алгебры вад С и применить упражнение 28 1). Если А коммутативиа, ио такого злемеита ие существует, — применить упражиевие 281) к алгебре А Э С, которая является телом.
Если алгебра А ие коммутативиа,— рассуждать так же, как в Комм. алг., гл У1, $6, и'4, теор. 1, третий случай.) ч( ЗО) Пусть А — алгебра иад С, состоящая из сужекий иа (О, 1) рациоиальиых фуикций одной переменной с комплексными коэффициеитами. Эта алгебра являетси телом. а) Сиабдить алгебру А топологией сходимости ио мере (Ннгггр., гл. 1У, 2-е изд., $ 5, и' !1). Показать, что в этой топологии отображения (х, у) ь-ь х + у, (х, у) ь-ь ху из А Х А в А непрерывны и отображеиие х ь-*" х ' из А' в А также иепрерывио. Эта топология в А ие является локально выпуклой. Ь) Для каждого и <м М определим последовательность (ю „) г,и„ равеиствами и „=(г+ 1)" г+ !для г ~ 1, юз „1, ю „=(з+!) 1г+!1/" Унраягнення 105 для з>!.
Еслн !~ А, положнм рэ(() = ~п~~~ ю„з) а,)(+ее, где ~я~',а,т'— г разложенне Лорана функции )(1) относительно точки О. Показать, что тогда р„являются полунормамя, которые определяют на А метрнзуемую локально выпуклую топологию. Отображение (х, у) з-э.ху нз АХ А в А непрерывно з этой топология. Отображение хь-мх ' нз А' в А не является непрерывным. Наконец, алгебра А не полна в этой топологии. 31) а) Пусть А — алгебра над С, снабженная локально выпуклой топологией, Показать, что следующие условия эквивалентны: а) существует фундаментальная система (У1) уравновешенных выпуклых окрестностей нуля, такнх, что 0;У! <:.
У! для всех 1; 3) алгебра А нзоморфна некоторой подалгебре произведения нормированных алгебр; у) топология в А может быть определена с помощью семейства полунорм рь удовлетворяющих неравенству рз(хд) «, р; (х) йз (у) при любых х, у ы А. Алгебру А, удовлетворяющую этим условиям, называют локально е-выпуклой. Показать, что в этом случае отображение (х, у)! — з.ху нз АХ А в А непрерывно. Если алгебра А содержит еднннчный элемент н 0 — множество всех ее обратимых элементов, то отображение ха-эх ' нз б в А непрерывно. Ь) Пусть А — локально эт.выпуклая алгебра с единичным элементом.
Показать, что спектр каждого элемента из А не пуст. Если А — тело, то А С ° 1. с) Пусть А — полная, локально гп-выпуклая алгебра. Показать, что существуют фильтрующееся возрастающее упорядоченное множество (, семейство(А!),ю! банаховых алгебр н непрерывные морфизмы я!1: Ауь-.ьА! для 1(~ 1, удовлетворяющие соотношеняю я!)я)э = нвы такне, что алгебра А нзоморфна подалгебре в Ц Аь состоящей нз тех элементов (х!), для которых яП (ху) = х! пря 1 <~1. б) Показать, что алгебра %' (й), снабженная топологией компактной сходямости, локально тп-выпукла.
Показать, далее, что множество обрвтнмых элементов из э' (Й) плотно в !рс(й) и не является открытым. е) Пусть 11 — открытая часть в С, А — алгебра комплексных голоморфных в 0 функций, снабженная топологией компактной сходнмостн. Показать, что тогда алгебра А локально и-выпукла. Ненулевой предел последовательности обратимых элементов яз А обратим в А. 1) Показать, что алгебра всех бесконечно днфференцируемых комплексных функций на (О, 1), снабженная топологией равномерной сходи- мости вместе со всеми производнымн, является локально ат-выпуклой.
й) Пусть А — алгебра (классов) комплексных функций 1 на (О, 1), такнх, что ) щ з.э((О, !)) для каждого р> 1. Показать, что алгебра А, снабженная нормой ! >-ь 11 1!!р(р >1), не является локально лз-выпуклой, но отображение (х, у) >-э ху нз А Х А в А непрерывно. $3 !) Пусть А — коммутатнвная банахова алгебра, ~ — макснмальнмй идеал в А. Показать, что возможны только два следующих случая, "!) 3- ядро некоторого характера алгебры А; 2) Д вЂ” некоторая гнперплоскость, содержащая А' (прнменнть упражнение 6 к $1). В частности, если ндеал 3 не замкнут, то 3 — гяперплоскость, плотная в А н содержащая А'.
(Чтобы получить пример этой последней ситуации, воспользоваться упражнением 3.) 2) Пусть А — банахова алгебра всех последовательностей к ($ь $з, ...) комплексных чисел, стремяшихся к нулю, с нормой 11х)) =зпр~ в!!. Пусть ( Нормированные алгебры Гл. 1 ~ — множество всех тех последовательностей к, которые имеют лишь ко. печное число отличных от пуля членов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
