Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В соответствии с введенными выше обозначениями 8Ь1( ) = 8р 1( ) = 8р„,1 =) (8), или (7) 8рл(1'(х)) =1(8рл х). Предложение 8, Пусть А и В суть С*-алгебрьч с единицей, ф — морфизм из А в В, х — нормальный элемент в Л, такой, что ф(х) — нормальный элемент в В. Пусть, далее, 1 я%'(8рлх), Тогда сужение функции )' на 8рэф(х) (по-прежнему обозначаемое через 1) удовлетворяет соотношению'. ф (1 (х) ) = ) (ф (х) ).
Отображения ~» — >фД(х)) и ~ ~~(ф(х)) являются морфизмами алгебр с единицей из Ю(8рл х) в В, принимаюшими одинаковые значения на функциях 1(Л) =Л и 1(Л) =Л; стало быть, зти отображения совпадают всюду. Следствие 1. Пусть А — коммутативная С-алгебра с единицей, хя Л и )ен$'(8рх). Тогда У(1(х))=-1»Ук. Следствие 2.
Пусть Л есть С*-алгебра с единицей и хееА. Пусть ~~У(8рх) и учим(8р()(х)))=У()(8рх)). Тогда уе7 еи Ж(8р х) и (де))(х) =д()(к)). Отображенне у н(д»1)(х) есть морфизм алгебр с единицей из Ж(8р9(х))) в Л, который преобразует функцию Л»-ы Л в 7(х). В силу доказанной единственности (предложение 5), имеем (д»1)(х)=д(~(х)). Предложение 7.
Пусть А есть С-алгебра с единицей, к еи А — нормальный элемент и 1'еиС'(8р х). Приведенное выше определение функции 7*(х) и то, которое рассматривалось в $ 4, и'8 (определение 1), эквивалентны. Возьмем функцию )(х) в смысле определения 4. Отображение 1» — ы)(х), суженное на ст(8рх), является непрерывным морфизмом алгебр с единицей из бг(8р к) в А, который преобразует функцию Л ы Л в х и, стало быть, является морфизмом, указанным в $4, теор. 3. Предложение 8.
Пусть А есть С'-алгебра, х ~ А — нормальный элемент, 5 = 8р' к, А' есть С*-алгебра непрерывных функций на 8, обращающихся в нуль в точке О, Тогда существует и притом единственный морфизм ф инволютивной аягебрьч А' на ипволютивную алгебру Л, такой, что ф (г) = х. Оормироеанные алгебры Гл /,Эб Этот морфиэм иэометричен.
Его образ есть С"-подалгебра алеебры А, порожденная элементом х, и, следовательно, состоит иэ нормальных элементов. Единственность морфизма гр немедленно следует из того, что многочлены от г и г, обращающиеся в нуль в точке г=О, всюду плотны в А'. Существование вытекает из предложения 5 после присоединения к алгебре А единичного элемента (предложение 2). Если 1чн А', то образ ) под действием морфизма ~р обозначается ) (х).
Замечание. Все результаты этого пункта без труда распространяются тн1айз пш1апб(з на морфизмы предложения 8. Пусть х — эрмнтов элемент С'-алгебры А, Его спектр веществен. Рассмотрим следующие непрерывные функции вещественной переменной: 1 э7,(Г)=знр(1» 0), Г» — з.)з(1) =знр( — 1» 0)» Г 5з(Г) =!11. Положим х+=~,(х), х =1з(х), ~х!=аЬз(х)=1з(х). Так как функции )н ~„~з вещественны, то х+, х- и ~х! — эрмитовы элементы С'-йодалгебры алгебры А, порожденной элементом х. Поскольку функции 1г неотрицательны, имеем (8) Зр'(х+) с: К+, Зр'(х )~К„, Зр'Цх1)с К„. Из равенств ), (1) — гз(1) =( )» (г) + )з(1) =гз(1) )» (Г)гз(Г) =О получаем (9) х=х+ — х, 1х~=х++х, х+х =х"х+=О.
Норма элемента ~ х1 равна норме элемента х, а нормы элементов х+ и х мажорнруются нормой элемента х, Предположим, что Зр'хс: )с+. Пусть аев й+ и и — сужение на Зр'х функции 1» го. Положим д(х) =х'. Таким образом, х' — эрмнтов элемент С'-подалгебры алгебры А, порожденной элементом х.
Имеем Зр'х'=)с.». Для любых а, р ен К+ немедленно получаются равенства (10) х"хз = х'+з, (х")з = х'з. Првдложвиив 9. Пусть х — эрмитов элемент алгебры А, такой, что Зр'хс: )с . Пусть ас.= К" . Тогда хн — единственный эрмитов элемент у в А, такой, что Зр'у~ К.» и у'=х. Уже известно, что Зр'(хнм) с: 1с+ и что (хн")" =-х, Пусть у — какой-нибудь эрмитов элемент из А, для которого Зр'ус: )с+ и у'=х, Покажем, что у=-х'". Рассматривая С -подалгебру в А, порожденную элементом у (С'-подал- Ннволютивиые нормировочные алгебры гебру, которая содержит элемент к н, следовательно, элемент ху'), мы можем ограничиться тем случаем, когда алгебра А коммутативна. Но тогда наше утверждение немедленно вытекает из теоремы 1.
б. Салгебра,обертывающаяинволютивнуюбанахову алгебру Лемма 1. Пусть А — инволютивная алгебра над полем С и р — некоторая полунорма на А. Следующие условия эквивалентны: (1) Для любых х, уев А имеют место соотношения р(ху) <р(х) р(у), р(х') =р(х) и р(х)'= р(к'х). (И) Множество Я элементов х, таких, что р (х) = О, является самосопряженным двусторонним идеалом в А, и норма, индуцированная полунормой р в факторалгебре А/Я, превращает последнюю в инволютивную нормированную алгебру„пополнение которой есть С"-алгебра.
(1И) Существует морфизм у инволютивной алгебры А в некоторую С'-алгебру, такой, что р(х) =1~ ~р(х) 11. Легко видеть, что (1)-~(И) =3~(И1) т(1). Полунорму, удовлетворяющую условиям леммы, мы будем называть С'-полунормой на ннволютивной алгебре А. Предположим теперь, что А — инволютивная банахова алгебра и Я вЂ” множество всех С'-полунорм на А. Для всех х~ А и р ~ 5 имеет место неравенство р(х) ©! х11 (предложение 1).
Функция к «~~ х11,=зцр р(х) есть С'-полунорма рюэ на А, которая является, очевидно, самой сильной С"-полу- нормой. Опрнднлвнин 5. Пусть Я вЂ” множество всех элементов хя А, такик, что 1х1!.=О; С'-алгебра, являющаяся пополнением факторалгебры А/Я по норме, индуцированной полу- нормой х «11 х 11„называется С-алгеброй, обертывающей инволютиеную банахоеу алгебру А, и обозначается о(е11(А) или Я(А).
Првдложннин 10. Пусть А — инволютивная банахова алгебра, 1 — канонический морфизм из А в 81(А). Тогда для каждого морфизма ~р инволютивной алгебры А в С"-алгебру В существует и притом единственный морфизм цт' из С'-алгебры Я(А) в С'-алгебру В, такой, что ~р =<р'«1.' Действительно, функция к~ 11ф(к)1~ есть С*-полунорма на А.
Следовательно, 1~р(х) 3~~~~! х11. для всех х~ А. Данный 1иорфизм определяет после перехода к факторалгебре непре- 82 Нормированные алгебры Гл. Ойб рывный морфизм из А/Я в В, который продолжается по непрерывности в 81(А). Единственность ф' очевидна. Ясно, что если алгебра А коммутативна (соответственно содержит единичный элемент), то алгебра 81(А) также коммутативна (соответственно содержит единичный элемент).
Следствие. Пусть А — коммутативная инволютивная банахова алгебра, !' — канонический морфизм из А в 81(А). Тогда отображение Х 0) является гомеоморфизмом пространства Х(81(А)) на подпространство Н в Х(А), состоящее из зрмитовых характеров. Действительно, эрмитов характер есть не что иное, как морфизм инволютивных алгебр со значениями в С'-алгебре С. Поэтому из предложения !О следует, что Х0) есть биекция пространства Х (81(А)) на Н. Более того, в пространстве Х (81(А)) топологии простой сходимости на /(А) и на 81(А) совпадают, так как 1(А) плотно в 81(А) н пространство Х (81(А)) равностеяенно непрерывно. Следовательно, Х (1)— гомеоморфизм.
Поскольку Х(!) — гомеоморфизм, мы можем отождествить пространства Х (81(А)) и Н. Тогда если х ен А, то функция Узцл1(1(х)) есть сужение на Н функции Ул(х). Пгндложвнив ! !. Пусть А — инволютивная банахова алгебра, Я вЂ” ее радикал. Если х ен Я, то его канонический образ !(х) в 81(А) есть нуль. Действительно, так как х'х ен Я, то 8рл(х'х) = (0) (3 1, п'3, замечание 3); следовательно, 8р'ил>(у(х)'!(х) ) =(0) и, значит, Ц1(х)*!(х) !!=0 (и' 3, формула (2)), откуда 1(х) =О. У.
С'-алгебра локально компактной группы Пусть Π— локально компактная группа. Пусть А — инволютивная банахова алгебра ограниченных мер на О, абсолютно непрерывных по мере Хаара. С*-алгебру, обертывающую инволютивную банахову алгебру А, называют С'-алгеброй группы О и обозначают 8(е1! (6) или 81(6). Если выбирается левая мера Хаара на 6, то А канонически отождествляется с Ь'(6), и можно определить 81(6) как С'-алгебру, обертывающую инволютивную банахову алгебру Ь' (6). Выберем некоторую левую меру Хаара на 6.
Известно (Интегр., гл. ч'П1, 5 4, предл. 6), что если !ьен й'(6) и 1 ен 1.з (6), то и ~*и ен 1з(6). Если т (р) обозначает эндоморфизм )-+р~~ пространства 1.У(6), то, как известно, Т Инеолютивиые нормированные алгебры является представлением банаховой алгебры М'(6) в банахову алгебру В = .У(1.'(6)) непрерывных эндоморфизмов пространства Ь'(О) (Интегр., гл.
Ч1!!, 5 4, след. предл. 6). С другой стороны, известно, что у(р) — сопряженное отображение к эндоморфизму у(р) (Интегр., гл. Ч!!1, $4, и'3). Легко видеть, что отображение у(и') является сопряженным к отображению у(р) и что у есть морфизм инволютивной алгебры Ж'(6) в С'-алгебру В, называемый левым регулярным представлением алгебры лг'(6) в пространстве У(6).
Согласно Интегр., гл. Ч1П, 5 4, и'7, предл. 19, это представление инъективно. Сужение на !.'(6) представления у определяет инъективный морфизм инволютивной алгебры 1,'(6) в алгебру В (называемый левым регулярным представлением (.У(0) в !з(6)), и, значит, существует морфизм у': 81(6)-+В, такой, что у=у' е1, где через 1 обозначено каноническое отображение !.'(6) в 81(0).
Говорят, что у' есть левое регулярное представление алгебры 8!(6) в Ь'(6) (это представление, вообще говоря, не инъективно). Допуская вольность в обозначениях, можно написать равенство (11) ч*г = у'(р) (О для ! ен ьг(0) и ~рея 8!(6), Имеем (12) !!'р*1$<1!М!!!Ь Пгядложяния 12. Каноническое отображение алгебры Ь'(О) в 81(6) инъективно. Так как отображение у инъективно, то это немедленно вытекает из равенства у =у' е~р. Слядствив. Алгебра !.1 (6) является алгеброй бев радикала. Это вытекает из предложений 1! и 12, Итак, можно отождествить 1.'(6) с плотной инволютивной подалгеброй в 81(6). Тогда каноническая инъекция алгебры Ь'(6) в 81(6) непрерывна. Предположим теперь, что группа 6 унимодулярна. Тогда можно повторить все предыдущие рассуждения, взяв в качестве исходного отображение ((, р) е-~ ~ е р = Ь (р) (!) из У(6) ХЖ'(6) в !з(6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
