Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Точно так же, как и раньше, определяется !е~р для !яьз(6) и Фен 81(6). Но теперь для г'ен ~е(0) и ~р, ф~ 81(6) имеет место равенство (13) (ф !)*ф=ф*()*ф). В самом деле, эта формула справедлива для Ф, фея Ь'(6); отображения (Ч~, ф) ~(фе!)*ф, (~р, ф) ~Ч~*(!*ф) являются непзверывными билинейными отображениями из 81(6) Х81(6) в Ь (6). Гл. НУб 84 Нормированные алгебры о. Положительные эндоморфиэмы гильбертовых пространств Пусть Š— комплексное гильбертово пространство и хевЫ'(Е). Напомним (Топ, вект.
пр., гл. Ч, 2-е изд., $ 1), что элемент х называется положительным, если (х$Я))0 для всех венЕ; в таком случае мы будем писать х)0. Положительные элементы пространства Ы (Е) эрмитовы (см. там же). С другой стороны, под спектром элемента из пространства Ы (Е) мы всегда будем понимать его спектр относительно алгебры с единицей .У(Е). Пркдложвнив 13. Пусть х ~ Ы'(Е). Следуюи!ие условия эквивалентны: (!) х — положительный элемент; (!!) х — эрмитов и Ярхс= й+, (ш) существует эрмитов элемент у иэ Ы'(Е), такой, что х=у' (!ч) существует непрерывное линеиное отображение г иэ Е в некоторое гильбертово пространство, такое, что х = г'г. (!)=)~(!!): предположим, что х) О. Так как элемент х при этом эрмитов, то архе:К.
Покажем, что орхан)1+, т. е. что элемент А+ х обратим для всех Х ) О. Если $ ен Е и )!В!1=1, то !)(Л+хД!!)((Л+х)й!й))).(й)й) =Л. Это неравенство доказывает, что отображение Х+ х из Е на 1т(ь+ х) биективно и взаимно непрерывно, т. е. что пространство 1т(Х+ х) полно и, значит, замкнуто. С другой стороны, Кег(Х + х)* = Кег(Х + х) = 0 и, следовательно, 1т(Х+х) плотно в Е (Гоп. вект.
пр., гл. Ч, 2-е изд., $1), Поэтому элемент Х+ х обратим в Ы'(Е). (й)==;>(!!!): если элемент х эрмитов и Брх с: 14+, то можно образовать элемент у=хч, и тогда х=у'. (ш) Ф(!ч): очевидно. (!ч)=)~(!): если х=г*г, то для всех 5~Е имеет место неравенство (х$ )$) =(г*га($) =(г$ )га)) О. Слвдствив. Если положительные элементы х и у коммутируют в Ы(Е), то ху~)0. действительно, ху и ум тогда тоже коммутируют и, значит, ху =. уъхуч1 — (хч уч )' (х'ьуч ) ) О, Ннволютивные нормированные алгебры 85 Напомним (Топ.
вект. пр., гл. 'Ч, 2-е изд., $1), что для каждого эрмитова элемента х из Ы(Е) определяются следуюшие числа: т(х) = 1"1 (хв! 8) М(х) = впр (хр(ь). .$нв, !И 1 в к мп-1 Првдложвнив 14. Пусть х — эрмитов элемент пространства У (Е). Тогда (!) т(х) и М(х) — соответственно точные нижняя и верхняя грани множества Зр(х).
(й) Если ЕФ(0), то 1! х!1=ввр(! т(х)1, ! М(х) !). Пусть Х Ен 11. Для того чтобы число й располагалось левее множества Зр х на 11, необходимо и достаточно, чтобы Зр(х — Х) с: К+, т. е. чтобы х) Х, иначе говоря, чтобы т(х))Х; стало быть. т(х) — точная нижняя грань Зр(х). Точно так же можно показать, что М(х) — точная верхняя грань Зр(х). В силу (2), имеет место равенство р(х)=!(х1!; если ЕФ(0), то Зр(х) не пуст н р(х)= зцр (Х!. Следовахюзры! тельно, (й) вытекает нз (!).
Пусть Е, Р— комплексные гильбертовы пространства и г ~:с (Е; Р). Так как г'г ен 2'(Е) и г'г) О, то можно абрау зовать элемент (г*г) ', который является положительным элементом нз Ы(Е). Определанна 6. Элемент (г'г)а называется абсолютным значением г и обозначается ! г! или аЬв(г). Если ген Ы(Е) — нормальный элемент, то 1г(=!(г), где через 1 обозначено сужение на зрг функции ь .~(ь((действительно, 1~1=Я)и для всех комплексных чисел 4). В частности, для эрмитова элемента г определение 6 вполне согласовано с определением п'5.
Предложение 16. Пусть г ен:с (Е; Р), М вЂ” начальное над'- пространство для г (т. е. (Топ. вект. пр., там же) ортогональное дополнение к Кег г) и й( — конечное надпространство для г (т. е. 1тг). Тогда (!) Кег(аЬз(г)) Кегг, 1т(аЬз(г)) = М, 1! аЬз(г) 11=!1 г 11, (й) Существует и притом единственное частично изометрическое отображение и иэ Е в Р, такое, что Кеги=Кегг и г = и (аЬз (г)). (й!) Начальное подпростраиство для и совпадает с М, конечное — с У. (Ьт) Пусть г, — положительный элемент из Ы(Е), а и, — частично изометрический элемент из Х(Е; Р), причем Кег(и1) Кег (г1) и г = и,гй тогда г! = аЬв (г) и и, = и. Нормированные алгебры Для любого 3 енЕ имеет место равенство (14) з г$ Р = (г'г$ ~ в) = ((аЬз (г))' ~1$) = з (аЬз (г)) $4'.
Следовательно, Кег(г)=Кег(аЬз(г)) и ~!аЬз(г)1~=1~г!1 Поскольку элемент аЬз(г) эрмитов, надпространство 1щ(аЬз(г)) является ортогональным дополнением к надпространству Кег(аЬз(г)) (Топ. вент. пр,, гл. Ч, 2-е изд., $1). Таким образом, (1) доказано, Из формулы (14) следует существование изометрического отображения о из 1гп|г! в 1тг, такого, что г$=о(аЬз(г))$ для любого $ енЕ, Пусть и — однозначно определенный элемент пространства Ю(Е; Р), который является продолжением элемента о на все Е и аннулирует Кегг. Тогда и обладает перечисленными в (и) свойствами. Единственность и немедленно следует из того, что Е= Кеггйэ(1пт аЬз(г)). Ясно, что М вЂ” начальное надпространство для и, Его конечным подпространством является и(М) = и (1т аЬз (г)) = 1гпг=У.
Пусть г, и и, обладают свойствами (1ч). Имеем г'г = г,йи,г;, и',и, — ортопроектор ядра Кег г, (Топ. вент. пр., гл. Ч, 2-е изд„ $1) и, значит, образа 1пм,. Поэтому г'г = г'„откуда г, (г г) ь (предложение 9). Но тогда и, совпадает с и на 1т(аЪз(г)) и на Кегг; следовательно, и,=и. Пару (и, аЬз(г)) называют полярным разложением элемента г, Пввдложннив 16. Пусть (и, ) г() — полярное разложение элемента г.
Тогда (1) 1г1=и' г; (й) ~ г' ~ = и ° 1 г 1 ° и", (й) полярным разложением элемента г* является пара (и', 1г' О. Так как и'и — ортопроектор Е на 1щ1г ~, то и*г =и' ° и~г ~=~г Ь откуда следует (1). Далее, г' =1 г ~ ° и' = (ии ~ г ~) ° и" = и' ° (и ° ! г1й). С другой стороны, и~М и й~У вЂ” взаимно обратные изометрии М на У и У на М, поэтому ядром отображения и ° 1г ! ° и' является ортогональное дополнение к У, и элемент и ° 1г) и' положителен. Принимая во внимание предложение 15 (1ч), получаем, что (и", и ° 1г~ и') — полярное разло- т' Алгебры ненрерывнык функций но комноктном лростронстве 87 жение элемента г*. Тем самым утверждения (й) и (ш) доказаны. Предложение 17. Пусть (и, ~ г ~) — полярное разложение элемента г. Для того чтобы отображение г бьсло биективным, необходимо и достаточно, чтобы элемент 1 г1 белл обратим в У(Е) и чтобы отображение и было изоморфизмом гильбертова пространства Е на гильбертово пространство Р. Достаточность этого условия очевидна.
С другой стороны, если отображение-г биективно, то элемент г'г, а значит, и (г'г)л обратим в У(Е). Кроме того, Кег г =О и 1тг =Р; стало быть, и — изометрическое отображение пространства Е на Р. Предложении 18. Пусть гы2(Е) и (и,1г1) — полярное разложение элемента г. Следующие условия эквивалентны: (1) г — нормальный элемент; (й) элементы и и ! г1 коммутируют; (ш) в алгебре У(Е) существует унитарный элемент о, коммутирующий с 1г1 и такой, что г= о 1г ~.
(1)~(й): если элемент г нормальный, то ~ г')=(гг')И= и (г*г)ь =1г 1; следовательно, принимая во внимание предложение 16 (И), имеем 1г! ° и=1г'! ° и=и ~г ~ и' ° и=и 1г1 (й) ~(й1): если и ~ г ~ =1г! и, то отображение и оставляет инварнантными надпространства Кег! г ! и 1п11г 1, ортогонально дополняющие друг друга; пусть о — элемент иэ Ы'(Е), совпадающий с и на 1щ1г| н с тождественным отображением на Кег ~ г ~; тогда о — унитарный элемент, коммутирующий с (г1, н г= о 1г ~.
(ш) р(1): при выполнении условий (й1) имеем гг' = о 1г !' о' =1г Р оп' =1г Р = г'г. и 7. Алгебры непрерывных функций на компактном пространстве 7. Подалгебры в Ж (Й) Я вЂ компактн пространство) Предложении 1. Пусть И вЂ” компактное пространства,  — подалгебра с единицей в чт(0). Предположим, что алгебра В снабжена нормой, относительно которой она является банаховой алгеброй. (1) При канонической инъекции подалгебры В в Ж(й) нормы элементов из В могут лишь уменьшаться. Нормированные алгебрь~ Гл. б э т (й)  — алгебра без радикала.
(Ш) Для каждого ь ен ьг пусть ф(~) — характер г'ь — «~(1) алгебры В. Тогда ф — непрерывное отображение компакта Р в Х(В). (1ч) Если алгебра В разделяет точки компакта ьг, то отображение ф есть гомеоморфизм компакта Й на некоторую замкнутую часть в Х(В). (ч) Если Х(В)=ф(ьг), то  — наполненная подалгебра в чу(ьг). ч1) Если  — наполненная инволютивная подалгебра в У(ьг), то (В) = ф (ьг). (чй) Если  — наполненная подалгебра в Ж(ьг) и существует элемент а ен В, такой, что элементы вида ~(а) (~ — рациональная функция, не имеющая полюсов в Зрва) всюду плотны в В, то Х (В) = ф (ьг) Отождествим (г с Х($'(ьг)), а Ут~а1 — с тождественным отображением (5 3, п'2). Тогда ф=Х(6), где через Ь обозначена каноническая инъекция алгебры В в (У(ьг), и утверждение (гй) доказано. Для каждого элемента ( ен В и каждого (енй имеем (Уз~)(ф(1))=)(1), откуда следуют неравенства (1) !!1!1,)з~р! У 1!)й1!1~„, и, стало быть, утверждения (1) и (й).
Если В разделяет точки в ьг, то отображение ф инъективно, и утверждение (1ч) следует из того, что ьг — компакт, Утверждение (ч) вытекает из предложения 7, $3 и утверждения (чй) предложения 8 5 3. Предположим, наконец, что  — наполненная инволютивиая подалгебра в У(ьг). Пусть 3 — какой- нибудь максимальный идеал в В, и пусть Ф вЂ” множество элементов ь' я 'ьг, таких, что ~ (г) = О для всех 7 я 3. Допустим, что Ф= О.
Тогда существуют открытое покрытие ()гь..., 'ьг„) компакта ьг и для.каждого целого г ен(1, и) Функция 7г ен 3, такая, что 1~(1)ФО для всех 1енРо Так как алгебра В инволютивна, то л ХМ~еи3 Но элемент ~~~ Я обратим в йе(ьг) и, стало быть, в В, так г 1 как  — наполненная подалгебра. Мы пришли к противоречию. Таким образом, множество Ф содержит по крайней мере одну тачку гь. Ядро соответствующего этой точке характера алгебры В содержит 3 и, следовательно, совпадает с 3. Поэтому каждая точка пространства Х(В) является образам некоторой точки компакта ьг при отображении ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
