Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Тогда х„у принадлежит 3 в окрестности любой точки нз Х'(А) и потому х„уев 3 (следствие 2 предложения 2). В силу замкнутости 3 ймеем у ~ 3. Но тогда у принадлежит 3 в окрестности точки ул и, значит, Гл. 1,уб' 70 Нормироеонные алгебры Те~ 6 вопреки предположению. Полученное противоречие и доказывает лемму, Првдложнние 5. Пусть А — регулярная коммутативная банахова алгебра без радикала, удовлетворяющая условию Диткина.

Пусть 3 — замкнутьгй идеал алгебры А, такой, что граница й(3) не содержит непустых совершенных множеств. Тогда 3 совпадает с множеством тех элементов хен А, для которых функция Ух обращается в нуль на Ь(3). В частности, если Ь(3) сводится к одной точке т,, то 3=Кегт,. Пусть х~1(Ь(3)).

Нужно доказать, что хен3, Так как У'к=0 на Ь(3), то множество 6, введенное в рассмотрение в лемме 1, очевидно, содержит внутренность множества Ь(3)()(0). В силу замечания, предшествующего лемме 1, 6 содержит также множество Х(А) — Ь(3).

Поэтому множество Х'(А) — 6, являющееся совершенным (лемма 1), содержится в границе множества Ь(3)()(0). Из нашего предположения относительна Ь(3) следует, что Х'(А) 6 с:(О), и поскольку Х'(А) — 6 совершенно, оно пусто. Значит, х ен 3 (следствне 2 предложения 2). $6. Инволютивные нормированные алгебры г. Инволютивные алгебры Определение 1. Пусть А — алгебра над С. Ннволюцией в А называется отображение х нх* из А в А, такое, что (х')' = х, (х+ у)' = х'+ у', (г.х)' = г,х*, (ху)' = у'х" для любых х, уенА и 1.он С. Алгебра над полем С, снаб- женная инволюцией, называется инволютивной алгеброй.

Обычно говорят, что элемент х' сопряжен с элементом х. Подмножество в А, инвариантное относительно инволюции, называют самосопряженным. Инволюция является, очевидно, изоморфизмом кольца А на противоположное кольцо А'. Если А содержит единицу е, то е =е; алгебру (А, е) называют инволютивной алгеброй с единицей, П р и м е р ы. 1) Пусть А — алгебра всех комплексных функций на некотором множестве.

Отображение 1 н1 является инвалюцией в А. 2) Пусть Н вЂ” комплексное гильбертово пространство и А=У(Н). Отображение х нх' (Топ. вект. пр., гл. Ъ', 2-е изд., $1) является инволюцией в А. Инволютивные нормировонные алгебры 71 3) Пусть 6 — локально компактная группа. Известно (Интегр., гл. ЧН1, 5 3, предл.

2), что ве'(6) является банаховой алгеброй, содержащей единичный элемент е,. Отображение хн-нх ' из 6 на 6 преобразует каждую меру ря ян'(6) в !вен,Ж'(6) (Ингегр., гл. ЧП, $1, п' 1). Обозначим через р' меру, комплексно сопряженную к мере 1л. Отображение р н-» 1л является изоморфизмом банаховой алгебры Ж'(6) на банахову алгебру Ж'(6о). Следовательно, отображение 1л ~.ы р" является изометрической инволюцией в М'(6).

Множество А ограниченных мер, абсолютно непрерывных по мере Хаара, является замкнутой подалгеброй в зг'(6), инвариантной относительно ннволюции (Омгегр., гл. ЧП1, $5, п'5), Пусть р — левоинвариантная мера Хаара на 6. Снабдим ь'(6, р) произведением (1, д)~ — н~вад и инволюцией !'н-ы1*=! Л ', где Л вЂ” модуль (модулярная функция) 6 и 1(х)=1(х ') для всех хан 6. Тогда отображение 1н-ы1 ° () есть изоморфизм инволютивной алгебры 7.'(6,(1) на А.

Этот изоморфиз изометричен. Пусть А — инволютивная алгебра. Элемент х ~ А называют эрмиговым, если х=х', и нормальным, если хх'=х*х. (Эти определения являются обобщениями аналогичных определений, приведенных в Алг., гл. 1Х, 5 7, и' 3,) Каждый эрмитов элемент является нормальным. Множество всех эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство в А. Если х н у — коммутирующие эрмитовы элементы, то (ху)* = у'х' = ух = ху и, следовательно, ху — эрмитов элемент. Для каждого хек А элементы х*х и хх' эрмитовы.

Каждый элемент хы А единственным образом представляется в виде х, + (хго где элементы х, и хз эрмитовы. Дей- 1 1 ствительно, если положить х, = — (х+ х'), хе= —.(х — х ), 2 21 то хо хз — эрмитовы элементы и х=х, + (х,. Обратно, если х=х,+ 1хг, где х, и хв — эрмитовы элементы, то х'=х,— 1, 1 — (хе и, следовательно, х, = — (х+ х'), х, = —. (х — х'). Таким образом, мы доказали существование и единственность элементов х, и хз, Заметим, что хх = х, + х~ ~+ г (хзх — х хе) х'х = хе+ хз ив г (х х, — х,х ), н, значит, элемент х нормален в том и только в том случае, когда х, й хз коммутируют. Предположим, что алгебра А содержит единицу.

Для того чтобы элемент х ен А был обратим, необходимо и доста- !!армированные алгебры точно, чтобы элемент х был обратим, и тогда (х*) '=(х ') . Поскольку (х — Х)" =х" — Х для всех Х еп С, отсюда следует, что Ярлх' = Ярдх, Элемент х ен А называют унитарным, если хх" =х'х=!, т. е. если х обратим и х=х' Пусть А — инволютнвная алгебра, Л вЂ” алгебра, полученная из Л присоединением единицы.

На А существует и притом единственная инволюцня, являющаяся продолжением ннволюции на Л; эта инволюцня определяется равенством (й, х)*=(Х, х') для ХяС, хезА. Если хепЛ, то Ярах'= = Ярах. Пусть Л и  — две инволютивные алгебры. Морфизмом алгебры А в В называется отображение ф: Л вЂ” вВ, такое, что ф(ху) =- ф (х) ф(у), ф(х*) =ф(х)* для любых х, уя Л и йя С. Назовем инволютивной подалгеброй в А самосопряженную подалгебру в А. Центр алгебры Л является инволютивной подалгеброй.

Если А,— самосопряженный двусторонний идеал в А, то инволюция в А позволяет определить инволюцию в факторалгебре А/А„ и каноническое отображение А на А/А, является морфизмом. Радикал инволютивной алгебры А совпадает с радикалом противоположной алгебры и, следовательно, является само- сопряженным. Пусть А — инволютивная алгебра. Если Мс: Л вЂ” самосопряженное подмножество, то его коммутант М' является ииволютнвной подалгеброй в А. Для х ~ А бикоммутант пары (х, х') является инволютивной подалгеброй, содержащей х и х*, и эта подалгебра коммутативна в том и только в том случае, когда элемент х нормален.

Пусть А — ннволютивная алгебра,  — ее максимальная коммутативная инволютивная подалгебра. Тогда В является максимальной коммутативной подалгеброй (и, значит, наполненной, если Л вЂ” алгебра с единицей). В самом деле, если элемент х еи А коммутирует с В, то хн также коммутирует с В; следовательно, если х представить в виде х, + юхм где х, и хг — эрмитовы элементы, то х, и хв окажутся коммутирующими с В. Но тогда подалгебра в Л, порожденная В и х„ одновременно коммутативна и инволютивна и, значит, совпадает с В, откуда следует, что х,ен В; точно так же хе ев В и, наконец, х енВ. Пусть А — инволютивная алгебра.

Если / — линейная форма на А, то функция хг-~/(х') на А также является унволютивиые нормированные алгебры 73 линейной формой; эта форма озозначается 1 и называется сопряженной с 1. Имеют место равенства Говорят, что форма ~ эрмитова, если ~=г'*. Любая линейная форма на А единственным образом представляется в виде ~~+1~,, где 1, и 1,— эрмитовы формы. Для того чтобы линейная форма ( была эрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы она была вещественной на множестве А„ эрмитовых элементов алгебры А. Отображение ( ~~ А„ является изоморфизмом вещественного векторного пространства эрмитовых форм на векторное пространство, двойственное к вещественному векторному пространству А„.

Если А коммутативна и х — характер А, то х также является характером А и отображение )(» т,' есть гомеоморфизм Х'(А) на Х'(А). 2. Инволютивные нормированные алгебры Опвздялвнив 2. Инволютивной нормированной (соответственно банаховой) алгеброй называют нормированную (соответственно банахову) алгебру, снабженную инволюцией х»х', такой, что !~х*~|=1~х~( для всех х. Примеры. 1) Пусть Т вЂ” локально компактное пространство, А — алгебра непрерывных комплексных функций на Т, стремящихся к О на бесконечности, снабженная нормой 111)1= впрах((Г)! и инволюцией )»1. Тогда А — инволютивная с~т банахова алгебра.

2) Инволютивная алгебра непрерывных эндоморфизмов гильбертова пространства (и' 1, пример 2),' снабженная обычной нормой, является инволютивиой банаховой алгеброй. 3) Инволютивная алгебра М'(6) ограниченных мер иа локально компактной группе (и' 1, пример 3), снабженная обычной нормой, является ииволютивной банаховой алгеброй. Пусть А — инволютивная нормированная алгебра, А — нормированная алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Если алгебру А снабдить инволюцией, как в п' 1, то А станет ииволютивной нормированной алгеброй. Если А — инволютивная нормированная алгебра, то замыкание ее инволютивной подалгебры снова является инволютивной подалгеброй. Если М~А, то наименьшая инво- Гл. 1, г б Нормированные алгебры лютивная замкнутая подалгебра, содержащая М, называется инволютивной замкнутой подалгеброй, порожденной М; она совпадает с замыканием подалгебры, порожденной множеством М()М'. Если М сводится к одному нормальному элементу, то она коммутативна. Факторалгебра инвочютивной нормированной алгебры по самосопряженному замкнутому двустороннему идеалу, произведение конечного числа инволютивных нормированных алгебр, пополнение инволютивной нормированной алгебры и противоположная к ней алгебра являются инволютивнычи нормированными алгебрами с естественной инволюцией.

Характеристики

Список файлов книги