Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 8
Текст из файла (страница 8)
с(г„— ди,йи ( Ц бис)йг, ... Иг„ с !>~асс> ') ' " ' с 1>~с, с = — (~ (гс — ас) бис йй~ ( П бис) йг> ... с(г„ и > / Мчьс,! и с учетом (2) это равенство можно продолжить: >1ЬйЬ~ П йи~) йг~ с(г„=с! ("йЬ( Ц бис) с(г> .. с(г„) ° Ламма о. Пусть а, Ь, и„..., и„обладают свойствами, указанными в лемме 2. Пусть Ь' — бесконечно дифференци- руемов отображение С" в С, равное 1 в окрестности Бр а. Пусть и'„..., и„' — бесконечно дифференцируемые отображе- ния С" в А, такие, что для всех х ~ С" имеет место равенства (г> — а,) и', (х) + ... + (ㄠ— а„) и„ '(х) = 1 — Ь'(х).
Пусть ь>'=с(и>йг>... йи„'йг„. Тогда существует дифферен- циальная форма ф степени п — 1 на С" с коэффициентами в А, такая, что ырр ф ~ (внрр Ь) () (вирр Ь') и ь> — ь>'= =й(фйг> ... йгн). Гх»44 Нормированные алгебры 44 Для каждого х ~ С" положим а, (г) = и,' (г) и (х) — и, (г) и' (г), 13, (г) = и,' (х) Ь (г) — и, (х) Ь' (х), так что ан —— — ац и зпррр, с:(зпррЬ)(1(зпррЬ'). Имеем / л и,' (х) — ис(х) и,' (х) ~~~.'~ (г — а,) и,'.(х) + Ь (х).— ( п н — и,. (х) ~ ~~'.~ (г — а ) и' (г) + Ь' (х)) = ~~~~ (г — а ) а» (х) + йс (х). Положим и,"(г)=и,'(х) — йс(х), н=(ип . „и„), пи= =(и",, ..., ин). Тогда ан=п+ ~ тц, с (с где ч» — отображения С" в А", для которых с-я компонента Равна (гс — ас)а», )ьи компонента Равна (г, — ас) аи = — (гс — ас) ац, а все остальные компоненты равны нулю.
В силу леммы 4„ существует дифференциальная форма ф степени и — 1 в С" с коэффициентами в А, такая, что зпррф1 с:.зпррЬ и св — с(и," с(г, ... с(ин Йг„= Н (ф, с(г, ... 'с(г„). С другой стороны, дифференциальная форма с(и" ,с(г, ... с(и'„'с)г„— св'= =с((й,— 13,)с(г, ... с1(и'„— (3„)с(г„— с3й,с(г, ... с(й„с(г„ представляется в виде суммы форм ~ арс ... с(р, с(и' ... с(и' с(г, ... с(г„, р)1, откуда и следует утверждение леммы. 8. Построение отображений 6, В этом пункте мы предполагаем, что алгебра А коммутативна. Пусть а =(а„..., а„) еи А", У вЂ” открытая окрестность Зр а.
Тогда существует бесконечно дифференцируемое отображение Ь из С в С, равное 1 в окрестности Зра и такое, что зпрр Ь вЂ” компакт, содержагцийся в У. Пусть, далее, и„..., и„— отображения со свойствами, указанными в лемме 2. Голоморфное финкиионильное иениеление Пусть ео=ееи', е(е, ... е(ийг„. Тогда зпрр ео — компакт, содержащийся в 0 (лемма 3). Поэтому для каждой функции ) еи 0(У; А) можно образовать элемент вида ) 1ео, принадлежащий А. В силу леммы 5 и о формулы Стокса, этот элемент зависит только от а и 1 и не зависит от выбора Ь, и„..., и„.
Положим (4) 9, (1) = п1 (2п() " ~ 1оь. и Тогда отображение ~ь-~9~(~) из 0(У; А) в А является линейным. Это отображение, кроме того, непрерывно; действительно, используя введенные выше обозначения, мы видим, что существует постоянная М )О, такая, что 19о Щ ~М знр ~~ Р(а) ~~. е я вирр Ь С другой стороны, 9~1 зависит только от ростка функции 1 в окрестности Зра. В самом деле, пусть У, У' — открытые окрестности Зр а и ) ен 0(У; А), 1' ен 0(0', А). Предположим, что ) и )' совпадают в некоторой открытой окрестности Ун:э Зр а; тогда существует бесконечно дифференцируемое отображение Ь из С в С, равное 1 в окрестности Зра и такое,'что зпрр Ь с 0"; построив ео при помощи Ь, мы видим, что ) 1ео= ) 1'ео, и наше утверждение доказано.
Если 1 ен 0(Зра; А), мы положим 9,(1) =9~(~), где ) — какой-нибудь представитель ростка 1. Из предыдущих рассмотрений следует, что 9, — линейное непрерывное отображение из 0(Зра; А) в А. 4. Простейшие свойства отобраясений 9, Мы по-прежнему предполагаем, что алгебра А коммутативна. Ламма 6. Пусть аенА, Р— многовлен на С с коэффициентами в А, Р— его росток в окрестности Зра и 1 ен 0 (Зр а; А). !гормировавмьее алгебры Гл.йбв Обозначим, как и раньше, через го ..., аа координатные функции на С"; тогда достаточно доказать лемму для случая, когда Р=з',~ ... а'„л, где ен ..., е„ен Х.
Индукция по е,+ ... +е„позволяет ограничиться случаем, когда Р ао Пусть ! — какой-нибудь представитель 1, т. е. голоморфная функция в некоторой открытой окрестности 11:э Яра. Пусть й — бесконечно дифференцируемое отображение из С" в С, равное 1 в окрестности Яра, с носителем, содержащимся в У. Используя обозначения и,, ..., и„, га лемм 2 и 3, имеем Вс (а 1) = и! (2ги) " ~ з (го, а 8,"(!*)=п!(2п1) " ) а/го. и Используя дифференциальную форму ~~ леммы 3 (11), получим равенство (аг — а,) !в=*!е1(й(),е(а, ...
е1а„) =в!(Ще(а, ... е(з ) (так как е(!да, ... е(з„=О); следовательно, ) (з,— а,)(ее=О, что и доказывает лемму. Напомним теперь следующие факты ($'аг., К.). 1) Пусть 1г — открытая часть в С, граница которой Р— бесконечно дифференцируемое подмногообразие размерности 1 в С. Следующие условия эквивалентны: (1) граница !г совпадает с Р; (11) для каждой точки а ~ Р существуют открытая окрестность У точки з в С и биективное отображение ф окрестности 0 на открытый единичный шар в С;такое, что ф и ф ' бесконечно дифференцируемы и справедливы соотношения а ви У П (гйФУф(з)>О, а еи У П РФФИ(з)=О, а я 0 П (С )г) (=~ Уф (а) ( О. 2) Пусть К вЂ” компакт в С. Существует фундаментальная система открытых относительно компактных окрестностей 1" компакта 1Г, граница каждой из которых — бесконечно дифференцируемое подмногообразие размерности 1 в С вЂ” совпа.- дает с границей 1г. Э) Пусть йр — относительно компактная открытая часть в С, граница которой Р— бесконечно дифференцируемое подмногообразие размерности 1 в С вЂ” совпадает с грани- Голоморфное функциональное исчисление 47 цей йт.
Тогда существует и притом единственная ориентация на Р, такая, что для любой дифференциальной формы т степени 1, бесконечно дифференцируемой в некоторой открытой окрестности множества %', имеет место равенство дт= ) т. Компактное многообразие Р, снабженное этой ориентацией, называется ориентированным краем й7 и обозначается )17. Вернемся к отображению 9, и рассмотрим сначала случай, когда а=1. Ламма 7.
Пусть х — элемент А, У вЂ” открытая окрестность Брх и 1 ~ су(У; А). Пусть )à — открытая относительно компактная окрестность Бр х, такая, что Р с: У, причем граница й — бесконечно диффгренцируемое подмногообразае размерности 1 в С а совпадает с границей Р. Тогда имеет место равенство В.'(~) = — „'„~ Н~) ( — Г' й' р Если У = С и Г (г) =- 1, то 6„(1) = 1. Действительно, существует бесконечно дифференцируемое отображение Ь: С вЂ” »С, равное 1 в окрестности. Брх и имеющее компактный нпситель, содержащийся в й. Далее, существует бесконечно дифференцируемое,отображение и: С -»А, такое, что (г — х) и(г) = 1 — й(г) для всех г ен С.
Тогда 7'аиаг=-й(1идг) и а(г)=(г — х) 1 на границе )7. Поэтому 2(я9~ (1) = ) 1 аи йг = ~ й ()а йг) = ~ 1 (г) (г — х) ' аг. Предположим теперь, что У = С и 7'(г) = 1". Выберем в качестве окрестности )' открытый шар с центром в О радиуса 17)~~хз (так что Брх~ у). Тогда в С й имеет место равенство' (г — х) = г '(1 — г 'х) ' = г ' 1 + г-а х + г-з . хг + Напомним ()Гас., К.), что ) г" дг=О для и Ф вЂ” 1 и и )' г 'дг=21п.
Следовательно, ) (г — х) 'с(г=21п 1, р Нормироеанние алгебры Лиммл 8. (1) Длн введенного в п' 1 морфизма и „имеет место равенство а нм, в Ютт', а (а) (11) Если 1 — росток функции 1 в окрестности Яра, то 9, (1) = 1. Пусть а =(а„..., а„). Достаточно доказать ()) для л) =н — 1. Пусть а'=(а,, а„,), У вЂ” некоторая открытая окрестность Яра в С" ' и 1 ен 0(У; А). Пусть ( — отображение вида ГЗ 1: (*,г.)-Г(г) из У ХС в А; ясно, что (~0(У ХС; А).
Существует бесконечно дифференцируемое отображение Ь' (соответственно Ь") из С" в С (соответственно из С в С), равное 1 в окрестности Зра' (соответственно Яра„), с компактным носителем, содержащимся в У (соответственно в С). Далее, существуют бесконечно дифференцируемые отображения и„..., и„, из С" ' в А, такие, что (г, — а,) и,(г')+ ... +(г„, — а„,) и„,(г')=1 — Ь'(г') для всех и я С", и бесконечно дифференцируемое отображение и„из С в А, такое, что (г„— а„) и„(г„) = 1 — Ь" (г„) для всех г„~ С. Тогда функция Ь=Ь' З Ь" на С" бесконечно дифференцнруема, равна 1 в окрестности Яра и имеет компактный носитель, содержащийся в УХ С. Для любого г=(г, г„) ен С" ' КС имеем (г, — а,) (и, З 1) (г) + ... + (г„, — а„, ) (и„, Э 1) (г) + + (г„— а„) (Ь' З и„) (г) =1 — и'(г') + Ь'(г') (1 — Ь" (г„)) = 1 — Ь (г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
