Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 9
Текст из файла (страница 9)
С другой стороны, выражение ((и)с(г( ... с(и„)((г„)((Ь' является 'дифференциальной формой степени 2(н — 1)+! на С" ) и, следовательно, равно нулю; поэтому с((и, Э 1) (1г(с((иэ Э 1) с(г, ... д (и„, Э 1) с(г„) д (Ь' Э и) с(г„=, =(Ь' Э 1)Н(и, З 1)с(г~ ... с((и„( Э 1)(г~„ф(1 З и„)дг„. Из определения 6,(1) следует, что 6,(() =-а!(2(и) " ) (!' Э 1)(Ь' Э 1)с((и( З 1)с(г( ... охс ...
д (и ) З 1) Нг„)с((1 Э и„) ((г„= Голоморфное функциональное исчислены 49 Из леммы 7 следует, что ( с(и„с(г„=2!и !. В силу леммы 3(В !) с и ~!')1'аи!аг,, аи„,с(г„,= )' )'аи!4(г! ... ди„,с(з„, У и (21н)" ! Ть (н — 1)! следовательно, Ва (~) и! (2сп) и! Ва' (1 ) 2)п 1 Ва' (су ) Таким образом, (!) доказано, а (П) следует из (!) и леммы 7. Лемма 9. Пусть а ~ А". Если ! — многочлен на С" с коэффициентами в А, то Сь()) ! (а).
Это следует из лемм 6 и 8 (П). Лемма 9 (а также следствие предложения !) оправдывает следующее обозначение. Если вен А", У вЂ” открытая окрестность Зри и ! вне(0", А), то положим (5) ! (а)=6, (!). (Это обозначение согласовано с обозначением, введенным в Алг., гл. !Ч, если ! — многочлен.) Если ! ~ О(Яра; А), то положим также (6) 7(а) В.(!),.
Поедложвнив !. Пусть р), р,, ..., р„— положительно!е числа, П вЂ” полицилиндр в С, определенный неравенствами !гл)<р„..., )ян)<рн. Пусть и=~~~ее,, Х!~ ... Х„"н~ ы А !(Х„..., Х„]) — степенной ряд с коэффициентами иэ А, сходящийся в П; пусть !" — голоморфная функция, являющаяся суммой этого ряда в П. Пусть, далее, элемент а =(ао ..., а„) ~ А' таков, что р (а ) < р„..., р (а„) <р„.
Тогда ряд, составленньсй из элементов с „ а",' ... а„" еи А, сходится абсолютно, Зр(а) с: П и ! (а) = хнс, а,' ... а„". Для каждого характера т, алгебры А справедливо неравенство ~ т(а!) ! (~ р (а!) < р~'„следовательно, Бр (а) ~ П. Пусть во .... ㄠ— ограничения на П координатных функций в С". Тогда ряд нз (си и г,~ ... г'н! сходится в 0(П; А) к функции ). Принимая во внимание лемму 9 и непрерывность ото- Рл.
1, Е 4 Нормированные алгебры оо бражения 1!-ы)(а), мы приходим к выводу, что семейство с„„а',! ... а'„и) суммируемо в А и его сумма равна Г(а). "! ". "и Наконец, пусть Л! таковы, что р(а!)<Л!<ро Существует постоянная Й!) О, такая, что (а! 1«~ й!Л! для всех и, и так как Х~с„, ~Л!! ... Л!н <+со, то семейство (с,, а',! ... а„'") абсолютно суммируемо. Слвдствию Предполоясим, что А = С.
Пусть а = (а„..., а„)ен Сн, так что Зра=(а). 11усть 1енОЯа)). Тогда 1(а) в смысле равенства (6) совпадает со значением 1 в а. Пгндложвнив 2. Пусть  — коммутативная банахова алгебра с единицей и Л вЂ” непрерывный морфизм алгебр с еди- ницией из А в В. Пусть а=(а„..
„а„) ~ А", Ь,=Л(а,), Ь=(Ь„..., Ь„) (так что ЗрЬ с: Зр а). Пусть, далее, У вЂ” от- крытая окрестность Зр а и Гя О(У; А); имеем Л о~ ен !У(П; В). Тогда Л (1 (а)) = (Л о 1) (Ь). ' Пусть й, и„..., и„обладают по отношению к а свойст- вами, указанными в леммах 2 и 3. Для всех хек С" имеет место равенство н Г н ~с1! (г! — Ь1) л(и! (х)) = Л~Я (г1 — а1) и! (х) = 1 — й(х). 1 ! 1 ! Следовательно, (Л !')(Ь)= — и1 (21п) " ) Л(1(х))й(Лои,)ах, ... й(Лои„)е(г„= =мсм га(1! с*>е«е*, ... в~ !*.) =л<! с,!!.
!,и Слвдствив 1. Пусть Х~ Х(А) и Ген(У(Зр а). Тогда Х(1 (а)) =1(Х(а!), "., К(а.)). Это вытекает из предложения 2 и следствия предложе- ния 1. З.амеч ание. Пусть аенА". Если А — алгебра без радикала, то отображение 1 ~1(а) из О(Зра) в А является единственным отображением !р из (У(Зра) в А, таким, что у(!р(1)) =~(Х(а!),..., Х(а„)) для всех Х~ Х(А). Слндствие 2. Если 1' ен сУ(Зра), то Зр(1 (а)) =1(Зра).
Это вытекает из следствия 1 и определения совместного спектра, Голоморфное функциональное исчисление з1 ОО П р и и е р. Пусть а(1) = ~! а„еьа — сумма абсолютно схои дящегося ряда Фурье (5 2, и' 2). Пусть Я вЂ” множество значений а. Пусть 1 — голоморфная (комплексная) функция в окрестности множества Я. Тогда 1 о а есть сумма абсолютно сходящегося ряда Фурье. Действительно, 5 является спектром элемента а в алгебре А абсолютно сходящихся рядов Фурье (5 3, и'3, пример 4), и поэтому достаточно применить следствие 1 в случае, когда и=1. Этот результат обобщает утверждение, содержащееся в следствии предложения 3, $3.
$. Два результата о плотности Птвдложвнив 3. Пусть К вЂ” полиномиально выпукльсй (приложение) компакт в С и Р— множество ростков многочленов на С" с коэффициентами иэ А в окрестности К. Тогда Р плотно в 0(К; А). Пусть У вЂ” открытая окрестность компакта К и ! еи О (У!А). Существует (приложеиие, лемма 2) компактная окрестность 1е ~ К, которая полиномиально выпукла и содержится в У. Пусть Р' (соответственно Ро) — множество сужений на многочленов на С" с коэффициентами в А (соответственно в С). Пусть В (соответственно В,) †.банахова алгебра, полученная в результате замыкания множества Р' (соответственно Ре) в Ж (е'; А).
Для доказательства утверждения достаточно проверить, что 1~ 'т' еи В. Пусть г,, ..., г„— сужения на )Г координатных функций в С; они принадлежат Во и Зрв,(г„..., г„) =(Г в силу следствия 3 предложения 9 $3. Так как А можно отождествить с нормированной подалгеброй в Р' и, стало быть, в В, то ! определяет -некоторый элемент еэ в 0(У; В); поскольку Яра(г„..., г„) ~ с: Зрв,(г„..., г„) с: У, можно образовать элемент Ь = =!в(г„..., г„) в В.
Пустьь=(ь!,..., ь„)ев(Г и Х вЂ” морфиям у и-ь д(ь) из В в А. Тогда Х ° !'в =!. Йз предложения 2 следует, что Ь(ь) =!(ь„..., ь„). Значит, 11'т'=Ьен В. Для и=1 имеет место также следующее Пввдложвнив 4. Пусть К вЂ” компакт в С и Я вЂ” множество ростков голоморфных рациональных функции в окрестности компакта К. Тогда Я плотно в се(К). Пусть ! — голоморфная функция в открытой окрестности У компакта К.
Существует компактная окрестность )е:з К, содержащаяся в У. Пусть (г' — множество сужений на У рациональных функций на С, непрерывных на )с, а С вЂ” замыкание (г' в Ж(1'). Пусть, далее, г — тождественное ото- Тл. йз4 Нормированные алгебра 52 бражение окрестности 1'.
Тогда С вЂ” замкнутая наполненная подалгебра в Ж()л), порожденная г. Имеет место равенство Зр г= Зрт<т,г=)г. Поэтому можно образовать элемент 1(з) в С. Согласно следствию 1 предложения 2, этот элемент в С совпадает с )~У. Значит, 1!(г является равномерным пределом элементов из Я', и доказательство завершено. 6. Доказательство теоремы 1 По-прежнему алгебра А предполагается коммутативной. Ламма 10.
Пусть а=(аы ..., а„)енА" и У с С" — открытая окрестность Зра. Тогда в А существуют элементы а„+и ..., а„ер, такие, что проекция на С" полиномиильно выпуклой оболочки Зр(а„..., а„+р) (которая представляет собой часть в С" Х СР) есть некоторая часть У. Пусть (аь)„ь — семейство элементов из А, содержащее семейство (аы ..., а„) и топологически порождающее А. Пусть и — каноническая проекция Сь на С", и пусть У' =и '(У). Тогда У' — окрестность Зр((ах)) и Зр((ах)) — полиномиально выпуклое множество ($3, предложение 9).
В силу леммы 1 приложения существует конечное подмножество Ла в Л, содержащее (1, ..., п) и такое, что рг (У') 'содержит полиномнальио выпуклую оболочку 5 множества рг (ьЗр((аь)„ь))=Зр((аь)„ь). Следовательно, проекция 3 на С есть часть У. Утверждение теоремы 1, касающееся существования, будет установлено, когда мы докажем следующее Пгвдложвнив 5. Пусть а =(а,„..., а„) ~ А". Отображение 1 ~1(а) из О(Зря; А) в А является непрерывным морфизмом алгебр с единицей, который преобразует ростки координатных функций на С" в окрестности Зра в а„..., а„.
С учетом леммы 9 достаточно доказать, что если У— открытая окрестность Зр а и ген О(У; А), у ел О(У; А), то (Т) (~у)(а) = 1(а)д (а). Пусть а +о ..., а„+р выбраны в соответствии с леммой 10. Пусть и — ' каноническая проекция У Р', СР на У. Тогда ~ункции 1гп, гоп, (~д)ап голоморфны в области УХ С, содержащей полнномиально выпуклую оболочку К совместного спектра Зр(а„..., а„+„). В силу предложения 3, существуют последовательности (Ро Р,, ...), (Яы Яа, ...) многочленов на С"+Р с коэффи- Голоморфное функциональное исчисление циентами из А, такие, что ростки многочленов Р„Р, ... (соответственно Яо Я„...) в окрестности компакта К стремятся к ростку функции )оп (соответственно уоп) в окрестности К.
Поэтому ростки РДо РД„... в окрестности К стремятся к ростку функции ()д) оп в окрестности К, Из леммы 9 следует, что (Р О,) (а„..., а„+р) =- Р, (а„..., а„+р) Я, (а„..., а„ч ), откуда в пределе получаем (~дон)(а„..., а„ее)=Цап)(ап ..., а„+р)(дон)(а„.. „а„+р). В силу леммы 8 (1) отсюда получается равенство (7). Окончание доказательства теоремы 1. Пусть (6,), (6') — два семейства морфизмов со'свойствами, указанными в формулировке теоремы 1.
Нам надлежит доказать, что они совпадают. Пусть а„..., а„ы А, а = (а„..., а„) и У вЂ” открытая окрестность бр а. Пусть 1~ 0(У). Мы знаем, что в А существуют элементы а„ьи ... ..., а„+р, такие, что п(л.) с: У, где и — каноническая проекция С"+Р на С", а Ь вЂ” полиномиально выпуклая оболочка спектра Бр(ао ..., а„+р). Положим д=)оп; пусть ) (соответственно д) — росток функции ) (соответственно д) в окрестности Яра (соответствеино Зр(а,, ...„а„+р)); по предположению Но так как 6..., и 6!а .. совпадают на множестве ростков многочленов и+ р переменных в окрестности Бр(аь ..., а„+р), то они совпадают и в точке а, поскольку росток д в окрестности множества Л является пределом ростков миогочленов (предл.
3). Заметим, что предложение 3 немедленно приводит также и к следующей теореме единственности. Пгвдложвнив 6. Пусть а еи А". Предположим, что Бр а является полиномиально выпуклым. Пусть а„..., е„— ростки координатных функций на С" в окрестности Зр а. Тогда отображение 1' е-нг (а) является единственным непрерывным морфиэмом ер алгебр с единицей иэ 0(8ра) в А, таким, что ~р(г,)=ам ..., ~р(ан) = а„.
Нормированные алгедры 7. Суперпозиция в функциональном исчислении Теорема 2. Пусть А — коммутативная банахова алгебра с единицей, а=(а„..., ал) ~ А" и ~о ..., (р — элементы из 0(Зр а); пусть, далее, ( =((о ..., (р). Положим Ь, = =~,(а,, ..., ал) и Ь=(Ь„..., Ьр). Тогда ЗрЬ является образом Эра при отображении (г!» ° ° » гл)' «()1(гг»» гл)» гтр(г1» ° ° ° » гл)) Пусть у еп б'(Бр Ь; А), Росток суперпозиции Ь =- у о 1 является элементом множества.О(Эра; А). Тогда д(Ь) = Б(а). 1) Пусть К вЂ” полиномиально выпуклая оболочка спектра ЗрЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
