Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Согласно предложению 5, отображение д ~(уо()(а) является непрерывным морфизмом алгебр с единицей из П(К; А) в А, который преобразует д-ю координатную функцию в )в(а„..., а ) = Ь . Равенство д(Ь) = (д о 1) (а) выполняется, следовательно, в случае, когда у — многочлен, и, значит, в силу предложения 3, для всех у ~ 0(К; А). 2) Пусть теперь д — голоморфная функция в открытой окрестности 11:з Эр Ь. Существуют элементы Ьр+о..., ЬровенА, обладающие следующими свойствами: если Л вЂ” йолииомиально выпуклая оболочка спектра Эр(Ь„..., Ь„„) =С'+' и и — каноническая проекция СР" на СР, то к (~) с= Я (лемма 10). Пусть ~и ..., ~р — голоморфные функции в открытой окрестности У ':з Бр а, такие, что (1о ..., (р) (О) ~ И.
Тогда функция у оп голоморфна в области п-'(йе), которая является окрестностью Т.. Пусть и' — каноническая проекция Со+в на С". Обозначая д последних координатных функций на С ~' через гльо ..., хлев, имеем (Доя)о(11оп» ..., 1 оя» 2+о .., 2+ )= =До(~гож, ..., 1 оя~)=йон». Эта формула и первая часть доказательства приводят к сле- дующему равенству: (у о н) (((, о я') (с), „хл+, (с), ...) = (Ь о н') (с), Голоморфное функциональное исчисление где с=(а„...', а„, Ь+о ..., Ьо+ ), или; если принять во внимание лемму 8, к равенству й(1» (ао ° °, а„), ..., ~,(ао..., а„)) = й(а„..., а„).
Теорема доказана. й. Случай одной переменной Тяояямх 3. Пусть А — банахова алгебра с единицей (не обязательно коммутативная), х — элемент А, г — росток тождественной функции в окрестности Бр х. Тогда существует и притом единственный непрерьсвный морфизм ф алгебр с единицей иэ О(Брл х) в А, такой, что ф(г) =х. Пусть  — замкнутая наполненная подалгебра в А, порожденная элементом х. Она, очевидно, коммутативна н Брвх= Брлх ($1, п' 4).
Если ~ ~ О (Бр„х), то можно образовать элемент 1(х) в В, а тогда отображение 1» — ».1(х) окажется непрерывным морфизмом ф алгебр с единицей из О(Брлх) в В (следовательно, в А), таким, что ф(г) = х. Пусть ф, ф' — два непрерывных морфизма алгебр с единицей из 0(Бр„х) в А, таких, что ф(г)=ф'(г)=х. Тогда ф и ф' совпадают на множестве ростков многочленов в окрестности Бр„х и, следовательно, на множестве ростков голоморфных рациональных функций в окрестности Брлх. Но эти ростки образуют всюду плотное множество в О(Брлх) и, значит, ф=ф'.
Опгядяляния 1. Если ~енО(Брлх), то элемент фД), укаэанный в теореме 3, обозначается через 1(х). 3 а м е ч а н и е. Если алгебра А коммутативна, то это определение совпадает, в силу теоремы 1, с определением и' 4. В общем случае, как видно из доказательства теоремы 3, 1(х) принадлежит замкнутой наполненной подалгебре В в А, порожденной элементом х, которая коммутатнвна; элемент ~(х) в А (в,смысле определения 1) совпадает с элементом 1(х) в В (в смысле и'4). Пгядложяния 7. Пусть А и А' — банаховы алгебры с единицей, Л вЂ” непрерьсвньсй морфием алгебр с единицей иэ А в А'.
Пусть хя А и 1енО(Брлх). Тогда Л(7(х))=7(Л(х)). Это вытекает из предложения 2 и приведенного выше замечания. Пгядложяния 8. Пусть А — банахова алгебра с единицей, хн-:А, 1еяО(Брх) и у=1(х). Образом Брх при отображе- Нормированные алгебры Гл. б э е нии ~ является Бру. Пусть иеябУ(Яру), так что Ь=иоуеи ыУ(8рх). Тогда д(у) = й(х). Это также вытекает нз теоремы 2 и приведенного выше замечания. Пяядложяния 9. Пусть А — банахова алгебра с единицей, хая А„У вЂ” открытая окрестность Яр х и ~ ея(У(У). Пусть т' — открытая относительно компактная окрестность Яр х, такая, что т' с: У.
Предположим, далее, что граница является подмногообраэием размерности 1 в Кг, совпадающим С границей т'. Пусть, наконец, (à — ориентированный край Р (и'4). Тогда для п=О, 1, ... имеет место равенство (8) — „""'()= —,",'.~н и — )-"-'й. Для п=О зто равенство' вытекает из леммы 7 и приведенного выше замечания'. Допустим теперь, что предложение справедливо для некоторого целого п. Если г~8рх, то, согласно теореме 1 (111), $2, имеем (9) — „((г — х) " '~(г)) = =(г — х) " ' — „, — (и+ 1Нг — х) " 'Нг).
Применяя формулу Стокса к компактному многообразию )т, получим (1О) ) ~ ((г — х) 1(г))йг=) й((г — х) " '1(г))=0. й й Равенства (9) и (10) влекут за собой равенство ) Г'(г)(г — х) " 'йг=(п+ 1) ) )'(г)(г — х) " ~йг, откуда, по предположению индукции (примененному к йПИг), следует, что Во+!1 2йюв 1() ( ~ „г и предложение доказано для и+ 1. Прядложяння 10.
Пусть А — банахова алгебра с единицей, У вЂ” открытая часть в С. (1) Множество Й элементов х я А, таких, что Брх с= У, открыто в А. Голоиорфное функциональное исчисление Ьт (й) Пусть ) еи ьУ(У). Отображение х «.)'(х) из ь1 в А является аналитическим (ч'ат., К.) и, в частности, непрерывным. Пусть х гв ьг. 'Сущестнует окрестность 1' ~ Зр х в С, такая, что Ус= У и граница )с является бесконечно дифференци- руемым подмногообразием размерности 1 в С, совпадающим с границей ьс. Пусть 1 — длина )с, пь — верхняя грань ~Г(Л)! на т' и М вЂ” верхняя грань 1(Л вЂ” х) '! на С )с.
Если хевА и 11г11 М(1/2 и если Ля С )с, то Л -х — г=(1 — г(Л вЂ” х)-')(Л- х) и 1х(Л вЂ” х) 1(1(2; следовательно, элемент Л вЂ” х — г обра- тим и (Л вЂ” х — г) = (Л вЂ” х) ~л',~ (2 (Л вЂ” х) ), и о причем 1(г(Л вЂ” х) ') ~(2 ". Тем самым доказано, что мно- жество ьг открыто и, кроме того, что 21п~(х+ х) = ~)~~ ~ ~(Л)(Л вЂ” х) '(г(Л вЂ” х) ) йЛ. -о р Но выражение ) Г(Л)(Л вЂ” х) (х(Л вЂ” х) ) йЛ является однородным многочленом степени и по х (следовательно, аналитически зависит от х), с нормой, ие превосходящей пь1М ° 2 ".
Это доказывает аналитичность в ь) отображения У 1(У). Пэвдложвнив 11. Пусть А — банахова алгебра с единицей, х ев А, У вЂ” открытая окрестность Зрх, ~ я О'(У), Ь вЂ” расстояние между Зрх и С У. (1) Для каждого 6', такого, что 0<6'<Ь, существует по- .стоянная И О, такая, что з )чи>(х) ~~(яЬ' "и1 для и = О, 1, 2,.... (й) Если элемент у ~ А перестановочен с х и если р(у)<6, то Зр(х+ у) с='У и е Г (х + у) = ~ —, Г' (х). и О причем ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Заменяя алгебру А ее замкнутой наполненной подалгеброй, порожденной элементами х и у (при этом не меняются Нормарованнв»е алгебры Гл.1,уе Бр х н Зр(х + у)), мы сведем задачу к случаю, когда А — коммутативная алгебра'.
Пусть Ь'~)О, Ь(, е=б — Ь') О и К вЂ” компактная окрестность Бр х, состоящая из таких точек в С, расстояние которых до Яр х не превосходит е/2. Так как функция ! голоморфна во всяком открытом круге радиуса Ь' + е/2 с центром, принадлежащим К, то, в силу неравенства Коши, существует постоянная ! ) О, такая, что зпр — <!Ь' !!м'( )! па К Л! для и=О, 1, ..., Поэтому (1) вытекает из леммы 7.
Если р(у)<Ь, то можно выбрать Ь', такое, что р(у)< < Ь'<Ь. Пусть )г — множество точек С, расстояние которых от Брх не превосходит Ь вЂ” Ь', и (г' — открытый шар с центром в О радиуса Ь' в С. Пусть у — отображение (г, г')» — ы ~г+ г' из !г Х)г' в У. Тогда л=!' ° д является отображением (г, г') ~ !(г+ г') из е' Х»г' в С.
Так как Бр (х, у) с с:(г ХГ, то Бр(х+ у) с У. В силу теоремы 2, имеем л(х, у) =)'(х+ у). Но функция а в 0()г;п,)г') является суммой ряда п>О Следовательно, ряд пЭО сходится, н его сумма равна й(х, у)=!(х+у). Кроме того, согласно (1), этот ряд сходится абсолютно. У. Экспонента и логири4и Пусть А — банахова алгебра с единицей„и пусть х си А. Рассмотрим функцию !(г)=ехрг; из предложения 1 следует, что (11) ехрх=!+ —,+ —,+ ...
+ — „, +.... Так как !!х"!!(~!! х!!", то !! ехр х !!(ехр!! х !!, и ряд (11) сходится равномерно в каждом шаре в А. Поэтому отображение х»-е ехрх из А в А является непрерыв- Голоморфное Рункциональное исчисление о9 ным (см. также предложение 10). Если элемент уев А ком- мутирует,с х, то, как следует из предложения 11, -ч уи ехр (х + у) = ~~ —, ехр х, л !оп(1 — г) = — ~— л'е и л=о для ~г! < 1, то, как,следует из предложения 1 и теоремы 2, ~-ч ил 1оп(1 — и) = — э —.
2~п' л-О .Пусть 6 — группа обратимых элементов алгебры А. Если алгебра А колсмутативна, то, как показывают формулы (12) и (13), ехр(А) является подгруппой в 6. Эта подгруппа содержит, в силу (14), открытый шар с центром в 1 радиуса 1 и, следовательно, является открытой (и, стало быть, замкнутой) подгруппой группы 6. Кроме того, ехр(А) являатея связной подгруппой, как непрерывный образ алгебры А' которая связна. Следовательно, ехр(А) есть связная кемпа)нта единицы группы 6. (18) откуда (12) ехр(х+у)=ехрх ехру. В частности, элемент ехрх обратим и (13) (ехр х) =- ехр ( — х). Пусть Л вЂ” множество всех г еи С, таких, что — и < Уг < и, Пусть Ь' — множество всех ге= С, не принадлежащих отрицательному лучу (включая точку 0) вещественной оси.
Тогда отображение ехр~б является. биекцией из Ь на Ь' (Функ. действ. пер., гл. 1И, $1, и' 7); обратная биекция будет обозначаться !оп. Если хе А и Зрхс: Л', то можно образовать элемент 1опх в А; имеем 8р(1оах)сб и в силу предложения 8 (14) ехр (1оп х) = х. С другой стороны, если у я А и Зрусб, то Зр(ехру) с: Л' и в силу предложения 8 (15) !оп(ехру) = у. В частности, если ияА и р(и)<1, то Зр(! — и)с:Л' и можно образовать 1оп(! — и). Так как Гл.бйе Нормированные алгебры 60 лО. Разбиении пространства характеров Прндложвннв 12. Пусть А — коммутативная банахова алгебра с единицей. Предположим» что пространство Х(А) допускает разбиение на два открытых множества У, и У .
Тогда существует и притом единственный идемпотент 1 в А, такой, что У/ равно 1 на У, и 0 на Ум Пространство Х(А) отождествляется с некоторой частью в С" при отображении Х» (т,(а)), л. Части У, и Ув равномерного пространства С" являются непересекающимися компактами; следовательно, существуют конечная часть Мс: А и непересекающиеся открытые подмножества !гп )гв в С'", такие, что через р обозначается каноническая проекцпя нз Сл на См. Пусть а„..., а„— различные элементы в М и См отождествлено с С". Пусть функция / равна 1 на !Г, и 0 на )'м Ясно, что /я С'()г,() !гв) и Зр(ао ..., а„) с: !г,() !',. Поэтому можно образовать элемент 1=/(ао ..., а„).
Так как /'=/, то Р=/. В силу следствия 1 предложения 2, х(/)=1, если тен Уь и т(/)=О, если х~ Ум С другой стороны, пусть г — некоторый элемент радикала алгебры А, такой, что 1+ г — идемпотент. Равенство (!'+ г)в = /+ г приводится к виду г(1 — 2/ — г)=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
