Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пгадложанив 2. Луста А — коммутативная банахова алгебра. Функция Ух непрерывна в каждой точке х ен А и стремится к нулю на бесконечности в Х(А). В $1, п' 6 мы видели, что функция Хг-ы11(х) непрерывна на Х'(А) и равна нулю в точке О. Так как Х'(А) отождествляется с компактнфикацией Александрова пространства Коммутативние бвнаховы алгебры зз Х (А), то для завершения доказательства остается воспользоваться следствием теоремы 1.
Пгядложвнив 3. Пусть А — коммутативная. банахова алгебра и х ев А. Тогда (1) Объединение множества значений Ух и множества (0) совпадает со Яр'х. (й) Если А содержит единицу, то множество значений Ух совпадает со Ярх; в частности, для того, чтобы элемент х был обратим, необходимо и достаточно, чтобы Ух нигде не равнялось нулю. Предположим, что А содержит единицу. Уже доказано, что для каждого )(ен Х(А) значение )((х)ен Зрх. Обратно, пусть Лси Ярх. Тогда элемент х — Л не обратим. Следовательно„ он содержится в максимальном идеале алгебры А и, значит, существует у ен Х (А), такой, что Х(х — Л) = 0 (теорема 2).
Тем самым утвержден)(е (й) доказано. Обратимся теперь к общему случаю. Множество Зрлх совпадает с множеством Ярл х или, что то же самое, с множеством значений Утх на Х(А)=Х'(А), откуда следует (1). Слвдствив. Пусть 1(е'~= ~~.', с„е™ вЂ” абсолютно сходящийся ' СО ряд Фурье. Если )' нигде не принимает значение О, то ) ' представляется абсолютно сходящимся рядом Фурье. Это утверждение следует из приведенного выше примера 4 и предложения 3 (й).
Пгвдложвнив 4. Пусть А — коммутативная банахова алгебра,  — алгебра непрерывных комплексных функций, стремящихся к 0 на бесконечности в Х(А), с нормой = зпр 1)(т)!. Тогда т х сл> (1) У является морфизмом из А в В, таким, что 1Ух'1= = Р (х) ('1 х 1~. (й) Пля того чтобы преобразование У было изометрическим„необходимо и достаточно, чтобы !! хл1=4 х !Р для всех х а А. В силу $1, и'6, преобразование У является морфизмом из А в В; 1Ухй=р(х) в силу предложения 3 и следствия 5 теоремы 1 $2. (й) следует из (1) и 5 2, и'3. Пгвдложвнив 5, Пусть А — коммутативная банахова алгебра.
Следующие четыре множества совпадают: 1) ядро преобразования Гельфанда; 2 зак, !2вв Нормированные алгебры Тл. б У З 2) множество элементов х, таких, что Яр'х=(0); 3) множество квазинильпотентных элементов в А; 4) радикал алгебры А. Пусть Яо Я„Яв„Я,— эти множества. Имеем Я,=%в (предложение 3 (1)) и Яв=йв ($2, следствие 5 теоремы 1). Множество й(4 является пересечением всех регулярных максимальных идеалов в А и, следовательно (теорема 2), пересечением ядер всех характеров в А; значит, Я,=Яо Слидствин. Пусть А — банахова алгебра, х и у — два коммутирующих элемента А. Тогда (1) имеют место неравенства р(ху) ~р(х)р(у), р(х+ у) чн (р(х)+ р(у) (й) Если элемент у квазинильпотентен, то 8р'х Бр'(х+у); если к тому же А содержит единицу, то Зр х=-5р(х+у).
Эти утверждения немедленно сводятся к случаю, когда алгебра А содержит единицу, а после рассмотрения замкнутой наполненной подалгебры в А, порожденной х и у,— к случаю, когда А коммутативна. Тогда (1) следует из предложения 3, а (й) — из предложений 3 и 5. Замечания. 1) Вообще говоря, У(А) не является ни замкнутым в В, ни всюду плотным в В (3 7, упр. 7). 2) У(А) разделяет точки в Х(А): если уо тв — две различные точки Х(А), то существует элемент х~ А, такой, что т,, (х) чь уе(х). 3) Если т, ен Х (А), то существует элемент из У (А), не обращающийся в нуль в точке т,. 4) Если А содержит единицу, то У(А) является наполненной подалгеброй алгебры непрерывных функций на Х(А) (предложение 3 (й)).
5) Мы увидим ($4, теорема 2), что У(А) инвариантно относительно действия голоморфных функций. 4. Морфизмы коммутативных банаховых алгебр Првдложвиив 6. Пусть А и  — две коммутативные банаховы алгебры, Ь вЂ” морфием их оснований. Тогда если  — алгебра без радикала, то морфием Ь непрерывен. Пусть (а, Ь) ~ А Х В вЂ” точка замыкания графика б отображения й. Пусть т, ~ Х'(В). Функция (х, у) ~ — эХ(й(х))— — Х(у)=(Х'(й)(Х))(х) — т(у) непрерывна иа АХВ и обращается в нуль на 6; следовательно, она равна нулю в точке (а, Ь). Поэтому т(Ь(а)) =х(Ь) для всякого Х ~ Х'(В).
Так как  — ' алгебра без радикала, то Ь(а) = Ь. Таким Коммутатавныв банаховы алгебры образом, график О замкнут и, значит, морфием Ь непре- рывен (Топ. вект. пр., гл. 1, $1, след. 5, теор. 1). Предположенне о номмутетняностн А не является необходнммм (упр. 11). Слндствив. Любьсе две нормьс на комплексной коммутативной алгебре беэ радикала, определяющие структуру банаховой алгебры, эквивалентны. Достаточно применить предложение 6 к тождественному отображению этой 'алгебры.
Пусть А и В-', две коммутативные банаховы алгебры. Согласно $1, и'бт если Ь: А-  — сюръективный морфизм, то Х'(Ь) — гомеонорфизм Х'(В) на замкнутое надпространство в Х'(А), переводящий О в О (инъективным Х'(Ь) может быть при выполнении значительно более слабого предположения, см. $7, предл. 1 (1у)). Пусть теперь Ь: А-в — инъективиый морфизм.
Вообще говоря, Х' (Ь) не является сюръективным отображением; необходимое условие для того, чтобы отображение Х' (Ь) было сюръективным', получается из следующего предложения. Првдложнния 7. Пусть А и  — две коммутативные банаховы алгебры с единицей, Ь: А-в — морфиэм алгебр с единицей (не обязательно непрерывный). Тогда если Х(Ь) — сюрьективное отображение, то Ь(А) — наполненная подалгебра в В. Пусть элемент х яи А таков, что Ь(х) обратим в В.
Для всякого т, ен Х(А) имеем Х=Х(Ь)($) и $ен Х(В). Поэтому Х(х)=~(Ь(х)) ФО; следовательно, х обратим в А (предложение 3) и Ь(х) обратим в Ь(А). Это необходимое условие сюръектнвности не является достаточным, даже в предположении, что Ь вЂ” изометрическое отобра.жение (упр. 14). Однако справедливо следующее Прядложвиин 8. Пусть А и  — две коммутативные банаховы алгебры с единицей„Ь: А-в — инъективный морфизм алгебр с единицей (не обяэательно непрерывный), а — элемент иэ А. Предположим, что замкнутая наполненная подалгебра в А, порожденная элементом а, совпадает с А.
Следующие условия эквивалентны." а) Х (Ь) — сюръектиеное' отображение; Ь) Ь(А) — наполненная подалгебра в В; с) Зрл а=зрей(а) а) ) Ь) следует из предложения 7. Ь) )т с) очевидно, так как Ярла=Зрв~л~ Ь(а). Гл. Ьйб Нормированные алгебры с) р а) следует из 5!, и'5, (4), и коммутативности диаграммы Х (В) — "~ "~ м Х (А) в в<в(ан ~ ~еХм Врв Ь(а) — '~ Врл а где вертикальные стрелки обозначают сюръективные отображения (предл. 3), а г — каноническую инъекцию.
Утверждение с) означает, что отображение г' биективио. Из нашего предположения относительно элемента а следует, что отображение Х(А)-+Зр„а биективно, так как множествоточек в А, на котором совпадают два 'характера, является замкнутой наполненной подалгеброй в А. Поэтому Х(Ь) — сюръектнвное отображение. $. Совместный спектр Пусть В=С[(Хл)л л~ — алгебра с единицей комплексных многочленов от семейства переменных (Хл), Для каждого те= Х(В) имеем (у(Хг)) ен С; ясно, ' что отображение (х(Х„)) является гомеоморфнзмом пространства Х (В) л на произведение С пространств С, так что можно отождествить эти два пространства. Пусть, далее, А — коммутатнвная банахова алгебра с единицей, (х„) — некоторое семейство ее элементов. Тогда существует и притом единственный морфизм Ь: В-вА, такой, что Ь(Хх) = хл для каждого Э,.
Отображение Х(Ь): т. ~.(у(х„))х является непрерывным отображением из Х(А) в Сл. Оно называется отображением Х(А) в С, определенным семейством (хх). Его образ является компактом в С и л называется совместным спектром семейства (хг). Совместный спектр обозначается Зря ((х„)) или Зр ((хг)).
Точка (с ) из С принадлежит Зр((хл)) в том итолькотомслул чае, если все элементы хь — с„находятся в некотором одном и том же максимальном идеале алгебры А, другими словами, если порожденный ими идеал не совпадает с А. Если семейство (хх) сводится к единственному элементу х, то мы снова получаем спектр Зр х (предл. 3 (й)). Если Л'с: Л, то Зр((хл),,л,) является образом Зр((хг) ) при каноническом отображении С в С . В частности, Зр((хг) )с=пЯрх„.
лыл Коммутативные банаховы алгебры 37 Пусть г„(Л ен Л) — координатные функции на С". Если у енХ(А), то значение г1в Х(Ь) в точке Х есть Х(х~); следо- вательно, гни Х(Ь) =Ух„. Пусть А и  — две коммутатнвные банаховы алгебры с единицей, ф — морфизм алгебр с единицей из А в В, (хь) — семейство элементов из А. Для каждого т,ен Х(В) имеет место равенство у (ф (хь)) = (Х (ф) (х)) (хь), поэтому Зре((ф(хт))) с: Зрл((хт,)), и диаграмма Х(В) ~~~» Х(А) Зрв((Ф(хь))) г Зрл((хь)) где ( — каноническая инъекция, а вертикальные стрелки обозначают отображения, определенные семействами (ф(х„)) и (хД, коммутативна.
Пгвдложвнив 9. (1) Предположим, что наполненная подалгебра в А, порожденная семейством (х„), плотна в А. Тогда отображение Х (А) в С, определенное семейством (х„), является гомеоморфизмом Х(А) на Зр((хь)). (И) Предположим, что подалгебра с единицей в А, порожденная семейством х,, плотна в А. Тогда для каждой точки (сь) чн С следуюицие условия эквивалентны: л а) (сД ен Зр((хн)); Ь) 1Р((сь))1~(Ц Р((х~)) Ц для любого Р ен С 1(Хь)1; с) 1Р((сх))1~(р(Р((хь))) для любого Р ~С((Х,,)1. (!) Пусть Х х'ев Х(А).
Если Х(хь)=Хт(хь) для всех Л, то т, и у.' совпадают на наполненной подалгебре в А, порожденной семейством хы и в силу непрерывности т и т' — на самой алгебре А. Следовательно, Х(Ь) является непрерывной биекцией Х(А) на Зр((хь)) н, стало быть, гомеоморфизмом, так как Х(А) — компакт. (Е) Если (сь) ен Зр((хи)) и Р ен С((Х„)), то существует характер ХавХ(А), такой, что сн=т,(хн) для всех Л, откуда 1Р((с1))1=1т(Р((хх)))1~(р(Р((хь))); следовательно, а) Ф с); с) 1» Ь) очевидно, так как р(х)(ЦхЦ. Пусть теперь в точке (сн) ~ С для всех Р ев С ((Х„)) имеет место неравенство 1Р((сн))1.-ЦР((х„))Ц. Пусть А' — подалгебра с единицей в А; порожденная семейством (х1).
Условие Р((хь)) =О влечет за собой равенство Р((с„)) =О; следовательно, существует морфнзм $: А'-»С, такой, что $(х„)=си для всех Л. Так как 1Р((сД)1~Ц Р((х„)) Ц, Ге. й э 8 38 Нормированные алгебры то этот морфизм продолжается по непрерывности до характера т, алгебры А'=А, откуда (с„) =(т,(х„)) ев Зр((хь)). Слвдствив 1. Пусть А — коммутативная банахова алгебра с единицей, (хь) — некоторое семейство ее элементов, А'— банахова подалгебра с единицей в А, порожденная семейством (хв). Тогда Зрл ((хь)) является полиномиально выпуклой оболочкой (приложенне) множества Зрл ((хь)). Действительно, согласно предложению 9, Зрл ((хь)) представляет собой множество точек (сь) ен С, таких, что ) Р ((сь)))( (~р(Р((х„))) для всех Ров С((Хь)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
