Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

3), Обигив сведения об алгебрак й. Наполненные надалгебры Опрвдвлвнив 3. Пусть А — алгебра с единицей. Подалгебра с единицей В~ А называется наполненной'), если каждый элемент из В, обратимый в А, обратим в В. Если  — наполненная подалгебра в А, то для каждого элемента хан В справедливо равенство Зрэ х= Бр„х. Пересечение любого семейства наполненных подалгебр в А является снова наполненной подалгеброй в А, Следовательно, если М с: А, то пересечение В всех наполненных подалгебр алгебры А, содержащих М, является наименьшей наполненной подалгеброй.

содержащей М, Такая подалгебра В называется наполненной подалгеброй в А, аорохсденной множеством М. Коммутант М' множества М в А является наполненной подалгеброй в А (так как если элемент х обратим в А и коммутнрует с М, то х ' также коммутирует с М). Поэтому бикоммутант М" множества М содержит В. Если элементы из М коммутируют, то алгебра М" коммутативна и, значит, В также коммутатнвна. Всякая максимальная коммутативиая подалгебра в А является наполненной подалгеброй, так как она совпадает со своим коммутантом. Пусть х ~ А и  — наполненная подалгебра в А, порожденная элементом х.

Тогда В совпадает с множеством В, всех элементов вида Р(х)Я(х) ', где Р енК[Х], (сев К[Х] и Я(х) обратим в А. В самом деле, В, — подалгебра в А, содержащая е; если ' элемент Р (х) Я(х) ' обратим в А, то и элемент Р(х) обратим в А и, значит; элемент Р(х) ~ 9(х), обратный к Р(х)Я(х) ', принадлежит В,. Таким образом, В, — наполненная подалгебра и В с: Вп С другой стороны, если Реп К[Х], ЯенК[Х] и Я(х) обратим в А, то Р(х) ен В, Я (х) я В и, значит, 9 (х) ~ я В и Р (х) Я (х) ~ ен В. Следовательно, В, с: В.

5. Характеры коммутативной алгебры с единицей Опридвлиниа 4. Пусть А — коммутативная алгебра с единицей. Характером алгебры А называется морфизм алгебр с единицей из А в К. Множество всех характеров алгебры А обозначается через Х(А). Пусть А и  — две коммутативиые алгебры с единицей, й — морфизм алгебр с единицей из А в В. Отображение ') В теории групп в аяалогичиой ситуации употребляется, терция сервинтнол. — Прим.

рвд. н»»рмирова»»иае аэгвг»ра Гл. Ьэ! Х» — ьХоЬ из Х(В) в Х(А) обозначается через Х(Ь). Если Ь вЂ” морфизм из В в коммутативную алгебру с единицей, то Х(ЬоЬ) = Х(Ь) о Х(Ь). Если 1л — тождественное отображение алгебры А, то Х(1л),— тождественное отображение множества Х (А). Если Ь вЂ” сюръективный морфизм, то Х (Ь) является биекцией из Х(В) на множество тех характеров алгебры А, которые аннулируются на ядре морфизма Ь. Пусть 'Аь ..., А„— коммутативные алгебры с единицей и А — алгебра с единицей А, Х ... Х А„. Пусть, далее„ и,— каноническое отображение из А на А,. Тогда Х(п») есть биекция Х(А») на некоторую часть Х, в Х(А), а именно на множество тех характеров алгебры А, которые обрашаются в нуль на Ц Аь Ясно, что Х, попарно не пересекаются.

»'-»» С другой стороны, пусть хан Х(А), и пусть 1 — такой индекс, что у(х) 0 для некоторого хан А„для всех 1,Ф1 и всех реп А~ имеем Х(х) Х(р) = ХМ) =- Х(О) =О. Следовательно, х(А») = — О, и поэтому характер х аннулируется на Ц А~, так что Х(А) является объединением Хо », » Пусть  — алгебра с единицей А»З ... ЭА„.

Тогда Х (Х!Ао ..., Х1А„) есть отображение из Х(В) в Х(А,) Х ... ХХ(А„)„а (х, . ", х.) х» ® " йа х. явуйетса"Отображением из Х(А»)»»', ... ХХ(А„) в Х(В). Легко проверить, что композиции этих отображений являются тождественными отображениями множества Х(В) и множества Х(А,) Х .. „Х Х(А„). Поэтому можно отождествить Х(В) н Х(А,) Х ... Х Х(А„). Пусть Л вЂ” ком мутативная алгебра с единицей. Пусть У вЂ” множество всех ее идеалов коразмерности 1.

Для каждого Х ен Х (А) имеем Кег Х с У. Отображение Х» — ь Кег Х является бнекцней Х (Л) на У. Действительно, если .3 ен У, то сушествует единственный изоморфизм К-алгебры с единицей А/3 на К, н композиция морфизмов А-ь А/3 — К является единственным характером алгебры А с ядром 3. Если хе-=А и Хеп Х(Л), то Х(х) еп Зрх; действительно, так как Х(х — Х(х)е) =О, то элемент х — Х(х)э не обратим. Общие сведения об алгебрах Для каждого элемента хан А обозначим через Улх, или просто Ух, функцию т, ~т(х), определенную на Х(А), и назовем ее преобразованием Гельфанда элемента х. Отображение У есть морфизм алгебры с единицей А в алгебру с единицей А, функций на Х(А) со значениями в К; это отображение называется преобразованием Гельфанда.

Пусть  — коммутативная алгебра с единицей над полем К, В,— алгебра с единицей всех функций на Х(В) со значениями в К, Ь вЂ” морфизм алгебр с единицей из А в В; тогда отображение Х(Ь): Х(В) — 'Х(А) определяет морфизм алгебр с единицей Ь,: А,-+Во н диаграмма А — ~-~ А, ь! ~ь, Ф Ф В вЂ”. В1 ев является коммутативной.

Действительно, для каждого х еи А и каждого т,еи Х(В) имеем (4) Ув(Ь(х))(х)=х(Ь(к))=(Х(Ь)(х))(х)= = Ул (х) (Х (Ь) (Х) ) — Ь, (Ул (х) ) (х). Предположим теперь, что К вЂ” топологическое тело. Наделим Х (А) топологией поточечной (простой) сходимости на А и топологическое пространство Х(А) назовем пространством характеров алеебры А.

Эта топология в Х(А) является слабейшей топологией, в которой функции У х для всех хепА непрерывны. Если Ь вЂ” морфизм алгебр с единицей из А в В, то отображение Х(Ь): Х(В)- Х(А) непрерывно. Если Ь вЂ” сюръективный морфизм, то образ Х(Ь) — множество всех характеров алгебры А, равных нулю на ядре морфизма Ь,— замкнут в Х(А); с другой стороны, топология на Х(Ь)(Х(В)), индуцированная топологией на Х(В) с помощью отображения Х(Ь), есть топология простой сходи- мости в А, т. е. эта топология индуцируется топологией в Х(А); другими словами, Х(Ь) является гомеоморфизмом пространства Х(В) на некоторую замкнутую часть в Х(А). Объединяя сказанное выше, мы видим, что пространство Х(А, Х ...

ХА„) отождествляется с топологической суммой пространств Х(А,), ..., Х (А„). Точно так же, Х(А, ®... ®А„) отождествляется с топологическим произведением пространств Х (А,) Х ... рс, Х (А„), //ормированныв алгебры Га. /. У / б. Случай алгебр без единицы Опрндвлннин 5. Пусть А — коммутативная алгебра. Характером алгебры А называется морфизм из А в К. Множество всех характеров алгебры А обозначим Х'(А).

Положим Х(А)=Х'(Л) (0). Если А обладает единицей е, то Х(А) является множеством всех характеров алгебры с единицей (А,е). Действительно, для того чтобы характер дев Х'(А) был ненулевым, необходимо и достаточно, чтобы т(е) = 1. Если И: А-«В — морфизм коммутативных алгебр, то, как и выше, определяется отображение Х'(Ь): Х'(В)- Х'(Л), которое переводит 0 в О. Имеем Х'(Ии Ь)= Х'(И)и Х'(И). Если И сюръективен, то Х'(Ь) биективно отображает Х'(В) на множество всех характеров алгебры А, обращающихся в нуль на ядре Ь. Пусть А„..., А„— коммутативные алгебры, А = А, Х ...

Х А„и иб А «Л/ — канонический морфизм, тогда Х'(и/) — биекция множества Х'(А,) на часть Х/ множества Х'(А), а именно на множество всех характеров ал. гебры А, обращающихся в нуль на ЦА/, как и в п'5, мы /Ф/ видим, что Х'(А) является объединением множеств Х/. С другой стороны, Х) Д Х/ =-(0) для / ~ /; в частности„Х/ — (0) образуют разбиение пространства Х'(А) — (0)=Х(Л). Для всякого х ен А через Улх или просто У'х обозначается функция х«-«х(х), определенная на Х'(А). Отображение У' является морфизмом из А в алгебру А, функций Х'(А)- К, обращающихся в нуль в точке О.

Пусть  — коммутативная алгебра, В, — алгебра всех функций Х'(В)- К, равных нулю в точке О, И вЂ” морфизм из А в В; тогда Х'(И) определяет морфизм Ь,: А, — В„такой, что Ь, «Ул=Уг«Ь. Обозначим через Улх (или просто Ух) ограничение Улх на Х(А) и назовем его преобразованием Гельфанда злгмента х. Пусть А — алгебра с единицей, полученная из Л присоединением единицы. Ограничение на А любого характера алгебры А определяет характер алгебры А; обратно, каждый характер на А допускает единственное продолжение до характера А. Позтому определена каноническая биекция из . Х'(А) в Х(А), позволяющая отождествить зги два множества.

Таким образом, характер 0 алгебры А отождествляется с единственным характером алгебры А — тем, ядро которого совпадает с Л. Отображение т « Кету является биекцией из Х(Л) на множество регулярных идеалов коразмерности !.в А (Алг., Общие ееедеиии аб алгебра» !6 гл. ЧИ1, прилож., и' 1); действительно, с одной стороны, Х(А) можно отождествить с множеством характеров алгебры А, не обращающихся в нуль на А; с другой стороны, отображение а~-~а() А является биекцией множества максимальных идеалов в А, отличных от А, на множество максимальных регулярных идеалов в А (Алг., гл.

ЧП!. прилож., предл. 4); для завершения доказательства достаточно теперь применить сказанное в и'5. Если хан А,и. Хан Х'(А), то Х(х) я Зр„-х и, значит, т(х) ен ~ Ярах. Предположим теперь, что К вЂ” топологическое тело. Наделим Х'(А) топологией простой сходимости на А; полученное таким образом топологическое пространство мы по- прежнему будем обозначать Х'(А). Если й — морфизм из А 'в В, то отображение Х'(й): Х'(В)- Х'(А) непрерывно. Если й сюръективен, то Х' (й) является гомеоморфизмом пространства Х'(В) на его образ, и этот образ замкнут в Х'(А). Рассмотрим А= А, Х ... ХА„и используем те же обозначения.

что и выше; Х'(пг) есть гомеоморфизм пространства Х'(Аг) на Х), причем Х,' замкнуто в Х'(А); поэтому Х', (0) открыто в Х'(А). Морфизмы Х'(и,) определяют непрерывное отображение суммы Я пространств Х'(А,) на Х'(А); легко проверить, что образом объединения окрестностей точек 0 Й Х'(АД, ..., 0 ен Х'(А„) является окрестность точки Оен Х'(А). Все это показывает, что Х'(А) канонически отождествляется с факторпространством суммы 8. В частности, пространство Х(А) отождествляется с суммой пространств Х (Аг).

Характеристики

Список файлов книги