Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 4
Текст из файла (страница 4)
гл. 11, $1, ц'2 и 9). Нормированные алгебра 5) Пусть Ь вЂ” круг 1г1~(1 в С. Пусть А — алгебра функций, непрерывных на Ь и аналитических во внутренних точках А, снабженная нормой Ц/Ц=.зпр11'(!)1, Тогда А — ком/~в мутативная банахова алгебра с единицей. 6) Пусть Š— банахово пространство. Пространство Ы(Е) операторов в Е с обычной нормой является банаховой алгеброй с единицей. )У. Спектральный радиус Птадложгниг 1. Пусть А — нормированная алгебра.
Последовательность (Ц хл Ц'/") сходится при и-+ оо для казсдого х ен А, и ее предел равен !п(Ц хеЦ'/". Положим ал =Ц хл Ц. Если х — нильпотентный элемент, то предложение очевидно; поэтому мы можем считать, что ал)0 для всех п. Имеет место неравенство а,+, (в,аль Зафиксируем некоторое целое число пг ) О. Для всякого целого п ~0 пусть р(п), д(п) — целые числа, такие, что п=р(п) и+ у(п), 0~(/(п)<т. Имеет место неравенство и!/л ( иа ( )/еа(/е л .
м в(л)' Полагая в этом неравенстве п-+ оо, мы получим неравенство 1пп апра„'/л(а", из которого следует неравенство л.л 1)п) апра„"л( )п1 а'/'"( 1пп 1п1 и„"", е-л+е т>О л-++ Ясно, что (4) (5) р(х)(ЦхЦ, р(х")=р(х)ь (й=1, 2, ...). Если р(х) =Ц хЦ для всякого х ~ А, то в силу (5) имеем Цхз)1=Цх1г. Обратно, предположим, что ЦхеЦ=ЦхЦг для любого х~ А. Тогда Цхв 11=Цх1~ для всех целых я~~О, е, -л следовательно.
ЦхЦ=Цх' Ц'; полагая п-а+ оо, получаем, что Ц х Ц = р (х). доказывающее наше предложение. Оптедглениг 2. Для каждого элемента х нормированной алгебры число 11(п Ц хл Ц)/л = !п1 Ц хл Ц(/л назь(вается е.+ э л>ь спектральным радиусом элемента х и обозначается через р (х). Нормированные алгебры Опэеделение 3. Элемент х ен А называется квазинильпотентным, если р(х) =О. Это определение можно видоизменить следующим образом: для любого с.
~ С числа !!()Ох)"!! ограничены; или еще так: для любого )о ен С имеем ()ох)"-+О при и — л оо. , Замечание, Функция х ~-» р (х) на А, будучи нижней гранью непрерывных функций х ~!1 х" !1, полуиепрерывна сверху; вообще говоря, она может не быть непрерывной; может даже случиться (упр. 5), что последовательность нильпотентных элементов в А сходится к элементу, который не является квазинильпотентиым. 4. Обратимые влементы Пгедложение 2. Пусть А — банахова алгебра и х — некоторый элемент этой алгебры.
Тогда ряд ~~'.~ !о"х", рассмал О триваемый как степенной ряд от !о, имеет в качестве радиуса сходимости число 1/р(х). Если А содержит единицу и если р(х)<1, то элемент 1 — х обратим, и обратным к нему элеы ментом является „ь~ х". л О Для радиуса сходимости ряда ~~'.~ )о"х имеет место формула л О ! ! Ни! !! „л !!!/л (х) л.+ О Если р(х)<1, то ряд ~~.", х' сходится абсолютно. Так как л О се (1 — х) ~ х"=~Я х" (1 — х) =-1 — хее', то элемент(1 — х) ! л=О =о существует и равен 2', х".
л о Следствие 1. Если алгебра-А содержит единицу, то группа обратимых элементов в А содержит открытый опар с центром в 1 радиуса 1. Этот факт немедленно следует из того обстоятельства, что неравенство !!х!!<1 влечет за собой р(х)<1. Напомним (Общ. топ., гл. 1Х, $3, предл. 13), что группа О обратимых элементов является открытой частью алгебры А, цтса тоцология ца О, индуцированная топологяей в 4, сдгле- Нормированные илгеэры Гл, ЕУ2 савана со структурой группы и что топологическая группа б полна. Слидствии 2.
Пусть А — банахова алгебра, 3 — левьрй (соответственно правый) регулярный максимальный идеал в А. Тогда идеал 3 замкнут. Пусть (А, е) — банахова алгебра, полученная из А присоединением единицы. Существует левый (соответственно правый) максимальный идеал ь в А, такой, что э() А=3 (Алг., гл. ч'111, прилож., предл. 4). Тогда э не пересекается с открытым шаром с центром в е радиуса ! (следствие !), поэтому э Ф А, и, стало быть, э =;э, т. е.
идеал 3 замкнут. Слидствив 3. Радикал банаховой алгебры замкнут. Действительно, радикал является пересечением всех левых регулярных максимальных идеалов (Алг., гл. Ъ"111, прилож., и' 3). Првдложвнив 3: Пусть А — банакова алгебра с единицей. (1) Если элемент хе= А обладает левым (соответственно правым) обратным у, то каждый элемент х'еи А, такой, что !!х' — хэ'(!~у!, обладает левым (соответственно правим) обратным. (О) Пусть (х„) — последовательность элементов из А, обладающих левыми (соответственно правыми) обратными у„, сходящаяся к некоторому х еи А. Если последовательность (у ) ограничена, то х обратим слева (соответственно справа).
Пусть х, у, х' ен А таковы, что ух = 1 и !! х' — х !! ( !ф !! '. Имеет место неравенство 11 — ух' !~ =!ух — ух' ~!((! у ~~)~ К!! х — х' !1< 1, из которого следует, что ух' — обратимый элемент, и, значит, х' обратим слева. Аналогично доказывается утверждение об обратимости справа. Пусть х„, у„, х я А таковы, что у„х„ = 1, х„ сходится к х при и — оо и 1~ у„1~ ( М < + оь. Для достаточно больших и имеет место неравенство! х„— х!!< М:! 1у„г, поэтому (д) следует из (1). Определении 4. Пусть А — нормированная алгебра, х — элемент из А, Е и !с, — отображения у ху и у ух в А.
Говорят, что х — левый (соответственно правый) топологический делитель нуля, если Ь (соответственно )(л) не является гомеоморч~лизмом А на Е„(А) (соответственно Я„(А)). Согласно Общ. топ., гл. 1Х, 2-е изд., $3, тсор. 1, это определение можно сформулировать следующим образом: существует последовательность (г„) в А, такая, что !1г„!1=1 и хг„сходится к О (соответственно гчх сходится к О), Вормироэанные алгебры Левый (соответственно правый) делитель нуля является левым (соответственно правым) топологическим делителем нуля. Предположим, что А содержит единицу.
Левый (соответственно правый) топологнческий делитель нуля не обратим слева (соответственио справа); в самом деле, если„ например, ух = ! и хг„ сходится к О, то г„ = у(хг„) сходится к нулю, и условие 1г„|~=1 не может выполняться для всех п. Првдложвнив 4. Пусть А — банахова алгебра с единицей. Если элемент х в А не обратим слева, но является пределом последовательности (х„) обратимых слева элементов, то х — правый топологический делитель нуля. Пусть у„— левый обратный к х„.
Согласно предложению 3 (В), з у„!! стремится к + оь. Пусть г„='з у„1~ у„. Тогда ~1г„1)=.1 и г„х„=-(у„|~ ' стремится к нулю, а значит, г„х г„х +г„(х — 'х„) стремится к нулю. Пгздложиниа 5. Пусть А — нормированная алгебра с единицей,  — наполненная подалгебра в А. Тогда  — также наполненная подалгебра в А. Действительно, пусть х — элемент нз В, обратимый в А, и (х„) — последовательность точек в В, стремящаяся к х.
Тогда для достаточно больших п элемент х„ обратим в А и х„"' стремится к х '. Так как х„-' ен В, то х-' ~ В. Если (уь) — некоторое семейство элементов в А и  †' наполненная подалгебра в А, порожденная этим семейством, то В есть наименьшая замкнутая наполненная подалгебра в А, содержащая все ум Она называется замкнутой наполненной подалгеброй, порожденной элементами уы 5. Спектр злемента в нормированной алгебре Твогзмл 1, Пусть А — банахова алгебра с единицей и х~А.
(1) Зр х является компактной частью в С. (В) Радиус наименыиего замкнутого круга в С с центром в нуле, содержащего Зр х„равен р(х). (Ш) Резольвента Л ~-~ Я (Л, х) элемента х есть голоморфная функция в области С Зрх, обраи(ающаяся в нуль на бесконечности. Имеет место равенство 1г (Л, х) ( — 1)" н1 1г (Л, х)ь+'. бхь Гл. ЛУ2 Нормированные алгебра Пусть Логи С Зрх и у х — Л,.
Если иенС, причем (1г)<(1у-'~~ ~, то элемент .х — (Л +1г)=у — 1»=.у(1 — 1гу ') обратим, и для обратного к нему элемента, в силу предложения 2, справедливо равенство ' (х — (Лв+МГ'=у 'Х р"у". (6) л о Поэтому резольвента элемента х определена и голоморфиа в открытом круге с центром в точке Л, радиуса ~1у '11 Таким образом, доказано, что множество С Зр х открыто и что резольвента элемента х голоморфна на этом множестве. Формула (1) $1, и'2 позволяет написать равенство — Й(х, Л) = — Й(х, Л)', из которого с помощью индукции по й получается, что — Р(», Л) =( — 1)ьй1 Д(Л, )"+'.
Для каждого а)0 обозначим через б, замкнутын круг в С с центром в точке О радиуса а. Пусть Л вЂ” не равное нулю комплексное число, такое, что 1Л1р(х)<1. Тогда, согласно предложению 2, элемент х — Л =Л (Лх — 1) обратим и (7) Тем самым доказано, что резольвента элемента х определена н голоморфна вне Ьроя и стремится к 0 на бесконечности. Предполагая, что существует число а еи (О, р(х)(, такое, что Зрх содержится в Ь„мы видим, что функция Ли-и(Л ~ — х) определена и голоморфна при 0<1Л1<а-' и стремится к 0 при Л, стремящемся к нулю, и что, следовательно, радиус сходимостн ряда (7) не меньше а ' > р (х) ', но это противоречит предложению 2. Теорема доказана.
Слидствии 1. Пусть А — нормированная алгебра с единицей и хан А. Если А Ф (0), то Зр» чь О. Предположим сначала, что алгебра А полна. Если Зрх=о, то резольвента элемента х голоморфиа в С и 'равна нулю на бесконечности; следовательно, она тождественно равна нулю и, значит, 1=х. )г(х, 0) =О и А=[0). В общем случае соотношение Зря х= О влечет за собой Зр2х= З, откуда А=(0) и А=(0).
Нормированные алгебрьс Следствие 2 (теорема Гельфанда — Мазура). Пусть А— нормированная алгебра над С. Если А — тело, то А = С ° 1. Если х он А, то существует Л е С, такое, что элемент х — Л не обратим(следствие 1), откуда х — Л=О и х~ С 1. Следствие 3. Пусть А — банахова алгебра с единицей, х — обратимый элемент в А, такой, что !!х!1=!!х '!1=1. Тогда Брхс: 1!. Пусть Ь вЂ” круг !г!(1 в С. В силу теоремы 1 (Я), имеем Врх~й и Зрх 'с:со, что и доказывает утверждение (см.
3 1, и'2, замечание 6). Следствие 4. Пусть Х вЂ” комплексное банахово пространство, У(Х) — алгебра непрерывных эндоморфизмов Х и А — ненулевая подалгебра в Ю(Х), такая, что Х вЂ” простой А-псевдомодуль. Тогда (!) Всякий эндоморфизм пространства Х (не обязательно непрерывный), перестановочньсй с А, есть гомотетил. (П) Если и — некоторый эндоморфизм (не обязательно непрерывный) пространства Х и если $„..., ~„~Х, то существует элемент о ~ А, такой, что о$с = ив„..., о$„= и4ы Выберем элемент $оен Х, такой, что А$очь(0) (следовательно, А$о — — Х). Пусть  — множество эндоморфизмов пространства Х, перестановочных с А. Для всякого и~ В пусть А„— множество (непустое) всех элементов о еи А, таких, что оЦо — — и$;! положим !! и !! =1п1 !! о !!.
Ясно, что если и, и' еи В и Л ее С, то !! и + и' !! !! и !!+ !! и' !!, !! Ли !! = ! Л ! ~! и !!. С другой стороны, пусть е > 0; существуют о, о' ы А, такие, что оео=и$о, о'$о=иЪ,!!о!!«.".!!и!!+ е, !!о'!!- !!й!)+е; тогда оо'йо ойдо = и'о$о — — и'и(о, откуда !! и'и !! ~!! оо' !1(» (!! и !!+ е) (!! и' !!+ в), и окончательно !)и'и!!ч )!и!! !(и')!. Таким образом,  — нормированная алгебра и 1 ен В. Так как Х вЂ” простой А-псевдомодуль, то  — тело (Алг., гл.
'ЧП!, 5 4, и'3, предл. 2, и прилож., и'2). Поэтому (следствие 2) В=С. 1. Для доказательства утверждения (Я) достаточно установить следующую лемму. Л е м м а !. Пусть А — алгебра над полем К, М вЂ” простой А-псевдомодуль, такой, что А ° М чь (0). Для всякой конечной последовательности (хс)с<с<„элементов в М и каждого элемента Ь из бикоммутанта к М существует элемент аевА, такой, чти ахс='охс при 1 ~с(п Нормированные алгебры Гл. Лбй Анализ доказательства теоремы плотности (Алг., гл. Ч111, в 4, п'2, теор. 1) показывает, что оно переносится без изменения на случай простых псевдомодулей, при условии, что справедлива приведенная там же лемма 1, т.' е. частный случай сформулированной здесь леммы при п=1.
Но множество Ф элементов хеп М, таких, что А. х=(0), является подпсевдомодулем в М, и так как оно по предположению не совпадает с М, то оно сводится к нулю; тогда для каждого хспМ имеем А х=М и, в частности, существует элемент а ен А„такой, что ах = Ьх. Слвдствнн 5. Пусть А — банахова алгебра и х еп А. Тогда (1) Бр'х — компактная часть в С. .(й) Радиус наименьшего замкнутого круга в С с центром в О, содержащего Бр' х, равен р(х). (ш) Для того чтобы элемент х был квазинильпотентным, необходимо и достаточно, чтобы Бр'х=(0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
