Бурбаки - Спектральная теория (947366), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Утверждения (!) и (й) выводятся путем применения теоремы 1 к банаховой алгебре, полученной из А присоединением единицы. Утверждение (й1) следует из (й). 3 а м е ч а н н я. 1) Для произвольного непустого компакта в С можно указать банахову алгебру с единицей и такой ее элемент, спектр которого в точности совпадает с этим компактом (упр. 6).
2) Пусть А — банахова алгебра с единицей и х ен А. В силу теоремы 1, множество С Брдх является открытой частью в С и. следовательно, локально связно. Поэтому его компоненты связности открыты. В силу теоремы 1, по крайней мере одна из этих компонент связности содержит множество тех Лев С, для которых 1Л1)р(х); все остальные компоненты связности, очевидно, ограничены. б. Спектр относительно подалгебры Пгвдложвнив 6.
Пусть А — банахова алгебра с единицей,  — замкнутая подалгебра в А, содержащая 1. Тогда для каждого х ен А справедливо соотношение Брз х ~ Брдх и граница Брдх содержит границу Брзх. Соотношение Брз х "з Брд х уже доказано 5 1, и' 2, замечание 7). Если Л вЂ” точка границы Брзх, то существует последовательность (Л„) точек дополнения к Брзх, стремящаяся к Л. Тогда элементы х — Л„обратимы в В и стремятся к элементу х — Л, который не является обратимым в В; следовательно, х — Л есть левый или правый (предл. 4) топологический делитель нуля в В, а значит, и в А, Поэтому Каммутатавные банакааы алгебры 29 Лнэ ЗРлх.
Так как ЯРлхс: ЗРвх. то Л не может быть внУ- тренней точкой Ярл х. Следствии. Множество арах является объединением Зрлх и, быть моакет, некоторых ограниченных компонент связности С Брлх. Пусть У вЂ” компонента связности множества С Ярл х. Каждая точка границы (Ярах)ДУ в У является также точкой границы арах в С н, значит, точкой границы Ярлх (предл. 6). Так как П()Брлх=о, то ЯрвхПУ не имеет граничных точек в У; но тогда, поскольку У связно, Брв хД У = Я или У, чем и доказывается следствие. Это следствие будет дополнено в 9 3; см. следствия 1 и 2 предложения 9. $3. Коммутативные баиаховы алгебры л. Характеры коммутативной банаховой алгебры Напомним, что основным полем здесь является С, Твогвмл 1. Если А — коммугативная банахова алгебра, то каждый характер'А непрерывен и его норма ~ 1. Пусть т ен Х'(Л).
Для каждого х еи А имеем у(х) си Зрлх (й 1, и'6); следовательно, ~2(х)1<р(х)<~1х11 ($2, следствие 5 теоремы 1), что и доказывает теорему. Следствия. Пусть А — коммутативная банахова алгебра. Тогда пространство Х'(А) компактно. Пространство Х(А) локально компактно; оно компактно, если А содержит единицу.
Пусть А' — банахово пространство, двойственное к А. Единичный, шар А', в А' слабо компактен (Топ. вект. пр., гл. 11г', $ 5, предл. 4). В силу теоремы 1, Х'(А) с: Аи и ясно, что Х'(А) слабо замкнуто в А'. Следовательно, Х'(А) компактно,и Х(А) локально компактно. Если А содержит единицу 1, то Х (А) есть множество всех характеров Х ав Х'(А), таких, что у(1) = 1; поэтому оно замкнуто и, значит, компактно в Х'(А). Мы увидим (п' 2), что любое компактное пространство гомеоморфно Х (Л) для некоторой подходящей коммутативной алгебры А с единицей.
Тиогвмл 2. Пусть А — коммутативная банахова алгебра. Отображение т ~ Кегт, является биекцией Х(А) на множество регулярных максимальных идеалов в А. Гл. 6 У 8 Нормнровонныг алгебры Пусть 3 — регулярный максимальный идеал алгебры А. Так как он замкнут 5 2, следствие 2 предложения 2), то А/3 — банахова алгебра.
Но так как А/3 — тело (Алг., гл. ЧШ, прилож., предл. 3), то размерность А/3 над С равна 1 ($2, следствие 2 теоремы 1) и, значит, коразмерность 3 в А равна !. Утверждение теоремы следует тогда из сказанного в $1, и'6. Может случиться, что коммутатннная банахоаа алгебра А беа единицы не содержит нн одного максимального идеала; тогда Х'(А) сиодится к (О) (см. упр. 4). Ясно, что множества У(А) и А ($1, и' 7) можно отождествить с множеством Х(А), Это позволяет рассматривать на Х(А) и слабую топологию, и топологию Джекобсона, которая является менее сильной 5 1, предл.
5). Когда мы будем рассматривать Х(А) без указания, о какой топологии идет речь, то всегда будет подразумеваться, что речь идет о слабой топологии. 2. )Тримеры Прндложднин 1. Пусть И вЂ” локально компактное пространство, А — алгебра непрерывных комплексных функций, стремящихся к О на бесконечности в И, снабженная нормой !)/1!=зпр) /(/) 1. Для каждой замкнутой части Ф в И пусть гмй 3,— множество всех /ен А, равных нулю на Ф. Тогда отображение Фг-э3 является биекцией множества замкнутых частей в И на множество замкнутых идеалов в А. Ясно, что 3 — замкнутый идеал в А.
Если Фчь Ф', то существует )енФ', такое, что )~Ф, и, значит, существует функция /ни А, равная нулю на Ф н ие равная нулю в точке г. Тогда /а=3 и /Ф3Ф,; следовательно, отображение Фь-~3 инъективно. Пусть 3 — замкнутый идеал в А. Пусть Ф вЂ” множество точек )енИ, таких, что /(1)=О для всех /е3. Тогда Ф вЂ” замкнутая часть в И и 3с3 . Предположим, что /е= 3, е>О и Ч' — компактное множество точек /~И, таких, что ~/(1) ~)е.
Для каждого )яЧ' существует функция /г еи 3, такая„что 1)г(1) ~ > 1, и, значит, такая, что )/г(и)1>1 в некоторой окрестности )гг точки 1. Далее, существуют )и ..., гп ~Ч', такие, что Чг с= уг, () () Угн, Комм утатчгные банаховы олегбуы Тогда й' =6~Д+ +й„~т ~3 и у,)1 на Ч'. Имеем (е 'д,(1+ в 'д,) 1~ 3, н эта функция равномерно стремится к 1, когда е стремится к нулю.
Таким образом, 1ен 3 =3, откуда 3, с= 3 н, наконец, 3=-3,. Замечание. Пусть 3 — идеал в А. Предположим, что для каждого 1ен И существует элемент в 3, не равный нулю в точке 1. Тогда любая комплексная непрерывная на И функция 1с компактным носителем К принадлежит 3. В самом деле, конструкция, с помощью которой мы построили функцию у, при доказательстве предыдущего утверждения, позволяет здесь доказать существование функции у~3, такой, что д)0 на И и д) 1 на К. Теперь можно построить й ен А, такую, что ~=уй, откуда ~ен 3. Слндствив 1. Для каждого 1~ И обозначим через 3, множество )'ев А, равных нулю в точке 1. Тогда отображение 3, является биекиией пространства И на множество замкнутых максимальных идеалов в А. Эти идеалы регулярны.
Этот результат немедленно следует из предложения 1. Обозначим через И компакт, полученный из И присоединением бесконечно удаленной точки ы. Тогда А отождествляется с банаховой алгеброй комплексных непрерывных функций на И, равных нулю в точке те. Имеет место Слндствин 2.
Для каждого 1ен И обозначим через е, характер алгебры А, определенный с помощью равенства е, (1) = ) (1) при всех 1 ы А. Тогда отображение 1т-+ е~ является гомеоморфизмом И на Х'(А).Слабая топология и топология Джекобсона на Х(А) совпадают. Ясно, что 1~ — ~ е, — непрерывное инъективное отображение из И в Х'(А). Оно сюръективно и, стало быть, в силу следствия 1. и теоремы 2, является гомеоморфиэмом. Если Р— слабо замкнутая часть в Х(А), то ей, в силу сказанного, соответствует замкнутая часть в И; следовательно, согласно предложению 1.
она замкнута в топологии Джекобсона. ь. Преобразование Гельфанда Пусть А — коммутативная банахова алгебра. Напомним, что для каждого х еи А через Улх или Ух обозначается функция х~-~х(х) на Х(А), что Ух называется преобразованием Гельфанда элемента ' х и что отображение х~-мУх Нормированные алгебры Гл. ЕУЗ называется преобразованием Гельфанда. Следовательно, по определению имеет место равенство (Ух) (х) = х (х) Прим'еры. 1) В примере' 1, $2, 'п'2, Х(А) отождествляется с Й (следствие 2 предложения !), и преобразование Гельфанда соответствует тождественному отображению. 2) Аналогично, в примере 2, $2, п'2, Х(А) отождествляется с (О, 1), а У вЂ” с тождественным отображением ($7, п 1, пример).
3) В примере 5, $ 2, и'2, Х(А) отождествляется с Л, а У вЂ” с тождественным отображением ($7, упр. 6). 4) Рассмотрим. как и в примере 4, $2, п 2, банахову алгебру А абсолютно 'сходящихся рядов Фурье. Для каждого и ен (1 отображение 1 ~1(и) является характером т, алгебры А. Если 1ь ~ А — тождественное отображение (1, то у (1ь) =- и; поэтому отображение и т„из Ц на Х(А) является инъектнвным (и, очевидно, непрерывным). Пусть 2~Х(А). ТаккакЯ=~~,",''1=1, то ~х(~г)1~ 1 и1х(гь) '~~<1; поэтому т(1ь)ен 1) н, значит, существует и ~ 11, такое, что ХДь~= =х,(~~). Так как (~„~ь ') топологически порождают всю А, то х = Х,. Следовательно, отображение и ы х„является гомеоморфнзмом (1 на Х(А) и можно отождествйть эти два пространства.
При этом Ул соответствует тождественному отображению. Значит, Х(Е'(Х)) отождествляется с 1), и если, (с„) ~ Е' (Х), то Уь д1 ((с„)) отождествляется с функцией еиг-ы,~~с„еьв иа 11. 5) Пусть Л вЂ” круг.1х1» 1 в С, à — его граница, А — алгебра комплексных функций 1 иа Г, которые продолжаются е как непрерывные функции в Л, аналитические в Л, с нормой 1!~~~=зпр17(1)1. Из принципа максимума следует, что алгыг гебра А канонически нзоморфна алгебре, рассмотренной в $2, и'2, пример 5. Поэтому Х(А) отождествляется с Л, и если 1ен А, то У1 — непрерывное продолжение 1 в Л, аналитическое в Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
